合肥工业大学电磁场与电磁波第5章答案

1、第 5 章时变电磁场5.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场 B ez5cos t mT 之中，如题 6.1 图所示。滑片的位置由 x 0.35(1 cos t)m 确定，轨道终端接有电阻 R 0.2 ，试求电流 i.yaib0.2mRdcx0.7m题 6.1 图穿过导体回路 abcda 的磁通为B dS ez B ez ad ab 5cos t 0.2(0.7x)故感应电流为cos t0.7 0.35(1 cos t ) 0.35cos t(1 cos t)E in1 diRR dt1R 0.35 sin t(1 2cos t)1.75 sin t(1 2cos

2、t)mA5.2 一根半径为 a的长圆柱形介质棒放入均匀磁场 B ezB0中与 z 轴平行。设棒以角速度绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。解 介质棒内距轴线距离为 r 处的感应电场为 E v B e rezB0 er r B0故介质棒内的极化强度为1P P 1 (rP)rr2( 0 ) B0P Xe 0E er ( r 1) 0r B0 er (0)r B0 极化电荷体密度为12( 0)r 2 B0极化电荷面密度为rrr a ( 0)a B0P P n er (0)r B0则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为QPa2 1 P 2 a2(0 ) B02

3、QPS 2 a 1 P 2 a2 (0) B05.3 平行双线传输线与一矩形回路共面， 如题 6.3 图所示。 设 a 0.2m 、 i 1.0cos(2 107t)A ，求回路中的感应电动势。解 由题给定的电流方向可知，双线中的电流产生的磁感应强度的方向， 向内的。故回路中的感应电动势为ddtb c d 0.1m在回路中都是垂直于纸面B左E in0i2rB右dB dS dB 左 dSB 右 dSdt0iB左dS sB右dSs2 (b c d r ) 故b c 0i0ai b cadr ln( )2 r 2 bc d0i0 ai b cadr ln( )2 (b c d r) 2 b 则题 6

4、.3 图0iEin2ddt 20ai ln(bbc)0a2ln( b c) d 1.0 cos(2 10 7t) a2 b2 b dt4 10 7 0.2 7 7 ln 2sin(210 7 t) 2 10 7 V5.4 有一个环形线圈，导线的长度为 l，分别通过以直流电源供应电压 U0 和时变电源供应电压 U( t)。讨论这两种情况下导线内的电场 强度 E。解 设导线材料的电导率为 ，横截面积为 S ，则导线的电阻为RlS当 U=U 0 时，电流 i 也为直流，di 0dtdi(t)当 U=U ( t)时， dt0，故U Ri L di 故电压方程为 dt而环形线圈的电感为 L ，U0 Ri

5、 S JS JlE 此时导线内的切向电场为 U (t) Ri(t) L di(t) R E(t)S L d ( E(t)S) dt dt。故U0l求解此微分方程就可得到l E(t)S L S dE(t) S dtdE(t) lE(t) 即 dt L SU (t)LSE(t)。3.484sin(2 10 7t)V当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为相同(准静态电场)U0 sin terr ln (b a) ，故电容器两极板间的位移电流密度为5.6 一圆柱形电容器， 内导体半径为 a，外导体内半径为 b，长为 l。设外加电压为 U0 sin t

6、 ，试计算电容器极板间的总位移电流， 证明它等于电容器的传导电流。，即解流为5.7 解JdD er U0 cos tt e r r ln (b a)2lln (b a)id则JddS020lU0 cos t ererrddzd00rln (b a) r rU0 cos t C U0cos t式中，dUic C C U0 cos t c dt 0可见 id ic由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。点电荷 q 产生的电场满足麦克斯韦方程2lln(b a)是长为 l的圆柱形电容器的电容。流过电容器的传导电DddE 0 和D 由 D 得 据散度定理，上式即为D d S q D利用

