2016年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)文数

1、2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文数、选择题1. （ 5 分）（2016?浙江）已知全集 U=1，2，3，4, 5，6，集合 P=1，3，5，Q=1，2, 4，则（？UP）U Q=（）A . 1 B . 3 , 5C. 1 , 2, 4, 6 D. 1 , 2, 3, 4, 52. （5分）（2016?浙江）已知互相垂直的平面a, B交于直线I，若直线m, n满足m/ a, n丄3,则（ ）A . m / I B . m / n C. n丄 I D. m± n23. （ 5分）（2016?浙江）函数 y=sinx的图象是+y- 3>04. （ 5分）（2016?

2、浙江）若平面区域2x-y - 3<0，夹在两条斜率为1的平行直线之间，x- 2yt3>0则这两条平行直线间的距离的最小值是（）A .二B . - C.二 D.二525. （ 5 分）（2016?浙江）已知 a, b> 0 且 a力,b力，若 logab> 1,则（）A . （a- 1） （b- 1）v 0 B. （ a- 1） （a- b）> 0 C. （b - 1） （b - a）v 0D. （b -1） （ b- a）> 026. （ 5分）（2016?浙江）已知函数f （x） =x +bx，贝U b v 0”是“ （f （x）的最小值与f （x） 的最

3、小值相等”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件D 既不充分也不必要条件x7. （ 5分）（2016?浙江）已知函数f （x）满足：f （x）润且f （x）多,x R.（）A .若 f （a）哼b|，贝U a电 B .若 f （a）电b,则 abC.若f（a）哉I,贝Ua为D .若f（a）多b,贝Va纣）8. （ 5 分） （ 2016 ?浙江）如图，点列An、Bn分别在某锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|,* *AnAn+1, nN , |BnBn+1 |=|Bn+1Bn+2|, BnBn+1 , n N ,（ P 电表示点 P 与 Q 不重合）若

4、 dn=|AnBn|, SnAnB nBn+1 的面积，则（）2A . Sn是等差数列B . Sn是等差数列2C. d n是等差数列D . dn 是等差数列二、填空题9. （ 6分）（2016?浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3.正视團 侧视图俯视图2 2 210. （6分）（2016?浙江）已知 aR，方程ax+ （a+2） y+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐 标是，半径是.211. （6 分）（2016?浙江）已知 2cos x+sin2x=Asin （ ®x+ $） +b （A > 0）,贝U A=,b=.3212

5、. （6 分）（2016?浙江）设函数 f （x） =x +3x +1，已知 aMD，且 f （x）- f （a） = （ x - b）（x - a） 2, xR，则实数 a=, b=.13. （4分）（2016?浙江）设双曲线 x2-=1的左、右焦点分别为F2，若点P在双曲-1线上，且 F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF21的取值范围是 ._14. （4 分）（2016?浙江）如图，已知平面四边形ABCD , AB=BC=3 , CD=1 , AD=",/ ADC=90 °沿直线AC将厶ACD翻折成 ACD :直线AC与BD所成角的余弦的最大值 是.15. （4

6、分）（2016?浙江）已知平面向量|,比| 1=1 , | *=2, =1，若为平面单位向量,则1+1：的最大值是三、解答题16. （ 14分）（2016?浙江）在厶ABC中，内角A ,B,C所对的边分别为 a, b, c,已知b+c=2acosB .（1）证明：A=2B ;（2）若 cosB= ，求 cosC 的值.17. （15 分）（2016?浙 江）设数列an的前 n 项和为 Sn,已知 S2=4 , an+1=2Sn+1 , n 讯.（I）求通项公式 an ；（n）求数列|an - n - 2|的前n项和.18. （ 15分）（2016?浙江）如图，在三棱台 ABC - DEF中，平

7、面BCFE丄平面ABC，/ACB=90 ° BE=EF=FC=1 , BC=2 , AC=3 .（I）求证：BF丄平面ACFD ;（n）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.219. （15分）（2016?浙江）如图，设抛物线 y =2px （p > 0）的焦点为F,抛物线上的点 A到 y轴的距离等于|AF| - 1,（I）求p的值；（n）若直线AF交抛物线于另一点 B，过B与x轴平行的直线和过 F与AB垂直的直线交 于点N , AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围.20. （15 分）（2016?浙江）设函数 f （x）2昌-x+xx) ：.2016年普通高等学校招生

