数学导数及其应用 (1)

1、导数及其应用第I卷（选择题）一、选择题1.已知函数=，若存在唯一的零点，且0，则的取值范围为.（2，+） .（-，-2） .（1，+） .（-，-1）2.已知为常数，函数有两个极值点，则（ ） A. B. C. D. 3.（11）设函数（A）有极大值，无极小值 （B）有极小值，无极大值 （C）既有极大值又有极小值 （D）既无极大值也无极小值4. .过点引直线与曲线相交于A,B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线的斜率等于 A. B. C. D.5. 设函数的定义域为R，是的极大值点，以下结论 一定正确的是（） A. B.是的极小值点 C. 是的极小值点 D.是的极小值点 6.已知

2、函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（A）xR,f(x)=0（B）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C）若x是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-,x）单调递减（D）若x0是f（x）的极值点，则7.函数的导函数为，对任意的都有成立，则A B C D与的大小不确定8.已知函数的导函数为，满足，则等于 A B C D9.定义在R上的函数满足f（4）=1，f （x）为f（x）的导函数，已知函数y=f（x）的图象如图所示若正数a，b满足f（2a+b） <1，则的取值范围是 A（） B（CD（10.函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意xR，则f（x）2x+4

3、的解集为（A）（-1，1） （B）（-1，+） （C）（-，-1） （D）（-，+）11.设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为（ ）A1 B C D12.已知函数yx²-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或113.（05年湖北卷理）若的大小关系                      

4、60;                    （    ）       A       B       C       D与x的取值有关14

5、.（04年湖南卷理）设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数。当时，且。则不等式的解集是（A）       （B）     （C）  （D）15.（04年全国卷理）函数yxcosxsinx在下面哪个区间内是增函数（A）(，)（B）(，2)  （C）(，) （D）(2，3)16.（07年陕西卷理）f(x)是定义在（0，±）上的非负可导函数，且满足xf(x)+f(x)0,对任意正数a、b,若ab，则必有A.af(b) bf(a)    

6、;                           B.bf(a) af(b)C.af(a) f(b)                   

7、60;            D.bf(b) f(a)17.（07年浙江卷理）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（    ）18.（06年江西卷理）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x1）³0，则必有（   ）A  f（0）f（2）<2f（1）  B. f（0）f（2）£2f（1）C.  f（0）f（2）³2f（1）  D.

8、 f（0）f（2）>2f（1）19.（08年福建卷理）（08年福建卷）已知函数的导函数的图象如下图，那么图象可能是20.（07年江西卷文）设在内单调递增，则是的（）充分不必要条件                  必要不充分条件充分必要条件               &#

9、160;     既不充分也不必要条件21.（07年辽宁卷理）已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（    ）A0是的极大值，也是的极大值B0是的极小值，也是的极小值C0是的极大值，但不是的极值D0是的极小值，但不是的极值22.（08年湖北卷理）若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是 A.-1，+       B.（-1，+） C.（-，-1）   D.（-，-1）23.函数在区间上的图像如图所示

10、，则得知可能是（A） (B) (C) (D) 第II卷（非选择题） 二、填空题24.在平面直角坐标系中，已知P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_25.（08年江苏卷）对于总有成立，则=               。26.若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是_.27.已知，若任取，都存在，使得，则的取值范围为 28.(2009陕西卷理)设曲线在点（1，1）处的切线与x

11、轴的交点的横坐标为,令，则的值为 . 29.（2009福建卷理）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_.30.（08年全国卷2理）设曲线在点（0，1）处的切线与直线垂直，则a=          .31.（08年北京卷理）如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则       ；        （用数字作答）32.（06年湖南卷理）曲线和在它们的交点处的两条切线与轴所

12、围成的三角形的面积是_.33.（06年江苏卷）对正整数n，设曲线在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是34.（06年全国卷理）设函数。若是奇函数，则_。 三、解答题35.（本小题满分14分）已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为-1.（I）求的值及函数的极值；（II）证明：当时，；（III）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.36.（本小题满分12分）函数.（I）讨论的单调性；（II）设，证明：.37.（本小题满分12分）已知函数.(1) 当时，求的极值；(2) 若在区间上单调递增，求b的取值范围.38.（本题满分14分）已知函数（1） 若在

13、上的最大值和最小值分别记为，求；设若对恒成立，求的取值范围.39.（本小题满分 12 分）设函数，其中()讨论在其定义域上的单调性；()当时，求取得最大值和最小值时的的值.40.已知常数,函数.(1)讨论在区间上的单调性;(2)若存在两个极值点,且,求的取值范围.41.设函数（为常数，是自然对数的底数）.（）当时，求函数的单调区间；（）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.42.已知函数其中为自然对数的底数 （）设是函数的导函数，求函数在区间 上的最小值； （）若，函数在区间内有零点，求的取值范围 43.已知函数=（）讨论的单调性；（）设，当时，,求的最大值；（）已知，估计ln2的近似值（精

