新课标2007届高三第二轮复习考点透析9：不等式

1、考点透析9：不等式【考点聚焦】（解、用、证）（两小半大）考点1：不等式的性质与重要不等运用考点2：不等式的解法考点3：不等式的应用问题考点4：不等式的综合问题【考题形式】1。小题与集合，函数定义域、值域结合；（1小是肯定的） 2不等式组与线性规划。3。大题形式多样与其他知识结合，不会出现单独的不等式题。【问题1】不等式的解法1 已知R为全集，A=x|log(3-x) -2,B=x| 1,B=（ B ）(A)-2<x<-1 (B)2<x<-1或x=3 (C)-2x<-1 (D)-2x12设a<0,则关于x的不等式42x2+ax-a2<0的解集为：（ A

2、）(A) (B) (C)0 (D) 无解3下列不等式中，解集为R的是 （ B ）A|x3|>x3 B> 1C D4不等式的解为 （ D ）A1<x1或x2Bx<3或1x2 Cx=4或3<x1或x2Dx=4或x<3或1x25（山东卷）设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为(A)（1，2）（3，+） (B)（，+）(C)（1，2） （ ，+）(D)（1，2）解：令>2（x<2），解得1<x<2。令>2（x³2）解得xÎ（，+）选C【精例1】已知,，若，求实数的取值范围解：由题意可得，A=x|x4或x2

3、B=x|2x3 则 AB=x|2x3而C=x|(xa)(x3a)0要使AB 则a>0，且， 得 a【精例2】解不等式（12分）解：原不等式【精例3】P61 例1 【精例4】P62 例2【问题2】含有参数的不等式问题含有参数的不等式问题是高考常考题型，求解过程中要利用不等式的性质将不等式进行变形转化，化为一元二次不等式等问题去解决，注意参数在转化过程中对问题的影响.【精例5】已知.（1）当t=1时，解不等式：f(x)g(x)；（2）如果当x0,1时，f(x)g(x)恒成立，求参数t的取值范围.解：（1）t1时，f(x)g(x)，即为，此不等式等价于解得x,原不等式的解集为x|x(2) x0

4、,1时，f(x)g(x)恒成立, x0,1时，恒成立，x0,1时，恒成立，即x0,1时，恒成立，于是转化为求（ x0,1）的最大值问题.令，则x=u21，由x0,1，知u1,. 2（u21）u=当u=1时，即x=0时，有最大值为1.t的取值范围是t1.点评：对于含参数问题，常常用分类讨论的方法；而恒成立问题，除了运用分类讨论的方法外，还可采用分离参数的方法.【精例6】解关于x的不等式：点拨与提示：用换元法将原不等式化简，注意对a的讨论.解：设，原不等式化为12tt<2（1）当时，12tt<2，t>3，（2）当时，1+2t+t<2，（3）当t0时，1+2tt<2，t

5、<1, 0t1综上可知：3t1，即31当a1时，当0a1时，所以当a1时，原不等式的解集为x|, 当0a1时，原不等式的解集为x【精例7】P62 例3【问题3】不等式与函数的综合题（隐含不等式）【精例8】P64 T6【精例9】已知f(x)是定义在-1，1上的奇函数，且f(1)=1，若m、n-1，1，m+n0时0 (1)用定义证明f(x)在1，1上是增函数；(2)解不等式 f(x+)f()；(3)若f(x)t22at+1对所有x1，1，a1，1恒成立，求实数t的取值范围 【思路分析】 (1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(3)问利用单调性把f(x)转化成“1”

6、是点睛之笔 (1) 证明 任取x1x2，且x1，x21，1，则f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)=·(x1x2)1x1x21，x1+(x2)0，由已知0，又 x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x)在1，1上为增函数 (2)解 f(x)在1，1上为增函数， 解得 x|x1，xR(3)解 由(1)可知f(x)在1，1上为增函数，且f(1)=1，故对x1，1，恒有f(x)1，所以要使f(x)t22at+1对所有x1，1，a1，1恒成立，即要t22at+11成立，故t22at0，记g(a)=t22at，对a1，1，有g(a)0，只需g(a)在1，1上的最小值大于等于0，g(

7、1)0，g(1)0，解得，t2或t=0或t2 t的取值范围是 t|t2或t=0或t2 点评 本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力 它主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函数中的热点问题；问题（2）、（3）要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用 【问题4】线性规划【精例10】不等式表示的平面区域包含点和点则的取值范围是（ A ）AB CD【精例11】已知点（3 ， 1）和点（4 ， 6）在直线 3x2y + m = 0 的两侧，则 （ B ）Am7或m24 B7m24Cm7或m24 D7m 24【精例12】在约束条件下，

8、当时，目标函数的最大值的变化范围是A. B. C. D. 【精例13】已知当a为何值时，直线及坐标轴围成的平面区域的面积最小？（12分）解：，由题意知及坐标轴围成的平面区域为ACOD，【问题4】不等式的实际应用问题对于应用题要通过阅读，理解所给定的材料，寻找量与量之间的内在联系，抽象出事物系统的主要特征与关系，建立起能反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识求出题中的问题【精例13】（天津卷）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则_ 吨解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购

