4、解排列组合问题常用方法(二十种)

1、解排列组合问题常用方法（二十种）、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法） 例1、由0,2,3, 4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数？分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。末位和首位有特殊要求。先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有 C3种组合；然后排首位，从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有C4种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有A4种排列。由分步计数原理得 c3c1a3 288。变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？25分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有A4种排列，再

2、种其它葵花有 A5种排列。由分步计数原理得 Aa51440。二、相邻问题捆绑法例2、7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：分三步。先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复 合元素， 再与其它元素 进行排列，同时 在两对 相邻元素 内部进行自排 。由分步 计数原理得 AfAfAf 480。变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。2分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有A5种排列。三、相离问题插空法例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能

3、连续出场，则节目出场顺序有多少种？分析：相离问题即不相邻问题。分两步。第一步排2个相声和3个独唱共有A5种排列，第二步将4个舞蹈插入第一步排好后形成的 6个空位中（包含首尾两个空位）共有A4种排列，由分步计数原理得A5a443200。变式3、某班新年联欢会原定的 5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节 目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为 。分析：将2个新节目插入原定5个节目排好后形成的 6个空位中（包含首尾两个空位）共有A?种排列， 由分步计数原理得 A 30 0四、定序问题除序（去重复）、空位、插入法例4、7人排队，其中甲、乙、丙 3人顺序一定，共有多少

4、种不同的排法？分析：（除序法）除序法也就是倍缩法或缩倍法。对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几 个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数。共有不同排法种数为：3 840。As（空位法）设想有 7把椅子，让除甲、乙、丙以外的四人就坐，共有A；种坐法；甲、乙、丙坐其余的三个位置，共有1种坐法。总共有 A 840种排法。思考：可以先让甲乙丙就坐吗？（可以）（插入法）先选三个座位让甲、乙、丙三人坐下，共有C；种选法；余下四个空座位让其余四人就坐，共有A4种坐法。总共有 C；A：840种排法。变式4、10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增

5、加，共有多少种不同的排法？分析：10人身高各不相等且从左至右身高逐渐增加，说明顺序一定。若排成一排，则只有一种排法；5现排成前后两排，因此共有 G。252种排法。例5、6本不同的书平均分成 3堆，每堆2本，有多少种不同的分法? 分析：分三步取书有 cfcfc；种分法，但存在重复计数。记第二步取CD，第三步取 EF，该分法记为 AB, CD，EFAB，CD，EF、AB，CD，EF、AB，CD，EF、Wc；五、平均分组问题倍除法（去重复法）6本书为ABCDEF，若第一步取AB， ，则在 CfCC；中还有 AB, CD， EF 、 AB，CD， EF共A种分法，而这些分法仅是 AB, CD，EF 一

6、种分法。总共应有 6 3 2种分法。平均分成的组，不管它们的顺序如何，都 A3是一种情况，分组后一定要除以 An （ n为均分的组数），避免重复计数。变式5、将13个球队分成3组，一组5个队，其它两组4个队，有多少种不同的分法？分析：分三步。第一步取5个队为一组，有C；3种分法；余下8个队平均分成两组，每组4个队，有C；C： 种分法，但存在重复计数。记 8个队为ABCDEFGH，若第二步取 ABCD，第三步取EFGH，该分法 记为 ABCD，EFGH ，则在C；C：中还有 EFGH，ABCD共A种分法，而这 A种分法是同一种分C4C4法。总共应有g38 24种分法。变式5、10名学生分成3组，

7、其中一组4人，另两组3人，正、副班长不能分在同一组，有多少种不同的分组方法？分析：总的分组方法：分三步。第一步取 4人为一组，有 C40种分法；余下6个人平均分成两组， 每组3个人，有ClC；3种分法，但存在重复计数。记6个人为ABCDEF，若第二步取ABC，第三步取DEF ，3322该分法记为 ABC，DEF，则在C6C3中还有 DEF，ABC共A种分法，而这 A种分法是同一种分法。总共应有334C6C3C102A22100种分法。正、副班长同分在 4人一组：分三步。第一步在 8人中取2人，加上正、副班长共 4人为一 组，有Cs种分法；余下6个人平均分成两组，每组 3个人，有C；C3种分法，