8、全国统一考试（浙江卷）文数参考答案与试题解析1. C【分析】先求出？UP,再得出（？UP）U Q.【解答】解：?uP=2 , 4, 6,（?UP）U Q=2 , 4, 6 U 1 , 2, 4=1 , 2, 4, 6. 故选C.2. C【分析】由已知条件推导出I? 3,再由n丄3,推导出n丄I.【解答】 解：互相垂直的平面a, 3交于直线I，直线m, n满足m/ a,'mil 3或 m? 3或 m丄 3 , I? 3, n 丄 3, n 丄 I.故选：C.3. D【分析】根据函数奇偶性的性质，以及函数零点的个数进行判断排除即可.【解答】解：T sin （- x） 2=sinx2,2函数

9、y=sinx2是偶函数，即函数的图象关于y轴对称，排除 A , C;由 y=sinx2=0,则 x =k n, k0 ,则 x= ±, k0 ,故函数有无穷多个零点，排除B ,故选：D4. B【分析】作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计算距离.【解答】 解：作出平面区域如图所示：2x-j-3=O当直线y=x+b分别经过A, B时，平行线间的距离相等.x+y - 3=0联立方程组*，解得A (2, 1),2i - y 3=0联立方程组x+y - 3=0x-2y+3-0，解得 B( 1，2).两条平行线分别为平行线间的距离为b> 1,(b - 1)f (x)

10、=,y=x - 1, y=x+1，即 x - y - 1=0, x - y+1=0 .=匚， 故选：B.5. D【分析】根据对数的运算性质，结合a> 1或0v av 1进行判断即可.【解答】 解：若a> 1,则由logab> 1得logab>logaa,即b>a> 1，此时b- a>0, 即(b- 1) ( b- a)> 0,若 0v av 1,则由 logab> 1 得 logab> logaa, 即卩 bv av 1，此时 b - av 0, bv 1,即(b - a)> 0,综上(b - 1) (b - a)> 0,

11、故选：D.6. A【分析】 求出f (x)的最小值及极小值点，分别把b v 0”和“(f ( x)的最小值与的最小值相等”当做条件，看能否推出另一结论即可判断.【解答】解：f (x)的对称轴为x= - : fmin (x)=-'.242(1 )若 b v 0，则-：-,当 f (x)=- '时，f (f (x)取得最小值 f (-：')2422即f (f (x)的最小值与f (x)的最小值相等. b v 0”是“(f (x)的最小值与f (x)的最小值相等”的充分条件.(2)若f (f (x)的最小值与f ( x)的最小值相等，则fmin ( X)。丄即-丄解得b包)或

12、b2.242 b v 0”不是f (f (x)的最小值与f (x)的最小值相等”的必要条件. 故选A .7. B【分析】根据不等式的性质，分别进行递推判断即可.【解答】解：A .若f (a)哼b|，则由条件f (x)湫得f (a)羽即|a|b|，贝U ab不一定成立，故 A错误，IB .若 f (a)电，X则由条件知f (X)多，即 f (a)畧则 2%f (a) b,则ab,故B正确，C.若f (a)哉I,则由条件f (x)湫得f (a)举I,则|a|哉|不一定成立，故 C错误，D 若f(a)S2b,则由条件f(x)多x，得f(a)支a,则2a£，不一定成立，即a为不一定成立，故D

13、错误，故选：B& A【分析】设锐角的顶点为 O,再设 |OAi|=a, |OBl|=b, |AnAn+l|=|An+lAn+2|=b, |BnBn+1|=|Bn+lBn+2|=d，由于 a, b 不确定，判断 C, D 不正确，设 AnBnBn+1 的底边 BnBn+1上的咼为hn,运用三角形相似知识，hn+hn+2=2hn+1，由Sn= d?hn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，进2而得到数列Sn为等差数列.【解答】解：设锐角的顶点为 O, |OAi|=a, |OBi|=b,|AnAn+l|=|An+lAn+2|=b, |BnBn+1 |=|Bn+lBn+2|=d,由于a, b不确定

14、，则d n不一定是等差数列，2d n 不一定是等差数列，设厶AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn,由三角形的相似可得一二=,%+ 0An+1 a+nb、亠 r 亠：- I -: ：i 1m两式相加可得，":=二二=2,£+ a+nb即有 hn+hn+2=2hn+1 ,由 Sn=d?hn，可得 Sn+Sn+2=2Sn+1,即为 Sn+2 Sn+1=Sn+1 - Sn, 则数列Sn为等差数列. 故选：A.9.80; 40.【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体下部为长方体，上部为正方体的组合体，结合 图中数据求出它的表面积和体积即可.【解答】解：根据几何体的三视图，

