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文档简介

1、考点透析9:不等式【考点聚焦】(解、用、证)(两小半大)考点1:不等式的性质与重要不等运用考点2:不等式的解法考点3:不等式的应用问题考点4:不等式的综合问题【考题形式】1。小题与集合,函数定义域、值域结合;(1小是肯定的) 2不等式组与线性规划。3。大题形式多样与其他知识结合,不会出现单独的不等式题。【问题1】不等式的解法1 已知R为全集,A=x|log(3-x) -2,B=x| 1,B=( B )(A)-2<x<-1 (B)2<x<-1或x=3 (C)-2x<-1 (D)-2x12设a<0,则关于x的不等式42x2+ax-a2<0的解集为:( A

2、)(A) (B) (C)0 (D) 无解3下列不等式中,解集为R的是 ( B )A|x3|>x3 B> 1C D4不等式的解为 ( D )A1<x1或x2Bx<3或1x2 Cx=4或3<x1或x2Dx=4或x<3或1x25(山东卷)设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为(A)(1,2)(3,+) (B)(,+)(C)(1,2) ( ,+)(D)(1,2)解:令>2(x<2),解得1<x<2。令>2(x³2)解得xÎ(,+)选C【精例1】已知,,若,求实数的取值范围解:由题意可得,A=x|x4或x2

3、B=x|2x3 则 AB=x|2x3而C=x|(xa)(x3a)0要使AB 则a>0,且, 得 a【精例2】解不等式(12分)解:原不等式【精例3】P61 例1 【精例4】P62 例2【问题2】含有参数的不等式问题含有参数的不等式问题是高考常考题型,求解过程中要利用不等式的性质将不等式进行变形转化,化为一元二次不等式等问题去解决,注意参数在转化过程中对问题的影响.【精例5】已知.(1)当t=1时,解不等式:f(x)g(x);(2)如果当x0,1时,f(x)g(x)恒成立,求参数t的取值范围.解:(1)t1时,f(x)g(x),即为,此不等式等价于解得x,原不等式的解集为x|x(2) x0

4、,1时,f(x)g(x)恒成立, x0,1时,恒成立,x0,1时,恒成立,即x0,1时,恒成立,于是转化为求( x0,1)的最大值问题.令,则x=u21,由x0,1,知u1,. 2(u21)u=当u=1时,即x=0时,有最大值为1.t的取值范围是t1.点评:对于含参数问题,常常用分类讨论的方法;而恒成立问题,除了运用分类讨论的方法外,还可采用分离参数的方法.【精例6】解关于x的不等式:点拨与提示:用换元法将原不等式化简,注意对a的讨论.解:设,原不等式化为12tt<2(1)当时,12tt<2,t>3,(2)当时,1+2t+t<2,(3)当t0时,1+2tt<2,t

5、<1, 0t1综上可知:3t1,即31当a1时,当0a1时,所以当a1时,原不等式的解集为x|, 当0a1时,原不等式的解集为x【精例7】P62 例3【问题3】不等式与函数的综合题(隐含不等式)【精例8】P64 T6【精例9】已知f(x)是定义在-1,1上的奇函数,且f(1)=1,若m、n-1,1,m+n0时0 (1)用定义证明f(x)在1,1上是增函数;(2)解不等式 f(x+)f();(3)若f(x)t22at+1对所有x1,1,a1,1恒成立,求实数t的取值范围 【思路分析】 (1)问单调性的证明,利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键,(3)问利用单调性把f(x)转化成“1”

6、是点睛之笔 (1) 证明 任取x1x2,且x1,x21,1,则f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)=·(x1x2)1x1x21,x1+(x2)0,由已知0,又 x1x20,f(x1)f(x2)0,即f(x)在1,1上为增函数 (2)解 f(x)在1,1上为增函数, 解得 x|x1,xR(3)解 由(1)可知f(x)在1,1上为增函数,且f(1)=1,故对x1,1,恒有f(x)1,所以要使f(x)t22at+1对所有x1,1,a1,1恒成立,即要t22at+11成立,故t22at0,记g(a)=t22at,对a1,1,有g(a)0,只需g(a)在1,1上的最小值大于等于0,g(