8、但存在重复计数。记 6个人 为ABCDEF，若第二步取 ABC，第三步取DEF，该分法记为 ABC， DEF ，则在C；C；中还有DEF，ABC共A；种分法，而这 A2种分法是同一种分法。总共应有C|33C6C3"AT280种分法。正、副班长同分在3人一组：分三步。第一步在 8人中取4人，有C；种分法；第二步在余下的4人中取3人，有C3种分法；第三步余下 CsC3280种分法。1人加上正、副班长形成一组，只有一种分法。总共应有减减得：总共有CloC4c：2100 280 280 1540种分法。变式5、某校高二年级共有 6个班级，现从外地转入 4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班

9、安 排2名，则不同的安排种数为 。分析：分三步。前两步将转入的4名学生平均分成两组，每组 2名学生，有C：C；种分法，但存在重复计数。记4名学生为ABCD，若第一步取 AB，第二步取CD，该分法记为 AB，CD，则在C：C；中 还有CD，AB共A种分法，而这A2种分法是同一种分法。 第三步将分成的两组分配到 6个班级，有A c2c2种分法。总共应有宁A2 90种分法。六、元素相同问题隔板法 例6、有10个运动员名额，分给 7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？分析：隔板法也就是档板法。分两步。第一步：每班分配1个名额，只有1种分法；第二步：将剩下的3个名额分配给7个班。取716块相同隔板，连

10、同3个相同名额排成一排，共 9个位置。由隔板法知，在9个位置中任取6个位置排上隔板，有 C；种排法。每一种插板方法对应一种分法，由分步计数原理知， 共有Cg 84种分法。变式6、10个相同的球装入5个盒中，每盒至少一球，有多少中装法？分析：分两步。第一步：每盒先装入1个球，只有1种装法；第二步：将剩下的 5个球装入5个盒中。取5 1 4块相同隔板，连同 5个相同的球排成一排，共 9个位置。由隔板法知，在 9个位置中任取4个 位置排上隔板，有C：种排法。每一种插板方法对应一种装法，由分步计数原理知，共有C； 126种装法。变式6、x y z w 100，求这个方程的自然数解的组数。分析：取4 1

11、 3块相同隔板，连同100个相同的1排成一排，共103个位置。由隔板法知，在103个 位置中任取3个位置排上隔板，有 G303种排法。每一种插板方法对应一组数，共有G303 176851组数。七、正难问题则反总体淘汰法（若直接法难，贝U用间接法）例7、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字中取出三个，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有多少种?分析：直接求不小于10的偶数很困难，可用总体淘汰法。十个数字中有5个偶数5个奇数，所取的三个数字含有3个偶数的取法有 c；，只含有1个偶数的取法有 c5c|，和为偶数的取法共有 c5c| C；。淘 汰和小于10的偶数共9种024、0 2 6、

12、0 1 3、0 1 5、0 1 7、0 1 9、1 232 1 3、 2 1 5、 4 1 3，符合条件的取法共有 C5C5 C5 9O变式7、一个班有43名同学，从中任抽5人，正、副班长、团支部书记至少抽到一人的抽法有多少种？分析：未抽到正、畐U班长、团支部书记的抽法有C：0种；正、副班长、团支部书记至少抽到一人的抽法有C3 C；。种。八、重排问题求幕法例8、把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法？分析：完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有7种分法，把第二名实习生分配到车间也有7种分法，依此类推，由分步计数原理共有76种不同的分法。变式8、某班新年联欢会原定的 5个节目