7、球对称性，得er 4qr2故得点电荷的电场表示式E2由于 E 0 ，可取qer24rE，则得D2即得泊松方程5.8 试将麦克斯方程的微分形式写成八个标量方程： （ 1）在直角坐标中； 解 （ 1）在直角坐标中2）在圆柱坐标中； （ 3）在球坐标中。yzHxHzzxHyHxJyH z H yJz xyJxDxtDyytDzt1 H zHrzHrHzzr11(rH )rrr（3）在球坐标系1 (sinJrJr sin2）在圆柱坐标中Drt D tEzEyyzExEzzxEyExxy1EzrE zHxtHytHztBxDxByyDyBz 0zDzzH r J zDt zztErz1 ( rErrH

8、tHt1 E r)rJrH)Dr1r r(rBr) r1 BBzz 0r r r r z1 (rDr ) 1 D Dz r r r z1 1 H r D r (rH ) Jr sin r t1 H r D1r r (rH ) Hr J t1 2 1r12 r (r2Br) r si1n(sinr12 r (r 2Dr) r si1n(sinr r r sin5.11 已知自由空间中球面波的电场为解 可以和前题一样将 E 代入波动方程来确定 同样据麦克斯韦方程求得。将两个电场比较，即可确定由E 0 Ht 得1r si1n (sin E r1 sin1 Err (rE )r sin rr1 r (

9、rE )Er rrB ) 1 B 0 r sinD ) r sin1D e E0 sin cos（ t kr）r 求 H 和 k。 k，也可以直接由麦克斯韦方程求与 E 相伴的磁场 k 的值。两种方法本质上是一样的。H。而此磁场又要产生与之相伴的电场，10E 1 e(rE )1eE0sin cos( t kr )0r rkeE0 sin sin( t kr )0r将上式对时间 t 积分，得kH eE0 sin cos( t kr)1)0r将式( 1)代入E 1 Ht01 er01er0 将上式对时间 t 积分，得H 0 Et 得112 1 (rsin H ) e (r sin H ) r si

10、n r sin r2kEr02 cos( t kr) e0rk2E0 sinsin( t kr) 0r将已知的E 1 er0k2E022kE0r0 2 sin( t kr) e 2 00r sincos( t kr)2)且 k2 0 0 ，即E e E0 sin cos( t kr)r与式( 2)1比较，可得，含 r 2 项的 Er 分量应略去，将kk 0 00 0 代入式( 1)，得00H e 0 0 E0 sin cos( t kr)0rE0 sin cos( t kr)A r5.12解 注意到非均匀媒质的参数BH ( )E和 B表示麦克斯韦方程。试推导在线性、无损耗、各向同性的非均匀媒质

11、中用, 是空间坐标的函数，因此 11( ) B B1112B 1 BH J D B J t 变为D ( E )J J J 而 t tE1EBt因此，麦克斯韦第一方程D ( E ) E E故麦克斯韦第四方程 D 变为1EE则在非均匀媒质中，用 E 和 B 表示的麦克斯韦方程组为B JEt1 BEB5.13 写出在空气和 的理想磁介质之间分界面上的边界条件。 解 空气和理想导体分界面的边界条件为n E 0n H Js根据电磁对偶原理，采用以下对偶形式E H H E JsJms即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界条件n H 0n E Jms 式中， Jms 为表面磁流密度。5.14 提出推导 n

12、H1 Js 的详细步骤。解 如题 6.12 图所示，设第 2 区为理想导体（ 2 ）。在分界面上取闭合路径lnnH1bhd H2c题 6.12 图adl da H dlH dl a H dl b H dl c HdS S Dt dS)1）因为 t 为有限值，故上式中lim D dS 0 lim J h 0 t h 0 S，而 （1） 式中的另一项S取 N 为闭合路径所围面积的单位矢量（其指向与闭合路径的绕行方向成右手螺旋关系）dS 为闭合路径所包围的传导电流。 ，则有故式（ 1）可表示为lim J dS Js N l h 0 Sl (N n) l(H1 H 2) (N n) l Js N l2

13、）abcda, ab cd l,bc da h 0 。对该闭合路径应用麦克斯韦第一方程可得 b应用矢量运算公式 A （B C） （C A） B，式（ 2）变为n H1 H 2 N Js N故得3)Jsn (H1 H 2) Js由于理想导体的电导率 2 ，故必有 E2 0, H2 0，故式（ 3）变为 n H15.16 在由理想导电壁（ ）限定的区域 0 x a 内存在一个由以下各式表示的电磁场：Ey H0 ( a )sin( )sin( kz t) aH 0k ( a )sin( )sin( kz t)axH0 cos( ) cos(kz t) a 这个电磁场满足的边界条件如何？导电壁上的电流