9、买吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，160，当即20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小。【精例13】某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔如图所示，塔及所在的山崖可视为图中的竖线OC，塔高BC=80(米)，山高OB=220(米)，OA=200(米)，图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，与水平地面的夹角为a，试问，此人距山崖的水平地面多高时，观看塔的视角ÐBPC最大(不计此人的身高)？解：如图所示，建立平面直角坐标系，则，直线的方程为，即设点的坐标为，则()由经过两点的直线的斜率公式，由直线到直线的角的公式得(

10、)要使达到最大，只须达到最小由均值不等式当且仅当时上式取等号故当时最大这时，点的纵坐标为由此实际问题知，所以最大时，最大故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角最大【问题5】不等式与数列问题【精例14】P72T9（湖北卷）22（本小题满分14分）已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足 （）证明（）试确定一个正整数N，使得当时，对任意b>0，都有解：（）证法1：当即 于是有 所有不等式两边相加可得 由已知不等式知，当n3时有， （）则有故取N=1024，可使当n>N时，都有【课后训练】一、选择题：1、不等式解集是（）A(0,2)B(2,+)CD

11、(,0)(2,+)2函数的定义域为（ ）A（1，2）（2，3）BC（1，3）D1，33、 (06上海)若关于的不等式4的解集是M，则对任意实常数，总有（ ）A.2M，0M； B.2M，0M； C.2M，0M； D.2M，0M4若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得 的取值范围是（ ）ABCD（2，2）5、（06年江苏）设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）（A）（B）（C）（D）6. (重庆卷)不等式组的解集为(C ) (A) (0,)；(B) (,2)；(C) (,4)；(D) (2,4)。7、若不等式|x-1|<a成立的充分条件是0<x<

12、4，则实数a的取值范围是（ ） A、a³1B、a³3C、a£1D、a£38集合Ax|0，Bx | x -b|a，若“a1”是“AB”的充分条件， 则b的取值范围是（ ）A2b0B0b2C3b1D1b29设实数，满足，当0时，的取值范围是（ ） A， B， C， D，10若动点（）在曲线上变化，则的最大值为（ ）ABCD2二、填空题：11 (上海卷)三个同学对问题“关于的不等式25|5|在1，12上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值

13、”丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 解：由25|5|，而，等号当且仅当时成立；且，等号当且仅当时成立；所以，等号当且仅当时成立；故；12若a,b,c0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为 13、已知点（x0，y0）在直线ax+by=0，(a，b为常数)上，则的最小值为.14、设a，b ÎR，且a+b =1，则的最大值是_.三、解答题：15、已知函数的图象与轴分别相交于点A、B，（分别是与轴正半轴同方向的单位向量），函数.（1）求的值；（2）当满足时，求函数的最小值.16、已知正项

14、数列an满足a1=P(0<P<1)，且(I)求数列的通项an；(II)求证：.17设f(x)是定义在的奇函数，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=1对称，而当 时，（1）求f(x)的解析式；（2）对于任意的求证：（3）对于任意的求证：（14分）18已知，点P是函数y=f(x)图象上任意一点，点P关于原点的对称点Q的轨迹是函数y=g(x)的图象.（1）当0<a<1时，解不等式：2f(x)+g(x)0；（2）当a>1，x时，总有2f(x)+g(x)m恒成立，求m的范围.点拨与提示：利用对称性求出g(x)的解析式，2f(x)+g(x)m恒成立，即m 2f(x)+g

15、(x)min.利用重要不等式求出F(x)=2f(x)+g(x)的最小值即可.19.解关于的不等式：分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。解：当。参考答案：1C提示：原不等式转化为，解此不等式组可得x的范围.2A提示：由题意可知，.3、A 方法1：代入判断法，将分别代入不等式中，判断关于的不等式解集是否为； 方法2：求出不等式的解集：44D提示：函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且,f(2)=0, 在上的x的取值范围是,又由对称性,在R上

16、f(x)<0，得x的取值范围为(-2,2)5C提示：因为，所以（A）恒成立；在（B）两侧同时乘以得所以（B）恒成立；（C）中，当a>b时，恒成立，a<b时，不成立；（D）中，分子有理化得恒成立，故选（C）.6C7B提示：t=|x1|在x0,4的最大值为3，故a3.8D提示：由题意得：A：1<x<1,B:ba<x<a+b由”a=1”是“”的充分条件.则A：1<x<1与B: b1<x<1+b交集不为空.所以2<b<2，检验知:能使.98 C 解：（三角换元）设，故选C10A提示：设x=2cos,y=bsin,则x2+2y

17、=4cos2+2bsin=-4sin2+2bsin+4=2(sin2bsin2)=-2(sin)2+4+,的最大值为.二、填空题：11. 解：由25|5|，而，等号当且仅当时成立；且，等号当且仅当时成立；所以，等号当且仅当时成立；故；12若且 所以， ，则()， 13提示：最小值为142提示：，当且仅当a=b=c时等号成立.15、解 (1)由已知得A(,0),B(0,b),则=,b,于是=2,b=2. k=1,b=2. (2)由f(x)> g(x),得x+2>x2-x-6,即(x+2)(x-4)<0, 得-2<x<4, =x+2+-5，由于x+2>0,则-3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立 的最小值是-3.16、解：(1)由已知得an+1an=anan+