13、已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新 节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 。分析：完成此事共分两步：把第一个新节目插入原定 5个节目排后形成的六个空中，有 6种插法；把 第二个新节目插入前面 6个节目排后形成的七个空中，有 7种插法。由分步计数原理共有 6 7 42种不 同的插法。变式8、某8层大楼一楼电梯上来 8名乘客，他们到各自的一层下电梯，下电梯的下法有多少种？分析：完成此事共分八步：第一名乘客下电梯有7种下法，第二名乘客下电梯也有 7种下法，依此类推，由分步计数原理共有 78种不同的下法。九、环（圆）排问题直排法 环形排列问题：如果在圆周上 m个不同的位置编上不

14、同的号码， 那么从n个不同的元素的中选取 m 个不同的元素排在圆周上不同的位置， 这种排列和直线排列是相同的； 如果从n个不同的元素的中选取 m 个不同的元素排列在圆周上，位置没有编号，元素间的相对位置没有改变，不计顺逆方向，这种排列和直线排列是不同的，这就是环形排列的问题。 环形排列数：一个m个元素的环形排列，相当于一个有m个顶点的多边形，沿相邻两个点的弧线剪断，再拉直就是形成一个直线排列，即一个m个元素的环形排列对应着 m个直线排列。设从n个元素中取出 m个元素组成的环形排列数为 N个，则对应的直线排列数为 mN个。1又因为从n个元素中取出m个元素排成一排的排列数为 A1个，所以mN 岸，

15、即N 胛。m 环形排列数公式：从n个元素中取出 m个元素组成的环形排列数为 N aI。m1 n!n个元素的环形排列数为 NAnn 1!。nn例9、8人围桌而坐，共有多少种坐法？分析：围桌而坐与坐成一排的不同点在于坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展 成直线（如图所示），其余7人共有8 1 !7!7 6 5 4 3 2 15040种不同的坐法。ACXXXXXKXX)ABCDEFGHA变式9、6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？分析：可穿成 6 1 !5! 5 4 3 2 1120种不同的钻石圈。十、多排问题单排法例10、8人排成前后两排，每排 4人，其中甲、乙在前排，丙在后排，

16、共有多少种排法？分析：8人排前后两排，相当于 8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排。先排前4个位置上的2个特殊元素甲、乙有 A种排法；再排后 4个位置上的2个特殊元素丙有 A1种；其余的5人在5个位置上任意 排列有A5种。共有A2A；A5 5760种不同的排法。排好后，按前4人为前排，后4人为后排分成两排即可。变式10、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位。现安排2人就坐，规定前排中间的 3个座位不能 坐，并且这2人不左右相邻，那么不同坐法的种数为 。分析：前后两排共有 23个座位。前排中间第 5,6,7号3个座位甲、乙二人不能坐。甲、乙二人 不能左右相邻。前排第1,4,8,11号和后排第

17、1,12号6个座位，甲、乙中任一人就坐，有C6种坐法，与之相邻座位只能排除一个，另一人有C：3 11 C；种坐法，共有C6C；种坐法；而其它23 3 6 14个座位，甲、乙中任一人就坐，有G；种坐法，与之相邻座位要排除两个，另一人有C13 3 2 1 G；种坐法，共有C；4C17 种坐法。总共有C6G： C1；C；7108 238346种不同坐法。十一、排列组合混合问题先选后排法例11、有5个不同的小球，装入 4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少种不同的装法？分析：第一步从5个球中选出2个组成复合元素，有 C；种方法；第二部把4个元素（包含一个复合元 素）装入4个不同的盒内，有 Af种方

18、法。由分步计数原理得 Cf Af 240。变式11、一个班有6名战士，其中正、副班长各 1人。现从中选4人完成四种不同的任务，每人完成一种 任务，且正、副班长有且只有1人参加，则不同的选法有多少种？分析：正、副班长选一人，有 C2种选法。4名战士选三人，有 C：种选法。给选出的 4人分配 四种不同任务，有 A4种分配法。由分步计数原理得cJc45A4 192。十二、小集团问题先整体后局部法例12、用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中恰有两个偶数在1,5之间，这样的五位数有多少个？分析：两个偶数 2,4在1,5之间是一个不能打破的小集团，3在这个小集团之外。把 1,5,2,4当作一

