数学本科毕业论文5

1、数学本科毕业论文5    数学本科毕业论文5    定积分中的几何直观方法与不等式的证明梅求兵（061114216） （孝感学院 数学与统计学院 湖北 孝感 432000）摘要：一些高指数的不等式，如果借助算术?几何均值不等式或者通过分解因式 再进行放缩的话，一般都要分 0 < p < 1 与 p > 1 进行讨论证明，往往证明起来很麻 烦，若借助数学分析中的定积分来进行证明的话，会大大简化其证明工序，也很 简单，灵活的选取合适的初等函数进行定积分，再求和会得到意想不到的效果。 关键词：高指数；不

2、等式；算术?几何均值；定积分；数列1 引言文1中给出了一个不等式：2( n + 1 ? 1) < i =1 n1 < 2 n ?1 i（ n >1）（1）田寅生对（1）进行了指数推广，其结果是 命题1【2】 命题1 设 p R 且 p > 0 ， p 1 ， n > 1 ，则有 （2）n 1 1 1 1? p 1 (n + 1)1? p ? 1 < p < n ? +1 1? p 1? p 1? p k =1 k文2的证明方法是借助于算术?几何均值不等式，分 0 < p < 1 与 p > 1 进行 讨论证明， 读者不难看出， 不仅过

3、程繁琐， 而且对其证明思路难以把握。 文3 中 利用微分中值定理给出了它的另一种证法。 文4借助定积分的方法，给出了一 种很自然的证明【4】：【4】 命题1 当 p > 0 ， k 1 时，对于 k < x < k + 1 ，有 k p < x p < (k + 1) p ， 命题1的证明即1 1 1 < p < p， p (k + 1) x k 两边取积分，得即得k +1kk +1 1 k +1 1 1 dx < dx < dx ， k k (k + 1) p xp kp（3）1 1 1 < (k + 1)1? p ? k 1? p

4、 < p p (k + 1) 1? p k 对（3）两边分别求和，即得n 1 1 1 1? p 1 (n + 1)1? p ? 1 < p < n ? +1 1? p 1? p 1? p k =1 k（4）（5）命题1得证。 该证明方法简单自然，几何意义直观。不等式（3）的几何意义是：如图1， 以y=1 为边的曲边梯形的面积介于两个矩形的面积之间， 根据定积分的几何意 xp义，即知上面不等式中三部分分别代表了它们的面积。（图1） 在文5中，又把（1）式推广为： 命题2【】 命题2 已知 an 为等差数列且 a1 > 0 ，公差 d > 0 ，则n 2 2 1 (

5、an +1 ? a1 ) < ai < ( an ? a1 ) + d d a1 i =1（6 ）其证明方法与文1本质上是一样的。本文将借鉴4中方法，即利用定积分 的几何直观方法，把有关结果作进一步的推广。 主要结果下面借鉴文4中定积分的的方法，把命题2推广为 定理1 定理1 设 an 为等差数列且 a1 > 0 ，公差 d > 0 ， p > 0 ， p 1 ， n > 1 ，则n 1 1 1 1 p 1 1 (a1? 1 ? a1 ? p ) < p < (a1? p ? a1 ? p ) + p n+ n d (1 ? p) d (1 ?

6、p) a1 i =1 ai（ 7）为证明定理 1，先证明下面的引理 引理 1 设 an 为等差数列且 a1 > 0 ，公差 d > 0 ， p > 0 ， p 1 ， n > 1 ，则1 1 1 1 p 1 < (ak? 1 ? ak? p ) < p + p ak +1 d (1 ? p ) ak（8）证明 因为数列 a n 是等差数列，且 a1 > 0, d > 0 ，所以该数列是一个单调递 增的正数列，又因为 p > 0 ，不妨令 a k < x < a k +1 ，则有a kp < x p < a kp+1即

7、1ap k +1<1 1 < p p x ak（9）对（9）两端在 ak , ak +1 上取积分，有即ak +1akak +1 1 ak +1 1 1 dx < dx < dx p p ak ak a p ak +1 x k（10）d1 1 1 p < (a1? 1 ? a1? p ) < d p k+ k p ak +1 1 ? p ak（11）由（11） ，即得1 1 1 1 p 1 < (ak? 1 ? ak? p ) < p + p ak +1 d (1 ? p ) ak定理 1 的证明 由引理 1 可得1 1 p < (a1?

