专题：极限与导数(理)

1、专题&极限与导数（理）一、考点回顾1数学归纳法是证明关于自然数 n （改为“与自然数 n有关”）的命题的一种方法，在高中 数学中有着非常重要的用途，是高考命题的热点内容之一2函数极限和数列极限仍然以选择题或填空题为主，主要考查基本计算，有时也在解答题的最后一问出现，中等或偏易的难度（文科不要求函数的极限）3导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容.考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义4导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式问题等，是

2、（改为“已成为”）高考热点问题选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、不等式、数列的综合应用5应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可 以得知这就是最大（小）值 二、经典例题剖析考点一：数学归纳法例1：设正数数列an 的前n项和Sn满足Sn = .求矽耳忌，猜想的通项公< 2丿式，并用数学归纳法证明；设b乙，数列的前n项和为Tn，求nimTn.解析：（1）由题设可求a1 = 1, a2 =3,a3 =5，猜想数列

3、an 的通项公式为:an -2n-1nN*，下面用数学归纳法证明:当n =1时，显然成立;假设当n = k时，猜想成立，即 ak =2k-1，那么当n = k 1时,ak 1 = Sk 1 - Skak1 22W2< 2 .丿ak124ak1 4ak22/i化简可得：ak1- ak- 2ak 1_2ak=0，即ak 1' akak 1- ak-2 0，ak 1ak 或 ak 1 二 ak 2，又；a.0，- ak ak 2，即ak 1 =2k -1 2 = 2 k 1 -1，所以，当n = k 1时，猜想成立.由、可知，对一切 nN ，有a. =2 n1.(2)由 an =2n-

4、1 ,1bn，则 bnanan -1(2n r(2n +1)2 (2n 12n 1Tn二b1b2川卷bn11 一一31 1+351 1+ +72n 12n十1丿 2、12n 1所以 lim Tn = lim 1 一 一Mf2 <n ):2n 12答案：（1 ）证明见解析；（2）点评：归纳、猜想、证明这一解题模式，是解决数列问题的常用方法，在证明过程中,要注意由n = k到n = k+1时，归纳假设的合理运用；另外，注意裂项项消法求和及常用的 数列极限.考点二：数列的极限an例4 :已知数列Q/满足a1 =0,a2 =1©解析：由an 2a2a1an J ' an _2,

5、求 lim an.njpcan 4 an -2，得 2an an4 = 2an4 an,数列2an - an丿为常数列.=2,n-1 2a nc2anJ=2，-八3为-3的等比数列.,X：3nJ, lim an2n_.-3答案:点评:本题主要考查特殊数列通项公式的求解和数列的极限难点在于求出数列'a/-的通项公式.考点三：函数的极限和连续性2x +b例 5:设 f(X )=« 01 +2XJX 0,X = 0,试确定b的值，使lim f X存在x : 0,解析：lim fx = lim 2xb = b , lim fx = lim 12X=2 ,X y 十X 丁十0 0 当且

6、仅当b = 2时，有lim f x plim f xX 屮十所以，当b = 2时，原函数极限存在.答案：b =2点评：函数在某点处存在极限与函数在该点处连续的概念不同.存在极限只要求在该点处的左右极限相等；而在该点连续则还要求左右极限的值同时等于函数在该点处的函数值例6：设 f (x )= «11 X X ： 0，（ 1）求f -X ；（2）求a的值使f X在X = 0处连x _ 0解析:(1 )当 x 0 时，一 x 0 f 一 x 1 X -1 ；当 x 乞0 时，一 x_0，f x=a bx.所以,f -x1 x -1 x 0x乞0xa -bx,(2)lim f x lim 1

7、X 二 limX0 -X 0 -lim x 1 1 - x x 詛_111，lim f x = a .因为2 x )0 f x在x二0处连续，则a =1，此时 lim f x = f 01=1 .1 x -1 答案： (1) f -x =abx,1；（2）点评：本题主要考查函数连续的概念，应和上一题进行对比考点四：导数的概念及其运算例3:用定义求y42丿x (x 兰 10 ):5在点x=10处的导数.16x -80, x 10解析：分别求出啊;在x“0处的左右极限,4 2 4 2 4 25(10十&) 5"+(4lim)=lim 55= lim5= lim 16+ Ax i=