19、个小集团与3排列，有 A种排法。再排小集团内部。1,5有A种排法；2,4也有A种排法。由分步计数原理得8。变式12、计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列。要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为。分析：4幅油画是一个小集团，内部有 A4种排法；5幅国画也是一个小集团，内部有 Af种排法；两 个小集团排列，有 A2种排法；将1幅水彩画插入两个小集团排列后形成的一个空中，有 1种排法。由分步 计数原理得 a4a5a2 1 5760。变式12、5男生和5女生站成一排照像，男生相邻且女生也相邻的排法有 种。分析：5男生是一个小集团，

20、内部有 A5种排法；5女生也是一个小集团，内部也有A5种排法；两个小集团排列，有 a2种排法。由分步计数原理得 a5a5a228800。十三、含约束条件问题合理分类与分步法例13、在一次演唱会上共10名演员，其中8人会唱歌，5人会跳舞，现要演出一个 2人唱歌2人伴舞的 节目，有多少种选派方法？分析：10名演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞，3人为全能演员。以选上唱歌人员为标准分三类， 每一类中再分步：只会唱歌的5人中没有人选上唱歌人员，有种；只会唱歌的5人中只有1人选上唱歌人员，有 C5C；C：种；只会唱歌的5人中有2人选上唱歌人员，有 C；C；种。由分类计数原理得，2 2 1 1 2 2 2

21、 共有C3C3 C5C3C4 C5C5199种选派方法。解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步。做到分类标准明确，贯穿解题过程始终；每一类中分步层次清楚，不重不漏。本题还有如下分类标准：以 3个全能演员是否选上唱歌人员为标准；以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准；以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准。变式13、从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这 4人中必须既有男生又有女生，则 不同的选法共有 种。分析：以选上女生为标准分三类，每一类中再分步：选上女生1人，有c3c3种；选上女生2人，有Cfc：种；选上女生3人，有C33C：种。由分类计数

22、原理得，共有 C3C4 C3 C4 C3 C4 34种选派方 法。本题还可以选上男生为标准分三类。变式13、3成人2小孩乘船游玩，1号船最多乘3人，2号船最多乘2人，3号船只能乘1人，他们任 选2只船或3只船，但小孩不能单独乘一只船，这3人共有多少种乘船方法？分析：分两大类。第一大类为选 2只船，则只能选1号船和2号船。以1号船乘成人为标准，又可分为1 2 2 1两小类：每一小类乘成人1人，有C3C2种；每二小类乘成人 2人，有C3C2种。第二大类为选3只船。以1 号船乘成人为标准，又可分为三小类，每一小类均有c2c； c；c；种。由分类计数原理得，共有C3C2 C3C2 3 C2C2 C2C

23、227种乘船方法。十四、简单问题实际操作穷举法例14、设有编号1，2，3，4，5的五个球和编号1，2，3，4，5的五个盒子，现将 5个球放入5个 盒子内，要求每个盒子放 1个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？2分析：从5个球中取出2个与盒子对号，有 C5种取法；剩下3球3盒不对号，利用实际操作法。如果 剩下3，4，5号球，3，4，5号盒，3号球只能装入4号或5号盒，有两种装法；当 3号球装4号盒时， 则4 ,5号球，只有1种装法；同理3号球装5号盒时，4 ,5号球有也只有1种装法。由分步计数原理有 2Cf 种。变式14、同一寝室4人，每人写一张贺年卡集中起来，然后