7、1)0,g(1)0,解得,t2或t=0或t2 t的取值范围是 t|t2或t=0或t2 点评 本题是一道函数与不等式相结合的题目,考查学生的分析能力与化归能力 它主要涉及函数的单调性与奇偶性,而单调性贯穿始终,把所求问题分解转化,是函数中的热点问题;问题(2)、(3)要求的都是变量的取值范围,不等式的思想起到了关键作用 【问题4】线性规划【精例10】不等式表示的平面区域包含点和点则的取值范围是( A )AB CD【精例11】已知点(3 , 1)和点(4 , 6)在直线 3x2y + m = 0 的两侧,则 ( B )Am7或m24 B7m24Cm7或m24 D7m 24【精例12】在约束条件下,

8、当时,目标函数的最大值的变化范围是A. B. C. D. 【精例13】已知当a为何值时,直线及坐标轴围成的平面区域的面积最小?(12分)解:,由题意知及坐标轴围成的平面区域为ACOD,【问题4】不等式的实际应用问题对于应用题要通过阅读,理解所给定的材料,寻找量与量之间的内在联系,抽象出事物系统的主要特征与关系,建立起能反映其本质属性的数学结构,从而建立起数学模型,然后利用不等式的知识求出题中的问题【精例13】(天津卷)某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则_ 吨解:某公司一年购买某种货物400吨,每次都购

9、买吨,则需要购买次,运费为4万元/次,一年的总存储费用为万元,一年的总运费与总存储费用之和为万元,160,当即20吨时,一年的总运费与总存储费用之和最小。【精例13】某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔如图所示,塔及所在的山崖可视为图中的竖线OC,塔高BC=80(米),山高OB=220(米),OA=200(米),图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上,与水平地面的夹角为a,试问,此人距山崖的水平地面多高时,观看塔的视角ÐBPC最大(不计此人的身高)?解:如图所示,建立平面直角坐标系,则,直线的方程为,即设点的坐标为,则()由经过两点的直线的斜率公式,由直线到直线的角的公式得(

10、)要使达到最大,只须达到最小由均值不等式当且仅当时上式取等号故当时最大这时,点的纵坐标为由此实际问题知,所以最大时,最大故当此人距水平地面60米高时,观看铁塔的视角最大【问题5】不等式与数列问题【精例14】P72T9(湖北卷)22(本小题满分14分)已知不等式为大于2的整数,表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正,且满足 ()证明()试确定一个正整数N,使得当时,对任意b>0,都有解:()证法1:当即 于是有 所有不等式两边相加可得 由已知不等式知,当n3时有, ()则有故取N=1024,可使当n>N时,都有【课后训练】一、选择题:1、不等式解集是()A(0,2)B(2,+)CD

11、(,0)(2,+)2函数的定义域为( )A(1,2)(2,3)BC(1,3)D1,33、 (06上海)若关于的不等式4的解集是M,则对任意实常数,总有( )A.2M,0M; B.2M,0M; C.2M,0M; D.2M,0M4若函数是定义在R上的偶函数,在上是减函数,且,则使得 的取值范围是( )ABCD(2,2)5、(06年江苏)设a、b、c是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立的是()(A)(B)(C)(D)6. (重庆卷)不等式组的解集为(C ) (A) (0,);(B) (,2);(C) (,4);(D) (2,4)。7、若不等式|x-1|<a成立的充分条件是0<x<