14、密度的值如何？ 解 如题 6.13 图所示，应用理想导体的边界条件可以得出在 x=0处， Ey 0, Hx 0Hz H0 cos(kz t)Ey 0, H x 0在 x=a 处， y xHz H0 cos(kz t) 上述结果表明，在理想导体的表面，不存在电场的切向分量Ey 和磁场的法向分量 Hx。另外，在 x=0 的表面上，电流密度为Js n H |x 0ex ez H在 x=a 的表面上，电流密度则为Js n H |x a ex (exHx ezHz)|x aex ez HzHxHzzx0ex (exHx ezHz)|x 0 eyH0 cos(kz t)xao题 6.13 图x aeyH0

15、 cos(kzt)5.17 海水的电导率 4S/m ，在频率 f=1GHz 时的相对介电常数 r 81 。如果把海水视为一等效的电介质，写出 H 的微分方程。对 于良导体，例如铜， r 1, 5.7 10 S/m ，比较在 f=1GHz 时的位移电流和传导电流的幅度。可以看出，即使在微波频率下，良导体 中的位移电流也是可以忽略的。写出 H 的微分方程。解 对于海水， H 的微分方程为HJ j D E j E j ( j ) E即把海水视为等效介电常数为cj的电介质。代入给定的参数，得E j2 109(81 1306 j 2 4109)Ej(4.5 j4) E (4 j 4.5)E对于铜，传导电

16、流的幅度为 E ，位移电流的幅度E 。故位移电流与传导电流的幅度之比为12 f 10 99.75 10 13 f2 f r 0 365.7 107可见，即使在微波频率下，铜中的位移电流也是可以忽略不计的。故对于铜，H 的微分方程为H E 5.7 107 E5.18 计算题 5.16 中的能流密度矢量和平均能流密度矢量。 解 瞬时能流密度矢量为S E HeyEy (exHx ezHz) exEyHz ezEyH xexH02a sin( x ) cos( x)sin( kz t) cos(kz t)aaezH02 k(a)2sin2( x)sin 2(kz t)aex 1H 02 a sin(

17、x ) cos( x)sin 2(kz t)2 a aez 1H02 k(a)2sin2( x)1 cos2(kz t)2a 为求平均能流密度矢量，先将电磁场各个分量写成复数形式a x jkz j 2Ey H 0 ( )sin( )e 2 aa x jkz j 2H x H 0k( )sin( )e 2 ax jkzH z H 0 cos( )e jkz a 故平均能流密度矢量为1 1 * *SavReE H *ReexEyH*z ezEyHx*221 2 a x x j2ReexH 02sin( )cos( )e 2 2 a aezH02 k(a)2sin2( x)ez 1H02 k(a)2

18、sin2( x)a 2 a5.19 写出存在电荷 和电流密度 J的无损耗媒质中 E 和H的波动方程。解 存在外加源 和 J 时，麦克斯韦方程组为EHH J E Et (1)；t ( 2)；H 0 (3)；( 4)H J （ E） 对式（ 1）两边取旋度，得t而H （ H ）2H故（ H 2H J （E）t（ 5）将式（ 2）和式（ 3）代入式（ 5），得22HH2Jt2这就是 H 的波动方程，是二阶非齐次方程。 同样，对式（ 2）两边取旋度，得E （ Ht 即（ E2E（ Ht（ 6）将式（ 1）和式（ 4）代入式（ 6），得2E此即 E 满足的波动方程。2Et2J1 t对于正弦时变场，可采用复数形式的麦克斯韦方程表示H J j E （7）；E j H （8）；H 0对式（ 7）两边取旋度，得H J j E利用矢量恒等式H （ H 2 H得2（ H 2 H J j E将式（ 8）和式（ 9）代入式（ 11），得E9）；11)10）；2 H + 2 H J此即 H 满足的微分方程，称为非齐次亥姆霍兹方程。 同样，对式（ 8）两边取旋度，得 ：