24、每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？分析：设甲、乙、丙、丁 4人，甲可拿乙、丙、丁的贺年卡。分三类。第一类：甲拿乙的，则乙可拿甲、丙、丁的，无论乙拿甲（或丙或丁）的，丙、丁的拿法都唯一，有3种。第二类：甲拿丙的，则乙只能拿甲、丁的。若乙拿甲的，丙、丁的拿法唯一，有1种；若乙拿丁的，则丙拿甲丁拿乙或丙拿乙丁拿甲，有2种。小计有3种。第三类：与第二类同理，有 3种。由分类计数原理知，共有 3 3 3 9种。 十五、数字排序问题查字典法例15、由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？分析：数字排序问题可用查字典法。从高位向低位查，依次求

25、出其符合要求的个数，根据分类计数原 理求出其总数。首位（十万位）为 5或4，各有 A个；首位为3，万位为5或4，各有 A个；首3 2位为3，万位为2，千位为5，有A个；首位为3，万位为2，千位为4，百位为5，有A个；首位154321为3，万位为2，千位为4，百位为5，十位为1，有A个。共有2A5 2A4 A A2 A 297个。 变式15、用0, 1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复的四位偶数，将这些数字从小到大排列起来， 第71个数是。分析：千位为1，个位为0，有A 12个；千位为1，个位为2，有A 12个；千位为1，个 位为4，有A2 12个；千位为2，个位为0，有A 12个；千位为2

26、，个位为4，有A： 12个； 千位为3，十位为0,个位为2 （或 4），各有3个。共66个。接下来有3102，3104，3120，3124， 3140，L，第 71 个数是 3140。十六、复杂问题分解与合成法分解与合成法是解排列组合问题的一种最基本的解题方法。把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解 决，然后依据问题分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成。从而得到问题的答案。每 个比较复杂的问题，都要用到这种解题方法。例16、30030能被多少个不同的偶数整除？分析：先把30030分解成质因数的乘积形式 30030 2 3 5 7 11 13。依题意可知：偶因数必先 取2，再从其余

27、5个因数中任取若干个组成乘积。所有的偶因数为：C5 Cf Cf C4 C|。变式16、正方体的8个顶点可连成多少对异面直线？分析：从8个顶点中任取4个顶点构成四面体共有 C； 12 58个，每个四面体有3对异面直线，正方体的8个顶点可连成3 58 174对异面直线。十七、复杂问题转化归结法（化归法） 例17、25人排成5 5方阵，现从中选3人，要求3人不在同一行也不在同一列，不同的选法有多少种?0 0 0()0 0分析：将问题退化成 9人排成3 3方阵，现从中 选3人，要求3人不在同一行也不在同一列，有多少种 不同的选法？这样每行（列）有且只有1人，从其中的一行中选取1人后，把这人所在的行列都

28、划掉，如此继 续下去，从3 3方队中选3人的方法有C；C；C；种。再 从5 5方阵选出3 3方阵便可解决问题。从 5 5方队3333111D、E五个字母，现从中取 5只，要求各字中选取3行3列，有C5C5选法。所以从5 5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有C5C5C3C2G选法。变式17、某城市的街区由12个全等的矩形区域组成,其中实线表示马路，从 A走到B的最短路径有多少种？分析：将问题退化成从 A走到B的最短路径需要七步，四步向右三步向上，共有 C；（或C；） 35种。十八、复杂分类问题表格法 例18、有红、黄、兰色的球各 5只，分别标有A、B、C、母均有且三色齐备，则共有多少种不同的取法?分析：一些复杂的分类选取题，要满足的条件比较多，无从入手，经常出现重复遗漏的情况，用表格 法，则分类明确，能保证题中须满足的条件，达到好的效果。红111223黄123121321211取法c5c：c5c：c5c：c；c3c5C2c5C；十九、运算困难问题树图法例19、3人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲的手中，则不同的传球方式有 种？解析：此题不易用公式进行运算，用树图法会收到意想不到的结果。N 1064644 4 4 4 4 4 7甲 4 4 4 4 4 4 4 4 8