14、确到0.001）44.21（本小题满分12分）已知函数（I）求证： （II）若取值范围.45.（本小题满分13分）设函数是自然对数的底数，.（1）求的单调区间，最大值；（2）讨论关于x的方程根的个数.46.（本小题满分16分）设函数，其中为实数。（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论。47.已知函数. () 若直线ykx1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值; () 设x>0, 讨论曲线yf (x) 与曲线 公共点的个数. () 设a<b, 比较与的大小, 并说明理由. 48.设，（1）令，讨论在（

15、0.）内的单调性并求极值；（2）求证：当时，恒有。49.已知直线是曲线的一条切线. (1)求的值; (2)若当时,恒成立,求实数的取值范围.50.已知函数（常数）.（）求的单调区间；（5分）（）设如果对于的图象上两点，存在，使得的图象在处的切线，求证：.（7分）试卷答案1.B（解1）由已知，令，得或，当时，；且，有小于零的零点，不符合题意。当时，要使有唯一的零点且0，只需，即，选B（解2）：由已知，=有唯一的正零点，等价于有唯一的正零根，令，则问题又等价于有唯一的正零根，即与有唯一的交点且交点在在y轴右侧记，由，要使有唯一的正零根，只需，选B2.D令得，。又，。，故选D。3.D 4.B5.D

16、6.C7.B 8.B9.C10.B11.D令，则，由得或（舍），得，所以在x=时T（x）取最小值， 12.A13.D14.D15.B 16.A解析：设F（x）=，则，故F（x）=为减函数，由ab有，选A17.D检验易知A、B、C均适合，D中不管哪个为均不成立。18.：C，当x³1时，f¢（x）³0，函数f（x）在（1，¥）上是增函数；当x<1时，f¢（x）£0，f（x）在（¥，1）上是减函数，故f（x）当x1时取得最小值，即有f（0）³f（1），f（2）³f（1），故选C19.D解析：可明显看出的导

17、函数是减函数，所以原函数应该增加的越来越慢，排除ABC，20.C在内单调递增，则在上恒成立。；反之，在内单调递增，选C.21.C根据题意和图形知当0是的极大值时，不是的极值是不可能的，选C22.由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，故为正确答案23.B 本题主要考查了函数图像、利用导数求函数最值等知识，属于难题。解题时根据四个选项中的m,n先确定函数解析式，再利用导数求出最值点即可利用排除法找到答案。当时，图像关于直线对称，所以A不可能；当时,所以且,由图可知所以B可能;当时，所以，所以C不可能；当时，所以，所以D不可能。故选B。24. 设点，因为，所以该图象在P处的切线：，令，则

18、点M的纵坐标为，过点P作的垂线方程为，令，则点N的纵坐标为，又线段MN的中点的纵坐标为t，则，所以，所以是函数在上的极大值，也是最大值，所以时，t取得最大值.25.要使恒成立，只要在上恒成立。   当时，所以，不符合题意，舍去。当时，即单调递减，舍去。当时     若时在和 上单调递增，在上单调递减。所以     当时在上单调递减，不符合题意，舍去。综上可知a=4.答案4。26.27.28.-229.由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线，所以。30.，当时；31. 2  ，32.答案：

19、曲线和在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=x+2和y=2x1，它们与轴所围成的三角形的面积是.33.答案：2n+1-2，曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-(n+1)2n切点为（2，-2n）,所以切线方程为y+2n=k(x-2),令x=0得 an=(n+1)2n,令bn=.数列的前n项和为2+22+23+2n=2n+1-234. 35.36.解：（I）的定义域为（i）当时，若，则在上是增函数；若则在上是减函数；若则在上是增函数（ii）当时,成立当且仅当在上是增函数（iii）当时，若，则在是上是增函数；若，则在上是减函数；若，则在上是增函数（II）由（I

20、）知，当时，在是增函数当时，即又由（I）知，当时，在上是减函数；当时，即下面用数学归纳法证明（i）当时，由已知，故结论成立；（ii）假设当时结论成立，即当时，即当时有，结论成立根据（i）、（ii）知对任何结论都成立37.1）当时，的定义域为令，解得当时，所以在上单调递减；当时，所以在上单调递增；所以，当时，取得极小值；当时，取得极大值。（2） 在上单调递增且不恒等于0对x恒成立 38. 39.解：（）的定义域为，令，得所以当或时，；当时，故在和内单调递减，在内单调递增（）因为，所以 当时，由（）知，在上单调递增，所以在和处分别取得最小值和最大值当时，由（）知在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得最大值又，所以当时，在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小值40.然后利用导函数讨论的取值范围使得成立.即可解决该问题.43. (1) （2） 2（1）（2）44.45.解答：（1），令得，当所以当时，函数取得最的最大值（2）由（1）知，f(x