下册因式分解几乎所有方法添项等

1、因式分解的方法教学内容：因式分解方法1. 提取公因式法：例：将 2x3n_20x2ny3+50xny6分解因式.解：原式=2xn(x2n/0xny3+25y6) =2xn(xVy3)22. 公式法：2 2a2-b2=(a-b)(a+b)2 2 2a2+2ab+D =(a±3)23 322a +b =(a+b)(a -ab+b )3 322a -b =(a-b)(a +ab+b )例：64x6 _y12解：原式=(8x3+y6)(8x3-y6)=(2x+y2)(4x2xy2+y4)(2y2)(4x2+2xy2+y4)3. 分组分解法：例：(am+bn)2+(an-bm)2+c2m2+c

2、2n2解：原式=a2m2+b2n2+2abmn+a2n2+b2m2-2abmn+c2m2+c2n2=a2m2+ b2n2+ a2n2+b2m 2+c2( m2+n2) =(m2+n2)(a2+ b2+c2)4. 十字相乘法：例：12x2+iOxy42x+5y-9解：原式=12x2+(i0y/2)x+5y-9/原式=(2x+1)(6x+5y-9)5. 拆添辅助项法：例：分解因式x3+3x24解：把-4拆成(4) + ( -3).原式=x3+3x2 A 3=(x3/)+3(x2_1) =(x X)(x2+x+1)+3( x)(x+1)2 2=(x X)(x2+4x+4)=(x/)(x+2)26.

3、配方法：例：将 x4+y4+z4-2x2y2-2x2z2-2y2z2分解因式.解：原式=(x4+2x2y2+y4) £(x2+y2)z2+zJx2y2 =(x2+y2)2 -2(x2+y2)z2+z4 -4x2y2 =(x2+y2-z2)2-(2xy)22 2 2 2 2 2=(x +y -z +2xy)(x +y -z -2xy) =(x2+y2)2-z2(x2-y2)z22 2 、， 2 2 、， 2 2 、， 2 2 、 =(x +y +z)( x +y -z)( x -y +z)( x -y -z)7. 换元法：例：(x2+3x-2)(x2+3x+4) V6解：令 x2+3x

4、=y则原式=(y-2)(y+4)-16=y2+2y-24 =(y+6)(yY)2 2=(x +3x+6)(x +3x-4)2=(x2+3x+6)(x+4)(xd)8.待定系数法:例：分解因式 x2+2xy-8y2+2x+14y-3解：2 2-x +2xy -8y =(x -2y)(x+4y) 设原式=(x_2y+m)(x+4y+n)2 2=x +2xy-8y +(m+n)x+(4m -2n)y+mn比较系数得：严=3n=-1E+n=2m -2n=14解得：n=-3原式=(x -2y+3)(x+4y-1)分组分解因式的几种常用方法.1 .按公因式分解例1分解因式7x 2-3y+xy+21x.分析

5、：第1、4项含公因式7x，第2、3项含公因式y，分组后又有公因式(x -3),解：原式=(7x 2 -21x) +(xy - 3y)=7x(x-3)+y(x-3)=(x -3)(7x + y).2 .按系数分解例2分解因式x 3 +3x 2+3x + 9 .分析：第1、2项和3、4项的系数之比1 : 3，把它们按系数分组.解；原式=(x 3 +3x 2)+(3x + 9)=x 2(x +3) +3(x + 3)=(x + 3)(x 2+3).3 .按次数分组例 3 分解因式 m2+2m n -3m -3n+n 2 .分析：第1、2、5项是二次项，第3、4项是一次项，按次数分组后能用公式和提取公

6、因式.解：原式=(m 2 +2m n +n 2)+( -3m -3n)=(m+n)2 -3(m + n) = (m+n)(m+n -3).4.按乘法公式分组例4分解因式a2-b2-ac-blc2分析：第1、3、4项结合正好是完全平方公式，分组后又与第二项用平方差公式.解：愿式=(a2 - ac- 护=(a - b2 = (a - ；- c - bXa _十 b)*5 .展开后再分组例 5 分解因式 ab(c 2+d2) +cd(a 2+b 2).分析：将括号展开后再重新分组.+ad)=解：原式=abc + abd + cda 十 cdb = (abc+cda ) + (cdb+abd ) =

7、ac(bc+ad)+bd(bc(bc +ad)(ac +bd).6 .拆项后再分组例6分解因式x2 -y 2+4x + 2y +3 .分析：把常数拆开后再分组用乘法公式.-y+3)解：原式=x -y +4x+2y+4-1=(x+4x+4)+(- y + 2y - 1)=(x+2)-(y -1) =(x+y+1)(x7 .添项后再分组例7分解因式x4 +4 .分析：上式项数较少，较难分解，可添项后再分组.解：原式=x 4+4x 2-4x 2 +4=(x 2+2) 2-(2x) 2=(x 2 +2x+2)(x2 -2x+2)二、用换元法进行因式分解用添加辅助元素的换元思想进行因式分解就是原式繁杂直