8、16加扌一Ax40一也 xW 5/.xlim = lim 1610 x 彳 -8° 型80 =讪空=16.x 旷.x 旷.；x.x A Axlim ' = lim = lim =16，即 y'|x4° = 16.x0 .；x.x ).-：x m答案：16点评：导数的定义给出了求导的最基本的方法，如果用求导公式、法则都无法求导时，就要考虑用定义法去求导，本题是分段函数在分界点处的导数，只能用定义法去求，这时要注意，只有当左、右导数都存在且相等时，函数在这点的导数才是存在的考点五：函数的最值与极值例2：求函数f(x) =ln(1 x-x2在0,21上的最大值和最

9、小值.41 1解析：在闭区间上连续函数有最大值和最小值，于是，应用导数得(x)x,1 + x 21 1 2令- x =0,化简为 x ，x-2=0, 解得 =-2 (舍)，x2 = 1 .当1 x 20乞x：1时，f (x) 0, f (x)单调递增；当1：x2时,f (x) : 0, f(x)单调递减.所以1f(1) =ln2为函数f (x)的极大值.4又因为f (0) =0, f (2) =l n3-10, f (1)f(2), 所以 函数f(x)在0,2】上的最小值为f(0) =0，函数f (x)在0,2上的最大值为f(1) =1 n2-丄.41答案：最小值为f (0) = 0，最大值为

10、f (1) = ln 2 - .4点评：本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小值以及综合运算能力.考点六：导数的应用例7:如果函数y = f x的导函数的图象如图所示，给出下列判断:函数y = f (x在区间1、 3,内单调递增;1 2丿函数y = f(X在区间(1 、- ,3 i内单调递减；< 2丿函数y = f(X在区间(4,5 )内单调递增； 当x = 2时，函数y二f X有极小值；1 当x = 2时，函数y = f x有极大值;则上述判断中正确的是 .解析：由导函数图像可知，当X， -：，-2时，f' x ：0,所以fx在-：，-2上

11、为减函 数，同理可知：f x在2,4上为减函数 f x在-2,2和4, 上为增函数所以可以排 除和，是正确的又由于函数f x在x=2的左侧递增，右侧递减，所以 x=2时，11函数有极大值；在X =- 左右两侧函数的导数均为正数，所以X =- 不是函数的极值点，2 2从而排除和答案：点评：本题主要考查函数的单调性和极值与导数的关系，属于逆向思维的题目例&已知向量a =(x2,x，1),b =(1-x,t),若函数f(x)二ab在区间-1,1上是增函数，求t的取值范围解析：解法 1 ：依定义 f (x) = x2(1x) t(x 1) = -x3 x2 tx t,则f (x) 3x2 2x

12、 t.，若f(x)在(-1,1)上是增函数，则在(-1,1)上可设f (x) 一0.f (x)亠0= t丄3x2 -2x,在区间(-1,1)上恒成立，考虑函数g(x) = 3x2 -2x,1由于g (x)的图象是对称轴为x =,开口向上的抛物线，故要使 t _3x2 _2x在区间(1,1 )上恒成立u t _ g(-1),即t _ 5.而当t 时,f (x)在(-1,1)上满足f (x) . 0,即f(x)在( 1,1)上是增函数.故t的取值范围是t _5.2322解法 2:依定义 f(X)= X (1X)t(x 1) = -X x tx t, f (x)二-3x 2x t.， 若f(x)在(

13、-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上可设f (x) _0. f(X)的图象是开口向下的 抛物线，.当且仅当f(1)=t-1_0,且f (-1) =t-5 _ 0时，f (x)在(-1,1)上满足f(x) 0,即f(x)在(-1,1)上是增函数.，故t的取值范围是t_5.答案：t -5点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力.例9：(07年海南理科)设函数 f(x)=ln(x a) x2，( 1)若当x = -1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f (x)的单调性；(2)若f (x)存在极值，求a的取值范围，并证明

