-多项式的因式分解定理

1、多项式X4 4在有理数域、实数域、引入课题Qx初等数学中Rx的因式分解何为不能再Cx分？§ 1-5多项式的因式分解定理x4 -4= (x2 -2)(x22)(不能再分)x4 -4=(x- ：2)(x: 2)(x22) (不能再分)x4 -4 =(x - 2)(x、2)(x - .2i)(x、2i)在不同的系数域上，具有不同形式的分解式 什么叫不能再分?平凡因式:零次多项式(不等于零的常数)、多项式自身、八刖两个的乘积Definition8 :(不可约多项式)令f(x)是Px的一个次数大于 零的多项式，如果f(x)在Px中只有平凡因式，就称f(x)为 数域P上(或在Px中)的不可约多项

2、式.(p(x)在数域P 上不能表示成两个次数低的多项式的乘积)若f(x)除平凡因式外，在Px中还有其它因式，f(x)就说是在数域P上 (或在Px中)是可约的.如果f (x) =g(x)h(x), g(x)不是平凡因式，则g(x)和h(x)的次数显然 都小于f (x)的次数.反之，若f(x)能写成两个这样多项式的乘积，那么f(x)有非平凡因式；如果Px的一个n次多项式能够分解成Px中两个次数都 小于n的多项式g(x)和h(x)的乘积即 f (x) =g(x)h(x)那么f(x)在P上可约.由不可约多项式的定义可知：任何一次多项式都是不可约多项式的不可约多项式的重要性质：一个多项式是否不可约是依赖

3、于系数域；1如果多项式f(x)不可约，那么P中任意不为零的元素 C 与f (x)的乘积c f (x)都不可约.2设f(x)是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项式，那么或者f(x)与P(x)互素，或者f(x)整除P(x).3如果多项式f (x)与g(x)的乘积能被不可约多项式P(x)整除，那么至少有一个因式被 P(x)整除.Theorem5.如果p(x)是一个不可约多项式,P(x)整除一些多 项式fi(x), f2(X), , fs(x)的乘积，那么p(x) 一定整除这些多项 式之中的一个.证明:对被除多项式的个数s用数学归纳法当s=1时显然成立；假设s=n-1时，结论成立；当 s=n 时

4、，令 gi(x) = fi(x),g2(x) = f2(x)f3(x)fn(x),如果 p(x)|gi(x),则p(x) | fi(x)命题成立,如 果 p(x) | gi(x),则(p(x),gi(x) =1 ,从 而 p(x) | g2(x),即p(x)整除f2(x), f3(X),fn(x) n-1多项式的乘积，由归纳法假设 p(x)整除其中一个多项式，根据数学归纳法原理，命题得证.因式分解及唯一性定理：多项式环Px的每一个n(n 7)次多项证 明 因 式 分 解 疋 理式f(x)都可以唯一分解成Px的不可约多项式的乘积;f(x)二 Pi(X)2 p(x) Ps(x)所谓唯一性是说，如果

5、有两个分解式f(X)二 pi(x)2 p(x)Ps(x)二 qi(x)q2(x) qt(x)那么，必有s=t，并且适当地排列因式的顺序后有Pi(x) =cq (x) (i =1,2, s)标准分解式(典型分解式)：f(X)二c» (x) p；2(X)P；s(x)其中c是f(x)的首项系数，P(X)，P2(X)，Ps(x)是不同的、首项系数为1的不可约多项式，而ri ,2rs正整数例1 :在有理数域上分解多项式，f (x) = x3 x2 - 2x - 2 .f (x) = x3 x2 -2x -2 = (x 1)(x2 x2) = (x 1)(x -1)(x 2)例2:求 f(x)-

6、 x° - 2x3 2x2 x-1在Qx内的典型分解.式f (x) =x5 -x4 -2x3 2x2x -仁(x -1)(x2x2 1) = (x -1)3(x 1)2例 3.求f (x) = 2x510x4 16x316x2 14x6 在Rx内的典型分解式.f(x) =2(x2 1)(x-1)2(x-3)=(x-1) 口 (x-coskT突出不 同数域 上不同 多项式(x6 - 1)=(x3- 1)(x31)=(x -1)(x2 x 1)(x 1)(x2-x 1)；在Rx上(x6 -1)=(x3-1)(x31)2 2=(x -1)(x x 1)(x 1)(x-x 1)；布置作业P45-15例4:分别在有理数域、实数域和复数域上分解多项式x5 -1和x6 -1为不可约多项式的乘积.解：(x5 -1) = (x - 1)(x4 x3 x2x 1) Qx(x5 -1) =(x -1)(x4 x3 x2 x 1)22兀24兀= (x1)(x -2cos 1)(x -2cos 1) Rx55(x