数值分析实验1-1

1、实验1_1 病态问题实验目的：研究问题本身对扰动的敏感性实验要求：1选择充分小的ess反复进行实验，记录结果的变化并进行分析。如果扰动项的系数很小，我们自然感觉方程(E.1.1)和方程(E.1.2)的解应相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现？表明有些解关于如此的扰动敏感性如何？2将方程(E.1.2)中的扰动项改成或其他形式，实验中又有怎样的现象出现？3请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将方程(E.1.2)写成展开的形式同时将方程的解看成是系数a的函数，考察方程的某个解关于a的扰动是否敏感？与研究它关于a的倒数的大小有何关系？为什么？你发现了什么现象，哪些根关于a的变化更敏感？程序

2、代码：%function t_charpt1_1clcresult=inputdlg('请输入扰动项：在0 20之间的整数：','charp 1-1',1,'19');Numb=str2num(char(result);if(Numb>20)|(Numb<0)errordlg('请输入正确的扰动项：【0 20】 之间的整数！');endresult=inputdlg('请输入（0 1）间的扰动常数：','charpt 1-1',1,'0.00001');ess=str2n

3、um(char(result);ve=zeros(1,21);ve(21-Numb)=ess;root=roots(poly(1:20)+ve);disp('对扰动项',num2str(Numb),'加扰动',num2str(ess),'得到的全部根为：');disp(num2str(root);分析过程：（1）对扰动项的各种扰动的实验结果如表1所示：根 ess01e-0131e-0101e-0071e-005X120.00032019.996120.422+0.999203i22.5961+2.3083iX218.99719.000319.02

4、5720.422-0.999203i22.5961-2.3083iX318.011817.997317.908518.1572+2.4702i18.8972+5.00563iX416.969517.011317.150818.1572-2.4702i18.8972-5.00563iX516.050915.969815.798215.3149+2.69865i14.9123+4.95848iX614.931915.050815.18115.3149-2.69865i14.9123-4.95848iX714.068413.935213.899512.8466+2.06246i12.0289+3.7

5、3551iX812.947213.059713.057112.8466-2.06246i12.0289-3.73551iX912.034511.96111.975310.9216+1.10366i10.059+2.33021iX1010.983611.020511.010910.9216-1.10366i10.059-2.33021iX1110.00639.992399.996089.56629+0i8.63828+1.0564iX128.998329.002189.001119.11508+0i8.63828-1.0564iX138.000317.999557.999787.99387+0i

6、7.70896+0iX146.999977.000077.000037.00027+0i7.028+0iX1565.9999966+0i5.99942+0iX165555+0i5.00001+0iX174444+0i4+0iX183333+0i3+0iX192222+0i2+0iX201111+0i1+0i表1 对x19的系数扰动结果分析：从表中可以看出，以下几点：第一、 扰动量ess越小，根的变化也越小第二、 随着扰动量ess的增加，部分根出现复数，复数的实部的绝对值在不断增大，虚部系数的绝对值也在不断增大；而值比较小的根变化幅度比值大的根变化小。第三、 总体表明，此问题对扰动相当敏感，是所

7、谓的坏问题。（2）对扰动项的各种扰动的实验结果如表2所示：根 ess01e-0131e-0101e-0051e-001X120.000320.000320.000320.000319.914+0iX218.99718.99718.99718.99719.3927+0iX318.011818.011818.011818.011817.8808+1.0515iX416.969516.969516.969516.969517.8808-1.0515iX516.050916.050916.050916.050915.6501+1.60187iX614.931914.931914.931914.9319

8、15.6501-1.60187iX714.068414.068414.068414.068413.3027+1.53955iX812.947212.947212.947212.947213.3027-1.53955iX912.034512.034512.034512.034511.174+0.995982iX1010.983610.983610.983610.983611.174-0.995982iX1110.006310.006310.006310.00639.3819+0iX128.998328.998328.998328.998329.31562+0iX138.000318.000318

9、.000318.000317.97855+0iX146.999976.999976.999976.999977.00213+0iX1566665.99988+0iX1655555+0iX1744444+0iX1833333+0iX1922222+0iX2011111+0i表2 对x13的系数扰动结果分析：从表2和表1对比可以看出以下几点：第一、与表1的情况类似，扰动量ess越小，根的变化也越小，反之，越大。但是与表1不同的是，表2给出的根受扰动量ess的影响程度比较小。因为当ess=1e-005时，表2对应的根还没有变异为复根。第二、 表1和表2对比，可以初步定论：对于扰动项为，n越大，根受扰动量ess的影响越大；（3）问题的根源当扰动项未知数系数变化时，即变化时，方程组的求解主元也在发生变化，若主元很小会形成病态。从矩阵本身来看，系数使得元素间数量级相差很大且无一定规律，矩阵的条件数很大。取扰动项，则当在00.001之间扰动时，方程组的第13个解变化情况如下：由图分析可以看出，该解值关于a的扰动较为敏感。若将解x看成系数a的函数，对a求导，则a的导数为相应扰动项，在本问中