数学中恒成立与有解问题

1、数学中恒成立与有解问题优选文档数学中的恒成立与有解问题、恒成立问题若不等式f xA在区间D上恒成立,则等价于在区间x min A若不等式f xB在区间D上恒成立,则等价于在区间xmax常用方法1、分别变量法;2、数形结合法；3、利用函数的性质;4、改正主元等;1、由二次函数的性质求参数的取值范围 例题1.若关于x的不等式ax 2 2x20在R上恒成立,求实数a的取值范围.解题思路解析：当：结合二次函数的图象求解a 0时,不等式2x 20解集不为不满足题意；0时，要使原不等式解集为R ,只要222a,解得a0综上,所求实数a的取值范围为(1,22、转变成二次函数的最值求参数的取值范围例题2:已知

2、二次函数满足 f (0)1 ,而且1)f ( x) 2x ,请解决以下问题(1) 求二次函数的解析式。(2) 若f (x) 2x m在区间1,1上恒成立解题思路：先分别系数,再由二次函数最值确定取值范围.的取值范围。解析：(1)设£ ( x) ax 2 f ( x 1) f ( x)bx c(a2x . . a( x0).由 f (0)1 得1)2即 2ax a b由(1)知x22x，因此2a 2,2x m 在b( x 1)0，解得a1,1恒成立，即m1,故 f ( x)(ax2 bx1,bx22axbx1.1) 2x1 f ( x)3x 1 在1,1x2恒成立.令 g( x)g(1

3、)x23x1 (x 3)2规律总结：1 .因此m的取值范围;(,贝U g(x)在 ,1).1,1上单调递减.因此g(x)在1,1上的最小值为m f (x)对所有x R恒成立Um f (x) min ; m f ( x)对所有 x R 恒成立"Um f (x) max ;注意参数的端点值能否取到需检验。二、有解问题3、方程的有解问题例题3:题干与例题(1 ) 同例题2.(2)若 f ( x) 2x2相同m在区间1,1上恒成立的取值范围。解题思路：先分别系数 解析：(1)解法同例题2,再由二次函数值域确定取值范围由 知令 g( x)2xx22x1,1恒成立在1,1恒成立3x 13x(x3

4、)225 ,则 g(x)在41,1上单调递减.因此g(x)在1,1上的最大值为g( 1)g(1)1，因此m的取值范围是1,5规律总结：若方程m f (x)在某个区间上有解只要求出f (x)在区间上的值域A使m A。4、不等式的有解问题例题4题干与伤J题2相同(1 ) 同例题2.优选文档(2) 若f(x) 2x m在区间1,1上有解 ，求m的取值范围。解题思路：先分别系数,再由二次函数最值确定取值范围.解析：(1)解法同例题2(2)由(1)知 x2x1 2xm 在1,1有解，即 mx2 3x 1 在1,1有解令g( x) x23x1 (x,3)2 5 ,则g(x)在1,1上单调递减.因此g(x)

5、在1,1上的最大值为2 4g( 1) 5.因此m的取值范围是(,5)。.内有解则规律总结：m f (x)在区间 a,b , m f ( x) max ; m f (x)在区间 a,b内有解，则m f ( x) min； 注意参数的端点值能否取到需检验。一、确定“主元”思想常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量.例1.关于满足 0 P 4的一的确数 p ,不等式x2 +px>4x+p-3恒成立，求 x的取值范围.解析：习惯上把x看作自变量，记函数 y= x 2+(p-4)x+3-p,于是问题转变成当p 0,4时y>0恒成立,求x的范围.解决这个问题需

6、要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的.若把x与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转变成在0,4内关于 p的一次函数大于 0恒成立的问题.解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3 ,当x=1时显然不满足题意.由题设知当 0 p 4 时 f(p)>0 恒成立，f(0)>0,f(4)>0 即 x2-4x+3>0 且 x2-1>0 ,解得x>3或x<-1 .x的取值范围为 x>3或x<-1 .二、分别变量关于一些含参数的不等式问题，若是可以将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和

7、参数分别位于不等式的左、右两边，尔后经过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参 数的不等式的问题。三、数形结合来达到解决问题的关于含参数的不等式问题，当不等式两边的函数图象形状显然，我们可以作出它们的图象,4+x 1 a恒成立，求a的取值氾围.目的.例3.设x 4,0,若不等式 J x( 4 x)解析与解：若设函数 yx( 4tx),则(x 2)2 y12 4( y10)，其图象为上半圆.设函数y24 x1 a ,其图象为直线.3在同一坐标系内作出函数图象如图，优选文档| 8 3 3a |依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心(2,0)到直线4x 3 y 3 3a 0且1 a 0时成立，即a的取

