03第三节二重积分的计算

1、第三节二重积分的计算(2)有些二重积分，其积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较简单，如圆形或扇形区域的边界等此时，如果该积分的被积函数在极坐标系下也有比较简单的形式，则应考虑用 极坐标来计算这个二重积分 .分布图示利用极坐标系计算二重积分重积分化为次积分例1例2例3例4例5例6例7例8例9例10平面薄片的重心例11例平面薄片的转动惯量例1213平面薄片对质点的引力例14一般曲线坐标系中二重积分的计算例15例16例17内容小结课堂练习习题9-3返回内容要点一、在极坐标系下二重积分的计算极坐标系下的面积微元d；rdrd，直角坐标与极坐标之间的转换关系为x = r cos 入 y = r si

2、n v,从而就得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式Il f (x, y)dxdy = f (r cos), rsin Rrdrd J (3.1)DD二、二重积分的应用平面薄片的重心平面薄片的转动惯量三、在一般曲线坐标系中二重积分的计算二重积分的一般换元分式例题选讲在极坐标系下二重积分的计算2 2例1(E01)计算.e4x v)dG其中D是由圆x2yR2所围成的区域D解如图，在极坐标系下，积分区域D的积分限为0_2二，0乞r R,于是R /20e d(-r )r2 R-：(e |o)厶2七2、2兀 R 2R丄2e4x y= 0叫 e rdr =2二 ° e rdrD=二(1 -

3、e").例2计算二重积分d”,其中D是由x_yP所确定的圆域 解如图(见系统演示)，区域D在极坐标下可表示为 0_r _1, 0_二_2二,故D1咒rdr21 r2n-: In 2.0. 2 2例3(E02)计算rrsinVx +y )dxdy,其中积分区域DQx2+y2确定的圆环域.解由对称性，可只考虑第一象限部分，D 4D1,注意到被积函数也有对称性，则有_sin(密)d ,x2y2)dxdyn= 4 02 .12例4(E03)计算dxdy,其中D是由曲线D XX22y =2x所围成的平面区域.解积分区域D是以点(1,0)为圆心，以1为半径的圆域，如图.其边界曲线的极坐标方程为r

4、 =2 cos -于是区域D的积分限为2-<e迁,所以2每 dxdy D X2.2.r sin ti2 rdrd 二D r cos_ 2nrdrcos :=2.2 si n2Fv 丿L 一2二 2(1 cos2力dv -二.2例5(E04)写出在极坐标系下二重积分| f (x, y)dxdy的二次积分，其中区域DD =( x, y)|1 x 乞 y 空.1 x2, 0 乞 x 1解利用极坐标变换 x = rcosv, y =r sinv,易见直线方程x y =1的极坐标形式为1r,si n： cos故积分区域D的积分限为0_r_二，1r1,2 si n 日 +cos 日所以更 111 f

5、 (x, y)dxdy = 2 d 1 f(rcosn,rsin v)rdr. zL0 .Dsin 丁cosj例6计算(x2 y2)dxdy ,其中D为由圆x2 y2y, x2 y4y及直线Dx - i3y =0, y - 3x = 0所围成的平面闭区域22x y 4y r =4sin jLHx_、3y 二0 r 二62亠y 2y r 二2sin 二所以 i i(x2 y2)dxdyD-t4sin 寸尹2sinJ26 "兀rdr =60 ?sin 4v -15(3).6 2例7将二重积分.f (x, y)d；化为极坐标形式的二次积分，其中D是曲DX2亠y2 =a2,X22二兰及直线x

6、 y=0所围成上半平面的区域4解如图，令x = r cosy y = rsin y 则d的边界的极坐标方程分别变r = a, r = ac o 飞及二-3二.4.D1 : 0 J ":二 2,acos): r a;f(x,y)d I l f(x, y)d亠 i i f (x, y)d二D© +D2D2 :二 2 乞二乞 3二 4,0 _ r _ a.D12a34 adr .f(rcosr,rs in Rrdrdr f(rcos),rs in r)rdr.0"acos 20例8(E05)求曲线(x2y2)2 = 2a2(x2y2)和x2 y2 _ a所围成区域D的面

7、积.解根据对称性有 D =4D在极坐标系下X2+ y2 =a2 r 壬a,(x2 y2)2 =2a2(x2 -y2) r =a£；2cos2v,r =a£2cos2日，得交点A =r =aa,6 ,故所求面积.d3a 2 cos 2 J'2- dxdy =4iidxdy =4iirdrd J _ 4 6 d rdr4a2 6 cos2d v - a20a0DD1D1例9(E06)求球体x2 y2 z4a2被圆柱面x2 y2 = 2ax (a - 0)所截得的(含在圆柱面内的部分）立体的体积解如图，由对称性，有V = 4 ! ,：4a2 - x2 - y2 dxdy,

