【2019】高中数学7直角走廊问题的研究与拓展试题无答案

1、1 / 6【2019 最新】高中数学 7 直角走廊问题的研究与拓展试题无答案苏教版普通高中课程标准实验教科书必修四第50 页有这样一个问题:一铁棒欲通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题：96（1） 证明棒长L（n）9；5sin0 5cos日（2） 求L（R的最小值（用计算器或计算机）；该题是一道非常有趣的应用题，其形式新颖，又贴近生活实际，很快吸引了我的眼球，引发了我的思考：题目中展现的是一个不等宽的直角走廊， 如果换成等宽直角走廊，情况又 有何变化？若将直角走廊换成折线形走廊、 弯角走廊，将木棒变成有厚度的平板小车（或木 板），情况又是怎样的呢？这些疑问促成了我对这个问题的研究之旅一切研究

2、都要从简单开始， 为此我们先来研究不计厚度的木棒的等宽直角走廊问题度忽略不计）的长度的最大值.如图，AB,BC，设木棒cos si2 / 6一木棒欲通过如图所示的等宽直角走廊，以下我们来探究能通过直角走廊的木棒（厚的长度为L贝V L:I：AC =AB BC2(cos。sin a I0 :、2丿3 / 6度不能超过EF长度的最小值，即平板车的长度EFmin，以下我们来探求EFmin.即 Li:x =U2(cos口+sinot )人丄.，令t =COSG+sina = J2sin a + I, sin a cosa4丿JT因为 0 : ：2si n t亠cos 1所以t1,2、则si ncos：=

3、2t2一12仝，当r12时，V 随t的增大而增大，t,Lmin =4若铁棒的长度不大于 4，则木棒能在这个直角走廊拐弯；若木棒长度大于4，则这个木棒不能在这个直角走廊拐弯，故4 是能在这个直角走廊拐弯的铁棒中的最长者.所以能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为4.进一步思考 1 如果将不计厚度的木棒变成有宽度能灵活转动的平板车呢?如图所示，一条直角走廊宽为2 米现有一转动灵活的平板车，其平板面为矩形ABEF它的宽为 1 米直线EF分别交直线AC BC于M N,过墙角D作DPI AC于P, DQL BC(1)若平板车卡在直角走廊内，且/CAB -，试求平板面的长(用 -表示);(2)若平板车要想

4、顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米七，MFt带cos tan2 2 1EF =DM DN -MF - EN -sincos tan解(1)DMsinDNEN = tan,0，则2tanH2(sin & +cos) T(2) “平板车要想顺利通过直角走廊”的含义是指对任意角sin r cos-(0),平板车的长24 / 6EF =2（曲沖）-1十，令4-2加，rm 2,4.、2一2丨si n日cos日t -1则t=m-，则h（m）二一16一 ,h（m）在m2,4 2-2上单调递减,4mm 一+412因此当m =4.,2 -2时，即时，可取EFmin=4、一2 - 2.4答：若平板车要

5、想顺利通过直角走廊，其长度不能超过（4、2 - 2）米.进一步思考 2 如果将等宽直角走廊变为非等宽直角走廊呢?若一根铁棒EF能水平地通过此直角走廊,1：t _ 2，有sin v cos=t2-1BF,BE，设木棒长度为si n：cos-8 1L(：)，则L(:厂以下探求函数L（：J的最小值.8 1L(：)，则LG)si n acosa33sin : -8cos : 入(0vav-),令L) = 0,(sin - cos )2则sin：- 2cos：,即tan：- 2，令tan：0= 2(31。0匕）当-三|：0 0时，L G ）:0；当时，LC) 0;如图，一条直角走廊宽分别为1m和8m,解

6、设/EFO =a( ),如图,2求此根铁棒的最大长度5 / 6所以很e0,：0时，函数LG ）单调递减；：-因此当且仅当，-0，即tan0 = 2时，可取得函数LG ）的最小值，即能通过该直角走廊0时，函数LC）单调递增6 / 6答：若木棒能通过该直角走廊，此木棒的最大长度为5,5米.进一步思考 3 如果将等宽直角走廊变为等宽折线形走廊呢?角走廊，则此根铁棒的最大长度为,1，则L=，易知当且仅当t=1时可取得铁棒的最小值4.I24t-3t此时0,即.BFO飞时，能通过该折线形走廊的铁棒的最大值为 4.进一步思考 4 如果将等宽直角走廊变为等宽弯角走廊呢？一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁F

7、G和外壁BC都是半径为1m的四分之一 圆弧，AB,DC分别与圆弧BC相切于B,C两点，EF/AB,GH/CD，且两组平 行墙壁间的走廊宽度都是1 m.(1)若水平放置的木棒MN的两个端点M , N分别在外壁CD和AB上，且木棒与内壁 圆弧相切于的木棒的最大值.此时sinCOS、0L(：)min=L(：0)=5,5如图，一条转角处角度为120的等宽走廊宽为1m，若一根铁棒EF能水平地通过此直jrit(-)，如图,66BF1JI则铁棒的长度为L(小二二sin(石 :)sin(石-:)1，BE =,TlTLsin( )si n( )cos：4cos： 2，4cos 3cos2：-3sin2:44令t

8、 =cos：,t兀7 / 6点P设.CMN二二(rad)，试用二表示木棒MN的长度f(;(2 )若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值.8 / 69 / 6f(C二MN= NSQTQS-)1m解（1）如图，设圆弧FG所在的圆的圆心为Q，过Q点作CD垂线，垂足为点T，且交MN或其延长线与于S,并连接PQ，再过N点作TQ的垂线，垂足为W在Rt NWS中，因为NW =2,2SNW - v，所以NS = -cos日因为MN与圆弧FG切于点P，所以PQ _ MN,在RtQPS，因为PQ =1,Z PQS =二1 1所以QS,QT -QS =2-cos日cos日1m在Rt STM中,=

9、匹空，因此MN=NS MS=NS匹空sisi 若S在线段GT的延长线上，则TS二QS - QT在Rt STM中,MSTSsinQS-QTsin r因此MN = NS-MS二NS -QS-QTsinNSQT -QSsi n10 / 6sin廿cos廿sin廿sin廿cos廿2(sin cos71) -1s(0-).sin dcosr211 / 6我们知道，三角函数是刻画现实世界的重要模型，直角走廊问题则是三角函数在现实生活中的一个具体应用通过对直角走廊问题的研究和思考，我愈加明晰了进行数学研究遵循“问题情境、建立模型、数学结果、解释应用与拓展”的逻辑线路，同时也更加深刻地领悟到直角走廊问题的数学本质其实是过定点的线段的最值问题.通过对由教材习题引出的直角走廊问题以及其变化的研究、总结和思考，我认为在平时的数学学习过程中，对于教材上的例题和习题，不能仅仅以解决习题本身为目的，更应该在老师的引导下对其进行深入的研究，发掘、积累其中蕴含的数学思想方法，感悟问题的数学本质对数学思想方法和数学本质的领悟更能帮助我们提高分析问题、解决问题的能力，不断的提升我们的数学素养，对于我们将来的工作、学习大有裨益 (2)设sin cos “ =t(1：t 2，则sinvcos v -