12、4,则实数a的取值范围是( ) A、a³1B、a³3C、a£1D、a£38集合Ax|0,Bx | x -b|a,若“a1”是“AB”的充分条件, 则b的取值范围是( )A2b0B0b2C3b1D1b29设实数,满足,当0时,的取值范围是( ) A, B, C, D,10若动点()在曲线上变化,则的最大值为( )ABCD2二、填空题:11 (上海卷)三个同学对问题“关于的不等式25|5|在1,12上恒成立,求实数的取值范围”提出各自的解题思路甲说:“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说:“把不等式变形为左边含变量的函数,右边仅含常数,求函数的最值

13、”丙说:“把不等式两边看成关于的函数,作出函数图像”参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即的取值范围是 解:由25|5|,而,等号当且仅当时成立;且,等号当且仅当时成立;所以,等号当且仅当时成立;故;12若a,b,c0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为 13、已知点(x0,y0)在直线ax+by=0,(a,b为常数)上,则的最小值为.14、设a,b ÎR,且a+b =1,则的最大值是_.三、解答题:15、已知函数的图象与轴分别相交于点A、B,(分别是与轴正半轴同方向的单位向量),函数.(1)求的值;(2)当满足时,求函数的最小值.16、已知正项

14、数列an满足a1=P(0<P<1),且(I)求数列的通项an;(II)求证:.17设f(x)是定义在的奇函数,g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=1对称,而当 时,(1)求f(x)的解析式;(2)对于任意的求证:(3)对于任意的求证:(14分)18已知,点P是函数y=f(x)图象上任意一点,点P关于原点的对称点Q的轨迹是函数y=g(x)的图象.(1)当0<a<1时,解不等式:2f(x)+g(x)0;(2)当a>1,x时,总有2f(x)+g(x)m恒成立,求m的范围.点拨与提示:利用对称性求出g(x)的解析式,2f(x)+g(x)m恒成立,即m 2f(x)+g

15、(x)min.利用重要不等式求出F(x)=2f(x)+g(x)的最小值即可.19.解关于的不等式:分析:本例主要复习含绝对值不等式的解法,分类讨论的思想。本题的关键不是对参数进行讨论,而是去绝对值时必须对末知数进行讨论,得到两个不等式组,最后对两个不等式组的解集求并集,得出原不等式的解集。解:当。参考答案:1C提示:原不等式转化为,解此不等式组可得x的范围.2A提示:由题意可知,.3、A 方法1:代入判断法,将分别代入不等式中,判断关于的不等式解集是否为; 方法2:求出不等式的解集:44D提示:函数是定义在R上的偶函数,在上是减函数,且,f(2)=0, 在上的x的取值范围是,又由对称性,在R上

16、f(x)<0,得x的取值范围为(-2,2)5C提示:因为,所以(A)恒成立;在(B)两侧同时乘以得所以(B)恒成立;(C)中,当a>b时,恒成立,a<b时,不成立;(D)中,分子有理化得恒成立,故选(C).6C7B提示:t=|x1|在x0,4的最大值为3,故a3.8D提示:由题意得:A:1<x<1,B:ba<x<a+b由”a=1”是“”的充分条件.则A:1<x<1与B: b1<x<1+b交集不为空.所以2<b<2,检验知:能使.98 C 解:(三角换元)设,故选C10A提示:设x=2cos,y=bsin,则x2+2y

17、=4cos2+2bsin=-4sin2+2bsin+4=2(sin2bsin2)=-2(sin)2+4+,的最大值为.二、填空题:11. 解:由25|5|,而,等号当且仅当时成立;且,等号当且仅当时成立;所以,等号当且仅当时成立;故;12若且 所以, ,则(), 13提示:最小值为142提示:,当且仅当a=b=c时等号成立.15、解 (1)由已知得A(,0),B(0,b),则=,b,于是=2,b=2. k=1,b=2. (2)由f(x)> g(x),得x+2>x2-x-6,即(x+2)(x-4)<0, 得-2<x<4, =x+2+-5,由于x+2>0,则-3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立 的最小值是-3.16、解:(1)由已知得an+1an=anan+

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