8、接分解有困难，通过换元化为简单，从而分步完成.例 8 分解因式(x 2+3x -2)(x2+3x+4)-16 .分析：将令y=x 2+3x，则原式转化为(y -2)(y+4)-16再分解就简单了.解：令y=x 2 +3x，则原式=(y -2)(y +4) - 16=y 2 + 2y -24=(y+6)(y-4).因此，原式=(x 2+3x+6)(x2+3x -4)=(x - 1)(x+4)(x2+3x +6).三、用求根法进行因式分解例9分解因式x 2 +7x+2.分析：x2+7x+2利用上述各方法皆不好完成，但仍可以分解，可用先求该多项式对应方程的根再分解.解；解方程护+ 7盟+2 = 0可

9、韵二=何一 + 冷 + 2 =Xx+；四、用待定系数法分解因式(x+b 1 )(x+b2)，将其展开得例10 分解因式+6x -16 .分析：假设能分解，则应分解为两个一次项式的积形式，即x2+(b i +b 2)x 十 bi b 2 与 x2 +6x -16 相比较得 b1+b 2 =6 , bi b2= -16，可得 b i, b2 即可分解.解：设 x2+6x - 16=(x+b1)(x+b2)2 2则 x +6x - 16=x+(b 1 +b 2)x+b 1 b29二 x2+6x - 16=(x-2)(x+8)活用配方法分解因式应用配方法分解因式，常能将多项式配成M 2 - N 2的形

10、式并应用开方差公式分解例1分解因式4a2 9b212a 6b 8分析 第一、三项，第二、四项分别结合后再配以恰当的常数分别构成完全平方公式，进而两者又构成一平方差，因 此拆常数项8 =9 -1即可.2 2解：原式=(4a12a 9) - (9b -6b 1)-(2a 3)2 -(3b -1)2-(2a 3b 2)(2a -3b 4)4224例2分解因式m m n n分析 此式中各项均为平方式，可采用添项法将式中某一部分配方，构造平方差公式解：原式 =(m4 2m2n2 n4)-m2n2=(m2 n2)2 _(mn)2 = (m2 n2 mn)(m2 n2 _ mn)例 3 分解因式 t - 2

11、(m n)t mn(m 2)(n 2)2 2 2分析 将多项式中前两项t _2(m - n)t进行配方，添上(m n) -(m n)即可分组分解.2 2 2解：原式二 t 一 2(m n)t (m n) -(m n) - mn(m - 2)(n2)2 2 2 2二t(m n) (m n) mn 2mn(m_n)4mn222二(tmn) (mn)2(mn) mn (mn)2 2=(t _ m _ n) _(m _ n mn)=(t-2n mn)(t-2m-mn)42224例4分解因式(a b) (a - b ) (a b)分析：此题中只含 a b和a - b两个式子，可分别运用和差换元后再考虑配

12、方.解：设 a b = s, a b = t，贝U42丄2 丄442丄2丄42丄2原式二 s s t t = (s 2s t t ) 一 s t2 2 2 2=(s t )-(st)2 2 2 2=(s t st)(s t -st)2 2 2 2-(a b) (a-b) (a b)(a -b)( a b) (a-b) -(a b)(a-b)=(3a2 b2)(a2 3b2)4例 5 分解因式(1 b) - 2a (1b ) a (1 - b)分析此多项式首末两项是完全平方式，可考虑对其进行配方解：原式=(1 b)22(1 b)a2(1 -b) a4(1 -b)2 -2a2(1 b2) -2(1

13、 b)a2(1 -b)2 2 2 2 2-(1 b) a (1 b) 2a (1 b )(1 b )2 2 2 2-(a -ab b 1) -(2a)2 2 2 2-(a -a b b 1 2a)(a -a b b 1 - 2a)2 2 2 2= (a 1) -b(a -1)(a -1) -b(a -1)= (a 1)2 -b(a 1)(a -1)(a -1)2 -b(a 1)(a -1)-(a 1)(a 1 -ab b)(a -1)(a -1 - ab - b)例6分解因式m4n4 (m n)4分析 将(m n)4化为(m2 - 2mn n2)2，再将m4 n4化为(m2 n2)2 -2m2

14、n2，创造用完全平方公式 分解因式的条件，便可达到将原式分解因式的目的解：原式二(m4 2m2n2 n4) -2m2n2 (m n)222 2 2 2 2 2 2 2=(mn )_2m n(m2mnn )二(m2n2)2-2m2n2(m2n2)24mn(m2n2) 4m2n2二 2(m2 n2)22(m2 - n2) mn (mn)22 2 2 =2(m n mn)因式分解是代数中的重要内容，在学习中如何进行小结与复习？一按照一提、二公式、三分组、四检查 ”的步骤，效果良好.2 从多项式的项数分析，除提取公因式法外， 若多项式是两项式，可能用什么方法？(答：平方差、立方和、立方差公式.) 若多项式是三项的可能用什么方法？(答：完全平方公式或十字相乘法.) 四项以上的多项式用什么方法？(答：分组分解法.)课后练习1填空题(1) 如果(一1-b) Mk b2 1 贝U Mk.(2) 若 x + ax + b 可以分解成(x + 1) (x 2),则 a =, b =(3) 若9x2 + 2