8、1 ? a1? p ) k+ k p ak +1 d (1 ? p )（12）对（12）式的两边同时求和，得n ?1 1 1 a p < d (1 ? p) (a1k?+1p ? a1k? p ) k =1 k +1 k =1 n ?1即ak =1n1p k?1 1 p 1 < (a1? 1 ? a1 ? p ) n+ p a1 d (1 ? p)故有ak =1n1p k<1 1 p 1 (a1? 1 ? a1 ? p ) + p n+ d (1 ? p) a1同理，由1 1 p (a1? 1 ? a1? p ) < p k+ k d (1 ? p ) ak（13）对式

9、（13）的两边同时求和，可得到n 1 1 p 1 (a1? 1 ? a1 ? p ) < p n+ d (1 ? p) i =1 ai故定理 1 得证。 引理 1 的证明中几何意义十分明显，参见下面的图 2。（图 2）如果注意到函数 f ( x) = 下列两条几何性质：1 （ p > 0 ）是下凸函数，利用关于下凸函数图像的 xp性质 1 任意两点间的弧段总在这两点连线的上方； 性质 2 曲线总在它的任一切线的上方。 那么可以对引理 1 中的不等式（8）进一步精细化，得到 定理 2 设 an 为等差数列且 a1 > 0 ，公差 d > 0 ， p > 0 ， p

10、1 ， n > 1 ，则1 d 1? p 1 1 1 1 1 1 p + ak +1 < (ak? 1 ? a1? p ) < p ? ( p ? p ) + k p ak +1 2 p d (1 ? p ) ak 2 ak ak +1（14）证明 因为 f ( x) =1 （ p > 0 ）是下凸函数，由上述两条性质，得 xp f (ak +1 ) ? f (ak ) ( x ? ak ) ak +1 ? akf (ak +1 ) + f '(ak +1 )( x ? ak +1 ) < f ( x) < f (ak ) +即得1 1 ? p p

11、ak 1 1 p 1 1 a ( x ? ak ) ? a1? 1 ( x ? ak +1 ) < p < p + k +1 k+ p ak +1 p x ak ak +1 ? ak（15）对（15）两端在 ak , ak +1 上积分，得（14）成立。 定理 2 证明的几何意义，可参考下面图 3。（图 3） 推论 1 当 p > 0 ， k 1 时，有1 1 1 1 1 1 + (k + 1)1? p < (k + 1)1? p ? k 1? p < p ? p ? p k (k + 1) (1 ? p ) 2 k (k + 1) p 该结果显然比（4）式更为精

12、细。应用例子 应用例子例1【】试求 x = 1 +1 1 1 + +L + 的整数部分 x 2 3 1000, 000解 由（1）式，得2 1000001 ? 2 < x < 1999于是可以判断 1998 < x < 1999 ，故 x = 1998 。【】 例2试求 50 x 的值，式中x=1 1 1 + +L+ 10, 000 10, 001 1, 000, 0001800 < x < 1800.02解 由命题 1，可得所以 50 x = 9000 。 例3 解 设 x = 1+1 1 1 + 3 +L + 3 ，求不超过 x 的最大整数 x 2 3