8、值范围为 a 5.例5、不等式(x-1) 2<log ax在x (1,2)上恒成立，求 a的取值范围。解析：这种种类的不等式对高中学生来说直接求解是很困难的，因此一般来说采 用数形结合的方法。解：设y1=(x-1) 2,y2=iog ax,如右图所示要使对所有x (1,2),y <y恒成立，12显然须 a>1, 且log a2 > 1。1<a 2的距离d四、分类谈论当不等式中左、 右两边的函数拥有某些不确定因素时，应用分类谈论的方法来办理，分类谈论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决供应新的条件。例4.当x 2,8时，不等式log 2 a2 1 x1

9、恒成立，求a的取值范围.解:当2a 21时，由题设知一1一2a 212a 21解得a,1)(1,(2)当1时，由题设知2a 21恒成立，即x2a 2解得a).a的取值范围是1)xmin , IKIxmax2,812a 2 12,8 82a 212 , 3)24(1,)已知函数的单调性求参数范围问题方法：转变成不等式的恒成立问题：即“若函数单调递加，则f ( x) 0 ;若函数单调递减，则f (x) 0”来求解.例：若函数f ( x)x3 ax 2 1在1,2上单调递减，求实数a的取值范围.思路点拨：先求出导函数，再利用导数与单调性的关系或转变成恒成立问题求解.f ( x) 3x 2 2ax x

10、(3x 2a)解析：方法一：由 f ( x)在1,2上单调递减知f (x)0 ,即3x2 2ax 0在1,2上恒成立3 3即a x在1,2上恒成立.故只要a (x) max ,故a 3 .4 2优选文档综上可知，a的取值范围是3,+ 8).方法二：当a 0时，f (x)0，故y f ( x)在(,)上单调递加，与y f ( x)在1,2上单调递减不符，舍去 ._ a,0，与3a 0时，由f ( x)0得.a w x& 0,即f ( x)的单调递减区间为3f ( x)在1,2上单调递减不符，舍去0时，由一、c2f (x) 0 得 0w x<_a ,3f ( x)的减20, -a,由

11、 f ( x)在32，得 a>3.22 ,2上单调递减得a _3a的取值范围是3,+OO).1，4练习3 (2012许昌模拟)若不等式ax2+ bx 2V 0的解集为C. 28D. 26解析答案1x= 2,是方程ax2+ bx 2= 0 的两根,424, b= 7.ab= 28.7.若不等式|3x b | 4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b白取值范围是.(5,7)8 .设函数f (x)| x 4 | | x 1 |,则f ( x)的最小值是3 ，若f (x) 5,则x的取值范围是.0,59 .不等式| x 3 | | x 1| a23a对任意实数 x恒成立，则实数a的取值范围为(

12、B )A. (, 25,) B. (, 1 4, ) C. 1,2D. ( , 1 2,)10 .不等式ax2+ 2ax+ 1 >0对所有x R恒成立，则实数 a的取值范围为 .解析 当a= 0时，不等式为 1 > 0恒成立;rr y a> 0,当a中0时，须A< 0,a> 0,4a 4a w 0. . 0v a< 1,综上 0w a< 1.答案 0,1 12.已知关于x的不等式ax 1V 0的解集是(x 1【解析】由不等式判断可得a丰0且不等式等价于1) u ( 1 ,).则 a2a(x 1)( x ) 0数学中恒成立与有解问题数学中恒成立与有解问题

13、优选文档由解集特点可得a 0且_1a2a 2答案：-214.已知不等式ax2+ 4x+ a> 1- 2x2对一的确数x恒成立，求实数a的取值范围.a > 0,审题视点化为标准形式 ax2 + bx+ c> 0后分a= 0与a乎0谈论.当a乎0时，有=b2 4acv 0.解原不等式等价于(a+ 2)x2+ 4x+ a- 1 > 0对一的确数恒成立，显然a=- 2时，解集不是 R ,因此a? 2,a+ 2> 0,从而有=42-4 a+ 2 a- 1 < 0,a> 2,a> 一 2,整理，得因此a- 2 a+ 3 > 0,a< 3 或 a&

14、gt; 2,因此a> 2.故a的取值范围是(2, +8 ).力夫总不等式ax2+ bx+ c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a= 0时，b = 0, c> 0;当a*0时，a> 0,不等式ax2+ bx+ c< 0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a= 0时，b= 0, c<0;当a? 0时，v 0；a< 0,v 0.【训练2】 当x (1,2)时，不等式x2+ mx+ 4<0恒成立，则 m的取值范围是 .4解析 法一 当xG (1,2)时，不等式 x2+mx+ 4<0可化为：m< - x+ ；,4又函数f(x) =- x

15、+ X在(1,2)上递加，则 f(x)> 5,则 m< 5.法二 设 g(x) = x2+ mx + 4当m2< 32,即 m> -3 时，g(x)v g(2)= 8 +2m,m 3当一 > ,即mV 3时，g(x)v g(1) = 5 + m由已知条件可得：m) 3,mV 3,或8+ 2m < 0,5+ mW 0.解得mW 5答案(一巴一5优选文档15.若a 1,31时，不等式ax2+(a-2)x-2>0恒成立，求实数 x的取值范围15.【解析】 设 f(a)=a(x 2 +x)-2x-2，则当 aG 1,3 时 f(a)>0 恒成立.f (1

