1、用提公因式法把多项式进行因式分解

1、1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外 面，将多项式写成因式乘积的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幕。（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】1.把下列各式因式分解（1）2 axm 2m 1abxmmacx ax3（2）a(ab)32a2 (ba)2 2ab(ba)分析:（1）若多项式的第项系数是负

2、数,一般要提出“一”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“-”号后,多项式的各项都要变号。解：2 a xm 2m 1abxmm 3acx axaxm(ax2 bx c x3)（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时，（ab)2n(ba)2n ;(a b)2n 1（b a）2n 1，是在因式分解过程中常用的因式变换。解：a(ab)32a2(ba)2 2ab(ba)a(ab)32a2(a2b) 2ab(ab)a(ab)(ab)22a(a b) 2 ba(ab)(3a2 4abb22b)2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算1239871368268竺136

3、8456 戲713685219871368987分析：算式中每一项都含有，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。1368解:987原式(123 268 456 5219873. 在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组2x5xy3y求代数式 (2x y)(2x 3y) 3x(2x y) 的值。分析：不要求解方程组，我们可以把2x y和5x 3y看成整体，它们的值分别是3和 2 ，观察代数式，发现每一项都含有 2x y ，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为 含有2x y和5x 3y的式子，即可求出结果。解： (2xy)(2x 3y) 3x(2x y) (2x y)(2

4、x 3y 3x)(2x y)(5x 3y)把2x y和5x 3y分别为3和2带入上式，求得代数式的值是6。4. 在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数 n，3n 2 2n 2 3n 2n一定是10的倍数。分析： 首先利用因式分解把代数式恒等变形，3n 2 2n 2 3n2n3n 23n2n 2接着只需证明每一项都是2n10的倍数即可。3n (321) 2n(221)10 3n5 2n对任意自然数n, 10 3n和52n 都是 10的倍数。3n 2 2n 2 3n 2n一定是10的倍数5、中考点拨：例 1 。因式分解 3x(x 2) (2 x)解： 3x(x 2) (2 x)3x(x 2)

5、 (x 2)(x 2)(3x 1)说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。32例 2分解因式： 4q(1 p)3 2(p 1)232解： 4q(1 p)32(p 1)2324q(1 p)3 2(1 p) 22(12p)22q(1 p)12(12p)2(2q 2pq1)说明： 在用提公因式法分解因式前， 必须对原式进行变形得到公因式， 同时一定要注意 符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。题型展示：精析与解答：设 2000 a ，则 2001 a 12000 20012001 2001 20002000 a10000(a 1) (a 1) (a 1)(100

6、00a a) a(a 1) 10001 a(a 1) 10001 a(a 1) (10001 10001) 0说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中2000、2001 重复出现，又有 2001 2000 1的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化 为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。24 2 4 2例 2. 已知： x2bx c( b、c 为整数)是x46x225及 3x44x228x 5的公因式，求 b、 c 的值。分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b、c,但比较麻烦。注意到x2 bx c是3(x4 6x2 2

7、5)及3x4 4x2 28x 5的因式。因而也是(3x4 4x228x 5) 的因式,所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。24解：x2 bx c 是 3(x46x225) 及 3x44x228x5的公因式也是多项式 3(x46x225)(3x4 4x228x5) 的二次因式42而 3(x4 6x225)(3x44x228x 5)14(x22x5)b、 c 为整数22得： x2 bx c x2 2x 5b 2, c 5 说明：这是对原命题进行演绎推理后,转化为解多项式14x2 28x 70 ,从而简便求得 x2 bx c。例 3. 设 x 为整数,试判断 10 5x x(x 2) 是质数还

8、是合数,请说明理由。 解： 10 5x x(x 2)5(2 x) x(x 2)(x 2)(5 x)x 2，5 x都是大于1的自然数(x 2)(5 x) 是合数说明：在大于 1的正数中，除了 1 和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。 只能被 1 和本身整除的数叫质数。实战模拟】1. 分解因式：1)4m23 n12m3n 证明： 817 279 913能被 45 整除。2mn2)2nax2abxn 化简： 1 x x(1 x) x(1 x) 2n acxn1adxn 1 ( n 为正整数)3)a(ab)3 2a2 (ba)222ab(b a)22. 计算： ( 2)11 ( 2)10 的

9、结果是()100 10A. 2100B. 210C. 2 D. 13. 已知 x、y 都是正整数，且 x(x y) y(y x) 12 ，求 x、 y。x(1 X)1995，且当x 0时，求原式的值。试题答案】1. 分析与解答：1) 4m2n3 12m3n2 2mn222mn(2mn 6m n 1)2)2nax2 abn1xIacxnnadx1nax1(ax 3bx2cxd)3)原式a(ab)32a2(a b)22ab(a b)a(ab)2(ab) 2a2ba(ab)2(3a3b)23a(a b)2注意：结果多项因式要化简，同时要分解彻底。2. B3. x(x y) y(y x) 12(x y)(x y) 12x、 y 是正整数12分解成 1 12， 2 6， 3 4又 x y与x y奇偶性相同，且x y x yxy2xy6x4y2说明：求不定方程的整数解，经常运用因式分解来解决。4. 证