13、20103对本问题，如果运用命题1或命题2将无法计算，我们运用定理1便会迎2010 k =1刃而解，x = 1 1 1 （ p = ） 令数列 a n 的通项公式为 a n = n ，p = ， = 2010 ， ， n p 3 3 k由定理1，可得1 1? 1 3 (20111? 1 3? 1) < x <1 1? ? 1 ? 2010 3 ? 1? + 1 ? 1 ? 1? ? 3即237.4 < x < 238.4所以 x = 238 。 例4 设s =13272+13292+13312+L +1320032，求 s 的近似值（绝对误差不超过 0.06 ） 解 这

14、里 p = 记数列 a n 是以 a1 = 27 为首项，公差 d = 2 的等差数列，那 s = 2 ，由定理1，得 3 1 2 2(1 ? ) 3 (20051? 2 39941 ， p k =1 ak? 271?2 3)<s<1 2 2(1 ? ) 3(20031?2 3? 271?2 3)+1227 3即14.454 < s < 14.512由绝对误差不超过0.06，而14.512-14.454=0.058<0.06，故s可以取14.454到14.512 任何一个数即可，不妨取s=14.49。4其它应用 其它应用在文6中，作者给出了二次根式的一个不等式：【

15、】 命题 3设 p > 0, x, y 0 ,则p+x +p+ y p+p+x+ y（16）当且仅当 x=0 或 y=0 时， （1）的等号成立。 原证比较简短，但我们更关心的是不等式（16）是如何得到的，换言之，这 类不等式具有什么样的几何意义？ 考虑函数 f ( x) =1 2 t与 g (t ) =1 2 t+y， p t p + x ，则由 g (t ) f (t ) ，得p+ x即p+ xpg (t )dt pf (t )dtp+ x+ y ? p+ y p+x ? p（17）由于不等式（16）与（17）等价，而不等式（17）具有鲜明的几何意义，它的左 右两端分别代表两个曲边梯

16、形的面积 （如图 4）（图 4） 事实上，许多重要不等式都具有类似的几何意义，如不等式x < ln(1 + x) < x （ x > 0 ） 1+ x（18）就可以利用 (1 + t )0x12dt x 1 dt 1dt 0 1+ t 0 x（19）来认识其几何意义。 由此可知，通过对一些简单的不等式积分，可能获得另一个不是十分明显的 不等式。 下面例子选自高等数学附册?学习辅导与习题选解一书，我们将用利用 定积分的几何直观方法进行新的证明，并改进其结果。 命题4【7】 命题 设 p > 0 ，证明1 dx p < <1 p +1 0 1+ x p（20）文

17、献7关于不等式（20）的证明思路是：1 p 1 = 1? = 1 ? x p dx 0 p +1 p +1p 1 1 x dx xp = (1 ? )dx = 1 ? dx 0 1 + x p 0 1 + x p 0 1+ x p 1而p 1 x 1 xp x p ，故有 dx < x p dx ，因此 p p 0 1+ x 0 1+ x1 ? x p dx < 1 ? 01xp dx 0 1+ x p1由此可知（20）式左侧的不等式成立，至于（20）式右侧的不等式，那是显然的。另证因为 f ( x) =1 （ x 0,1 ）是下凸函数，函数 f ( x) 在 (0,1) 点的切线

18、 1+ x方程为 y = 1 ? x ，根据下凸函数的几何性质，有1? x < 1 <1 1+ x（21）当 x 0,1 ， p > 0 时，有 x p 0,1 ，将（21）中的 x 换成 x p ，得1? x p < 1 <1 1+ x p（22）再对（22）两端在 0,1 上积分，立得结论成立。 下面改进不等式（20）两端的常数，将得到如下更加精细的结果： 推论2 推论2 设 p > 0 ，则1 p 3p + 2 1 1 , < dx < 1 ? p 0 1+ x 2( p + 1) p + 1 4( p + 1)max1 3 1 证明 考虑函数 f ( x) 在 (1, ) 点的切线方程为 y = ? x ，而函数的两个端 2 4 4 1 1 点 (0,1) 、 (1, ) 的连线方程为 y = ? x + 1 ，根据下凸函数的