15、得；该几何体是下部为长方体，其长和宽都为4，高为2,2223表面积为2 >4 >4+2总=64cm，体积为2 >4 =32cm ；上部为正方体，其棱长为 2,表面积是6>22=24 cm2,体积为23=8cm3；22所以几何体的表面积为 64+24 - 2 >2 =80cm ,3体积为 32+8=40cm .故答案为：80; 40 .10.（ 2, 4 ）,5.【分析】由已知可得a =a+2老，解得a= - 1或a=2，把a= - 1代入原方程，配方求得圆心坐 标和半径，把a=2代入原方程，由D2+E2- 4FV 0说明方程不表示圆，则答案可求.2 2 2【解答】

16、 解：方程a x + （a+2） y +4x+8y+5a=0表示圆，2二 a =a+2 旳，解得 a= - 1 或 a=2.当 a=- 1 时，方程化为 x2+y2+4x+8y - 5=0 ,配方得（x+2） + （y+4） =25，所得圆的圆心坐标为（-2, - 4）,半径为5;当a=2时，方程化为_ | _,£此时 - r - N -，方程不表示圆，【分析】【解答】故答案为：（-2,- 4）, 5.根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案.2解：T 2cos x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+ :sin2x) +1= risin (2x+) +1

17、, A= '：, b=1 , 故答案为：匚；1.2【分析】根据函数解析式化简 f （x）- f （a）,再化简（X-b） （x - a） 2,根据等式两边对应项的系数相等列出方程组，求出a、b的值.【解答】解：T f (x) =x3+3x2+1 ,3232 f (x) - f (a) =x +3x +1 -( a +3a +1)32/ 32、=x +3x -(a +3a )2223222( x- b) (x- a) = (x - b) (x - 2ax+a ) =x -( 2a+b) x + (a +2ab) x - a b, 且 f (x) - f (a) = (x - b) (x

18、- a) 2,-2a-b=3 a2+2ab=0卫鲜3界二逗a=0"b二 - 3I（舍去），故答案为：-2; 1 .13.；）.【分析】由题意画出图形，以 P在双曲线右支为例，求出/pf2f1和/ F1PF2为直角时|PF1|+|PF2|的值，可得 F1PF2为锐角三角形时|PF1|+|PF2|的取值范围.【解答】解：如图，由双曲线 x2- 丁 =1,得 a2=1 , b2=3,3不妨以P在双曲线右支为例，当PF2丄x轴时，把 x=2 代入 x2-=1，得 y= ±3,即 |PF2|=3,此时 |PF1|=|PF2|+2=5，则 |PF1|+|PF2|=8;由 PF1 丄 p

19、f2，得I - =FT - I : ,又|PF1|-|PF2|=2,两边平方得：|厂| -:| .-_2'.|PF1|PF2|=6,联立解得：|!学1+打，-1 ，上此时 |PF1|+|PF2|= *八.使厶F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是（-"'）故答案为：（亦，S）.14.-【分析】如图所示，取AC的中点D E丄AC，垂足为E, D E=6BF / BO，作 FE / BO 交 BF 于点O , AB=BC=3 ,可得 BO 丄 AC ,在 Rt ACD 中，AC=.作 CO= : CE= f " =', EO=CO -

20、2CA 6F,则EF丄AC .连接D F. Z FBD为直线 AC与BD所成.过点B作的角.则四边形 BOEF为矩形，BF=EO=-. EF=BO= .则Z FED为二面角 D - CA -322 B的平面角，设为 0.利用余弦定理求出 D F的最小值即可得出.【解答】 解：如图所示，取 AC的中点O,T AB=BC=3 , BO丄AC ,在 Rt ACD '中，i ： 一 ：=作 D E丄AC,垂足为 E, D 'E=-= C0=,CE= '=',2CA V6 6 EO=CO - CE= '.3过点B作BF / BO，作FE/ BO交BF于点F,贝U

