数学北师大必修ⅱ1.6.1证明线面垂直的四种方法 素材

1、证明线面垂直的四种方法直线与平面垂直是空间元素中最重要的关系之一，是建立空间概念的主要支柱，而直线与平面垂直的证明也常有以下四种方法，下面分类举例解析，供参考。一、运用直线与平面垂直的判定定理 若一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面。例1 如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求证 AB1平面A1BD。证明：由题意知，四边行ABB1A1是正方形，则AB1A1B；取BC中点E，连AE，EB ，则AEBC，在正三棱柱中，侧面BB1C1C底面ABC，故AE面BB1C1C，又BD面BB1C1C，所以AEBD，在正方形BB1C1C中又D为CC1中点

2、，易证BCDBB1E，得EB1B=DBC，而DBC+DBB1=90°，则EB1B+DBB1=90°，故EBBD，又AEEB=E，BD平面AEB1，BDAB1，又A1BBD=B，故AB1平面A1BD。点评：在本题的证明中，多次证明了直线与平面垂直，其中直线与平面垂直的判定定理是常用判定方法，必须深刻理解这个定理的内涵与实质。二、运用直线与平面垂直的第二判定定理 若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。例2 已知，=l，求证：l。证明：如图，要证l，则由线面垂直第二判定定理知，只需证l平行于的一条垂线即可。设=c，=d，在内任取一点A，作AQc于Q，则A

3、Q。同理，在内任取一点B，作BRd于R，则BR，且AQBR。又AQ，BR，故AQ，由=l，得AQl，而AQ，故l。点评：此证法可能不是此题的最简证法，但说明了一个道理，每一条路都可能是成功之路，只是对问题的理解角度不同罢了。三、运用课本中的已证命题：如果一条直线垂直于两个平行平面的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。例3 如图，已知ABCA1B1C1为正三棱柱，D、E分别为AC、A1C1的中点，CFC1D于F，求证：CF平面B1EA。证明：正三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分别是AC、A1C1的中点。BB1平行等于DE，四边形BB1ED是平行四边形，B1EBD，又 EC1平行等于AD，四边形

4、EC1DA是平行四边形，AEC1D，平面B1EA平面BC1D ；在正三棱柱中，由侧面A1C1CA底面ABC，又易知BDAC，则BD平面ACC1A1，又BD平面BDC1，平面BDC1平面ACC1A1，且交线为C1D，而CF平面ACC1A1且CFC1D，CF平面BDC1，CF平面B1EA。点评：此题中已知条件较多，围绕证题目标，正确选择解题方案、清晰地表述解题过程是立体几何证题的重要环节。例4 如图，四棱锥P-ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD-2AB=2，M为PC的中点，在PAD内找一点N，使MN平面PBD。解析：M为PC的中点，取PD中点E，则MECD且ME=CD，又ABCD且AB=CD，MEAB 且ME=AB，即四边形ABME是平行四边形；又PAAB，ADAB，AB平面PAB，因此ABAE，四边形ABME是矩形，又PDAB，由PA=AD且E为PD中点得PDAE，PD平面ABME。而平面PBD平面ABME=BE，作MNBE于F，则MN平面PBD，其中ME=CD=1，MB=AE=，tanMBE=,EN=ME·tanEMN= ME·tanMBE=1×=，即N为AE中点时，MN平面PBD。