14、解析：13(1) f(x)二! 2x，依题意有 f(-1)=0,故 a =x +a2e所有极值之和大于In - 2(2x 1)(x 1)从而f (x)二22x 3x1f 313f (x)的定义域为八* ,当x”T时，f (x) 0 ;I 2 丿 211当 一1 ： x 时，f (x) ： 0 ；当 x 时，f (x)0 2 2从而，f (x)分别在区间 -3,-1 , -丄,-* 单调增加，在区间-1, -单调减少.I 2 八2 丿I 2丿(2) f (x)的定义域为(-a,*),f (X)2x2 2ax 1x a22方程2x 2ax 0的判别式尺=4a -8 C2x1)2xf (x) =0，

15、当 xf (x)0 ,所以 f (x)若:0，即2 : a ：、2，在f (x)的定义域内f (x) . 0，故 f (x)的极值.若.'： = 0 ,则 a -、2 或 a - - 2 .若 a = . 2 , x 三(-、, 2,),无极值.若 a=i$2 ,C、2,g ), f(x)=C2x")0 , f (x)也无极值.x_迈若.：0 ,即a .2或a ： -、2 ,则2x 2a x 有两个不同的实根x-i七-a a2 22当a < - .2时，Xi ： -a, X2 ： -a,从而f (x)有f (x)的定义域内没有零点，故f (x)无极值.当a 迈时，Xi

16、-a, X2 -a , f (x)在f (x)的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知f(x)在x = %, x = x2取得极值.综上，f (x)存在极值时，a的取值范围为(、2, 6) . f (x)的极值之和为2 212ef (x1) f (x2 l门(捲 a)为 In( x2 a) x2= In a1 1 - In 2 = In2 23答案：(1) a ；( 2)见详解.2点评：本题主要考查对极值概念的理解以及对函数导数的综合运用三、方法总结与2008年高考预测(分析2008年高考命题趋势，对命题难度，内容，热点等作总结)(一) 方法总结1极限的概念和运算法则是微积分中最重要的工具

17、，也是学好导数的基础它是历年高考的重点考查内容，多与分类讨论相结合 通常与数列结合的题目要多一些，解答时要求先求出数 列的通项公式或是前 n项和公式再求极限求函数的极限时，经常要用到常见函数的极限及 两个重要极限(解决函数极限的小题时可用洛毕达法则)通过恒等变形用函数极限的四则运算法则求相关函数的极限，或利用初等函数在其定义域内每一点处的极限值等于该点函数 值求函数的极限或利用函数的极限判定函数在给定点处的连续性归纳法也是本章常见的考查点，一定要注意用数学归纳法解题时的步骤2导数是中学限选内容中较为重要的知识，由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性方法，是解决实际问题强

18、有力的工具导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的对象要牢记导数公式，熟练应用导数公式求函数的导数，掌握求导数的方法应用导数解决实际问题的关键是要建立恰当的数学模型，了解导数概念的 实际背景(二) 2008年高考预测函数极限和数列极限仍然以选择或填空题为主，有时会在解答题的最后一问出现难度中等或偏易(文科生对函数极限不做要求)导数的考查方式以客观题为主，主要考查求导数的基本公式和法则，以及导数的几何意 义也可以解答题的形式出现，即以导数的几何意义为背景设置成导数与解析几何的综合题 导数的应用是重点，侧重于利用导数确定函数的单调性和极值、最值、值域问题，侧重于导数的综合应用，即导数与

19、函数、数列、不等式的综合应用四、强化训练(要求选择填空解答兼有并留有解答空间，便于用户直接应用)(一) 选择题2 x11已知曲线y的一条切线的斜率为则切点的横坐标为()42A. 1B. 2C.3D. 42已知对任意实数 x，有f (-X)二-f (x), g(-x) =g(x)，且x 0时,f (x)0，g (x)0，则 x ： 0 时()A. f (x)0, g (x)0B. f (x)0, g (x) : 0C. f (x) <0, g (x) >0D3下列函数在x =0处连续的是(A. f (x) = *-1x-1(x“)(xaO)xC. f(x)=xf (x) <0,

20、 g(x) ：0).B. f (x) = In x-1 (x 0)D. f(x) = <0 (x = 0)1 (xc0)m的取值4已知函数f(x) =x3 mx2 (m 6)x 1既存在极大值又存在最小值，则实数B.(6,范围是()A -1,2C. -3,65.函数y =x3 -3x 3在-？，5上的最小值是1 2 2a. 89B. 1C.33D. 588c1232n 12n、，亠6. lim ( + .+)的值为(J" n 1n 1 n 1n 1n 11A . -1B.0C .D.127.设 p: f (x)二 ex In x 2x2 mx 1 在(0, ：)内单调递增,A.