8、D其中D为半圆周y二.2ax - x2,及x轴所围成的闭区域.在极坐标中，积分区域D : 0：二":：: 2,0乞r乞2acoshV = 4- 4a2 - r2 rdrd v - 4 o2 dD二 2aCOs4a2-r2rdr-32a3 .°2(1 -sin3旳d -32a333: x2例10(E07)计算概率积分.0 e dx.R解记l(R) = o edx,其平方|2(r) = 0R /e dx2 (2 2、J dy 二 e4x y )dxdy.Dy)dxdy 乞 e4x y)dxdy 乞 e4x y)dxdy.DiD2根据例1的结果，即有一（i eR）乞|2（r）_一

9、（1 _e'R）.44令R； s并利用夹逼定理，得4 '故所求概率积分：几、二 o e dx二重积分的应用例11（E08）求位于两圆：=2si nr和卜=4si nr之间的均匀薄片的重心（图 9-3-13）解如图，因为闭区域 D对称于y轴，故重心C（x,y）必位于y轴上，于是，_ _ 1x =0, yyd；二AD易见积分区域D的面积等于这两个圆的面积之差，即A =3二再利用极坐标计算积分：2 r r 兀4前日256 兀 4yd；丁二r2 si n 用rdsi nF . r2dr = sin4 一7二.“"02sin 3 0因此、二 =1,所求重心是C(0,7/3).3

10、 二 3例12(E09)设一均匀的直角三角形薄板(面密度为常量P),两直角边长分别为 a、b ,求这三角形对其中任一直角边的转动惯量y_b x2dx詁壬.解设三角形的两直角边分别在x轴和y轴上，对y轴的转动惯量Iy同理，对x轴的转动惯量“Pdxdy>8Db和h，计算此矩形板对于通过例13已知均匀矩形板(面密度为常数门的长和宽分别为 其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量解先求形心1xxdxdy,AA D1yydxdy.A D区域面积A=b h.因为矩形板均匀，由对称性知形心坐标xb h 二，y=?将坐标系平移如图，对 u轴的转动惯量hblu = v2dudv = J *v2dv 2bdu

11、 =甘D22hdv = bh3'212同理,对v轴的转动惯量2b3hPI v 八 u dudv 二12D例14求面密度为常量、半径为R的均匀圆形薄片:x2 y2 _ R2 , z = 0对位于z轴上的点M°(O,O,a)处的单位质点的引力(a 0).解由积分区域的对称性知Fx 二 Fy =0,Fzj>2rdr7223/2(r a )=2 咏aP1&R2 +a2故所求引力为F =0,0,2 咏aP&R2 十a21 a7在一般曲线坐标系中二重积分的计算2 2 2例15(E10)求椭球体爲爲学1的体积. a2b2c2解由对称性知，所求体积为2 2x y d 厂

12、以心 a b2 2y _0.令x =ar cos, y =brsi称其为广义极坐标变换其中积分区域D :冷笃叩，x_0,a2 b2则区域D的积分限为0乞乞二，02<1,又J =3dr,日)a cos t1bsin var sinbr cos二 abr,2 冷 0 j-r2d(r特别地，当a=b=：c时，则得到球体的体积为 -a3.3/ 2 1 2于是 V 二8abc °d q J r rdr 二 8abc 2)二上二abc.3y -x例16计算 ey xdxdy,其中D由x轴、y轴和直线x y =2所围成的闭区域.D解令 u = y x, v = y x,贝UV - u V 亠

13、ux , y .2 2u=v; y=0u=-v;x y=2v=2.12121212y -xy "x所以 I iey dxdyDu= .evD '1 dudv =_22 v udv evdu0'-vJ 2(ee')vdv 二ed2 0作变换xy =u,上x因为鱼M =Qx,y)yy2x=2)=2v,及由第8章第五节知xS .沁从而有：(u,v)：-(x,y)例17(E11)求曲线xy =a2,xy =2a2, y =x, y =2x(x 0, y 0)所围平面图形的面积.解如果在直角坐标下计算，需要求曲线的交点，并画出平面图形，还需将积分区域分割成几块小区域来计算面积，很麻烦，现在可巧妙地作曲线坐标变换=v,贝V有 a2 _u _2a2, 1 乞v 乞2.c(x, y)1c(u,v)2v丄2v1a2 21a2dvdv In 2.2v2 1 v22a22吐adU1a注:题中利用函数组u =u(x, y), v =v(x,y)与反函数组x = x(u,v), y = y(u, v)之间偏导数的关系式"X, y) &u,v)=：(u,v)