16、)x2x 20,f (3) 3x2 x 2 0x 2 以 x 1x 2 或 x 1,3得 x>2 或 x<-1.实数x的取值范围是 x>2或x<-1.1.(不等式选做题)若关于x的不等式| a |?| x是1| | x 2 |存在实数解，则实数a的取值范围【解析】先确定| x 1| x 2 |的取值范围，再使得a能取到此范围内的值即可.【解】当 x ,1 时，| x 1| | x 2 | x 1 x 22x 1 ?3 ；当 1 x , 2 时，| x 1| x 2 | x 1 x 2 3 ;当 x 2 时，| x 1| | x2 | x 1 x 2 2x 1 3 ；综上

17、可得| x 1| | x 2 | ?3 ,因此只要| a |?3，解得a ,即实数a的取值范围是(,3 U 3,).【答案】(,3 U 3,).1不等式ax2 4x a 1 2x2对所有xR恒成立，则实数 a的取值范围是解析:不等式ax 2 4x a 1 2x 2对所有x R恒成立,即(a 2)x 2 4x a 1若a 2 =0,显然不成立若a 20,则02.若不等式x2 + ax+ 10关于所有xA .0B .20对所有x R恒成立0a 2(0,】)成立，则a的取值范围是2C.- 5D. -32优选文档解析：设f ( x) = x2+ ax+ 1,则对称轴为x= a，若一a 1 ,即a 1时

18、，则f ( x)在0, 1上是减函数，应有f (若一:0,即a2,22 2_)0x - 1220时，则f (x)在0, 1J上是增函数，应有f (0)2=1 0恒成立，故a 0若0 3,即一1a 0,则应有2 2上，有一 a,应选C .2f(-：)=上-ol +1=T224240恒成立，故1 a 0 . 综4、已知不等式 |x4 x 3 a在实数集 R上的解集不是空集，求实数a的取值范围(答：a 1 )3、若不等式2xm(x 2 1)对满足m 2 的所有m都成立则x的取值范围(7125、若不等式x2 2mx2m 1 0 对 0 x1的所有实数x都成立，求m的取值范围.(答：m1 .已知y =

19、x3+ bx2+ (b + 2)x + 3是R上的单调增函数，则b的取值范围是 ()3A. b<- 1 或 b> 2 B. b<- 2 或 b>2 C. 1 < bv2 D. 1< b< 2解析 D 由题意，得 y' = x2+ 2bx+ b+ 2> 0 在 R 上恒成立，.=4b2- 4(b + 2)< 0,解得1W b< 2.112,函数f( x) = x3+ -(2 a) x 2ax + 5在区间1,1上不只一，则 a的取值氾围是 .3 2解析 f (x) = x2+ (2 a) x- 2a = (x+ 2)( x- a

20、) = 0 的两根为x1 =- 2 , x2= a.若 f(x)在1,1上不只一，则1< a<1.3,已知a>0 ,函数f(x)= x3- ax在1 , +8 )上是单调增函数，则 a的最大值是 .解析由题意知，f' (x) = 3x2 - a 在1 , + oo)上有 3x2 a> 0 恒成立，a< (3x2) min ,而 (3x2)min = 3, . aW 3.4 .已知f( x)= ex- ax - 1.若f(x)在定义域 R内单调递加，求a的取值范围.解析 : f(x) = ex ax- 1,. f' (x) = ex- a. 丁 f(

21、x)在 R 上单调递加，f' (x) = ex a> 0 恒成立，即 aw ex, x R 恒成立. xG R 时，exG (0, + oo ), . a< 0.即 a 的取值范围为(一巴 0.5 .函数f(x) = 4 x2 - mx + 5在区间2, +oo )上是增函数，则 f(1)的取值范围是 优选文档解析由题意知 m< 2,. mW 16,. f(1) = 9-m> 25.86 .已知函数 f ( x) ax 3 3x2 x 1在R上是减函数，求实数 a的取值范围.解由题意得 f' ( x)= 3ax2+ 6x- 1.若f(x)在R上是减函数，a v 0,则 f ( x) 0 (xGR)恒成立，解得 a< 3.= 36+ 12a < 0,故实数a的取值范围是(8 , 3.7 .已知函数f( x) x3 ax 2 x 1在(一8, 1上是增函数，试求实数a的取值范围.解析 f' (x)= 3x2+ 2ax + 1,由于函数f( x)在(一 8, 1上是增函数，当xG ( 巴 1时，f ( x) 0 (在个别点f' (x)可以为0)恒成立，即 3x2+ 2ax+ 1 >0 在 x<