21、EF丄AC .连接 D F. Z FBD '为直线 AC 与BD '所成的角.则四边形BOEF为矩形， BF=EO=3'=.EF=BO=则Z FED为二面角D - CA - B的平面角，设为 0."cos 9= ' - 5cos 0.,cos 0=1 时取等号.则 D F2=2 厂 D'B的最小值=:=2.V6直线AC与BD所成角的余弦的最大值BF巧=晶 DZ B故答案为：7【分析】由题意可知，|"|+|： "T为I在匚上的投影的绝对值与I；在l上投影的绝对值的和，由此可知，当匚与.-I r 1共线时，| " T

22、+ |： * T取得最大值，即I 1- ：【解答】解：G勺+|十一.:， 其几何意义为I在上的投影的绝对值与：】在上投影的绝对值的和，当L与.-I H共线时，取得最大值. I'：.-. I.故答案为：.16.【分析】(1)由 b+c=2acosB,利用正弦定理可得：sinB+sinC=2sinAcosB ,而 sinC=sin (A+B ) =si nAcosB+cosAsi nB，代入化简可得： sin B=sin (A - B),由 A , B ( 0, n),可得 0 v A - B v n,即可证明.用 cosC= - cos (A+B ) = cosAcosB+sinAsin

23、B 即可得出.【解答】(1)证明：T b+c=2acosB,/ sinB+sinC=2sinAcosB ,/ sinC=sin (A+B ) =sinAcosB+cosAsinB ,/ sinB=sinAcosB cosAsinB=sin (A B)，由 A , B (0, n), 0 V A B V n, B=A B ,或 B= n( A B),化为 A=2B，或 A= n (舍去). A=2B . cosC= cos (A+B ) = cosAcosB+sinAsinB=17.【分析】(I)根据条件建立方程组关系，求出首项，禾U用数列的递推关系证明数列an是公比q=3的等比数列，即可求通项

24、公式an；(H)讨论n的取值，利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列叫-n-2|的前n项和.【解答】 解：(I)T S2=4 , an+i=2Sn+1, n N*.二 ai+a2=4, a2=2Si+1=2ai+1,解得 ai=i, a2=3,当 n支 时，an+i=2Sn+i, an=2Sn-i + i ,两式相减得 an+i an=2 (Sn Sn-1) =2an,即 an+i=3an，当 n=i 时，ai=i, a2=3,满足 an+i =3an,丄!=3，则数列an是公比q=3的等比数列，an则通项公式an=3n i.(n) an n- 2=3n i n- 2,设 bn=|

25、an - n 2|=|3n i - n 2|,则 bi=|3 i 2|=2, b2=|3 2 2|=i,当 n為时，3“ i n 2>0,则 bn=|an n - 2|=3n i n 2,g -孙2)此时数列|an n- 2|的前n项和Tn=3+一:(5+n+2) (n - 2) 3n _ n2 _ 5n+ll2 = 22,3,则"i8.【分析】(I)根据三棱台的定义，可知分另砸长AD , BE, CF,会交于一点，并设该点为K，并且可以由平面 BCFE丄平面ABC及/ ACB=90。可以得出AC丄平面BCK，进而得出 BF丄AC .而根据条件可以判断出点 E, F分别为边BK

26、 , CK的中点，从而得出 BCK为等 边三角形，进而得出 BF丄CK，从而根据线面垂直的判定定理即可得出BF丄平面ACFD ;(H)由BF丄平面ACFD便可得出/ BDF为直线BD和平面ACFD所成的角，根据条件可 以求出BF= '；, DF=:,从而在Rt BDF中可以求出BD的值，从而得出 cos/ BDF的值, 即得出直线BD和平面ACFD所成角的余弦值.【解答】 解：（I）证明：延长 AD , BE, CF相交于一点K，如图所示:平面 BCFE丄平面 ABC，且 AC丄BC ; AC 丄平面 BCK , BF?平面 BCK ; BF 丄 AC ;又 EF / BC , BE=EF=FC=1 , BC=2 ; BCK为等边三角形，且 F为CK的中点； BF 丄 CK，且 AC ACK=C ; BF丄平面ACFD ;（n）v BF丄平面 ACFD ;/ BDF是直线BD和平面ACFD所成的角；/ F 为 CK 中点，且 DF / AC ; DF ACK的中位线，且 AC=3 ;在 Rt BFD 中，二cos【-;即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为319.【分析】（I）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得p值；（n）设出直线 AF的方程，与抛物线联立，求出 B的坐标，求出直线 AB , FN的斜率， 从而求出直线BN的