21、充分不必要条件E.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件(a,b)，导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数 )1个2个3个4个y = f (x)OxA. f x 在 X =1 处连续 b . f x =5 C. lim_f x =2D. lim f x =5I十* rC.充分必要条件8.函数f (x)的定义域为开区间f (x)在开区间(a, b)内有极小值点(A.B .C .D .9已知f (x)= fx +3, x H 1，下面结论正确的是( '丿 12, x=110.函数y = xcos x - sin x在下面哪个区间内是增函数2 ) B.(二，2 二)11.函数f

22、 x二(x -a)(x b)在点x=1和x=2处的极限值都是 0,A.(-，D . (2 二，3二)而在点x - -2处不连X c续，则不等式f(x)0的解集为()A . (- 2, 1)B . (3 2)U( 2, + a)C.( 2, 1)U( 2, + )D.(a, 2)U( 1 ,2)，则12.若数列an的通项公式是annnn nn、3 2(T) (3- 2 )2-an)等于(A)1124(C)(D)2524(二) 填空题x +113. 若 lim ( ax b) = 0，贝V a =1 , b =1.x-1114. 已知函数y二f(x)的图象在点 M(1, f(1)处的切线方程是y)

23、x2，则2f(1) f 二22215. 已知点A(0,),B(0,),C(4,0)，其中N为正整数，设 Sn表示 ABC外接圆的nnn面积，则lim Sn =.16. 已知函数y=f ( x)在R上处处可导，f ( 0) =0，当x = 0时，xf'( x) >0.给出下列四个判断：f (- 2) < f (- 1);y= f (x)不可能是奇函数；存在区间-a，a，使得当x、x2 -a, a时，f (空 竺)_ f (")f以2)成立;2 2y = x f (x)在R上单调递增.判断正确的序号是.(请填上所有判断正确的序号)(三) 解答题3217.已知函数f (

24、x)二ax bx - cx在点xd处取得极大值5，其导函数y二f '(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求:(I) xo的值；(n) a,b,c 的值.ax 亠18.已知函数f(x)二二 在x =1处取得极值(I)求函数f (x)的解析式;x +b(n)当m满足什么条件时，f (x)在区间(m,2m 1)为增函数;axav(川)若P(Xo,y。)为函数f(xH图象上任意一点，直线 L与f (x 的x +bx +b图象切于P点，求直线L的斜率的取值范围.1 2 219.已知函数 h(x) x ax 1, g(x) = 61 n x m3(I)若y二h(x)在(1, ：)单

25、调递减，求a的取值范围.(n)当a=4时，设f (x) = h (x)，是否存在实数 m，使得y= f (x)的图象y = g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.1 +x ax20. 已知函数f xe_ .'丿 1 x(I)设a . 0 ,讨论y = f x的单调性；(n)若对任意x三i：0,1恒有f x 1，求a的取值范围.a 3 b 1 221. 设xx?是f x x3x2 x a, R,a 0的两个极值点，f x的导函数是3 2y = f x(I)如果 x1 : 2 x2 ： 4 ，求证：f -23 ；(n)如果xj c2,x2-为=

26、2，求b的取值范围 ；(川)如果a _2，且x2 -为=2,x |必必时，函数g x2x-x2的最小值为h a ，求h a的最大值.1 丄22. 已知函数f(x)(其中e为自然对数的底数)x(I)判断f (x)的奇偶性；(n)在(-二,0)上求函数f (x)的极值；1(川)用数学归纳法证明：当 x 0时，对任意正整数 n都有f () ： n!x2x解析答案：(一)选择题：1. A 2. B 3.A4.B5.B6.A7.B8.A9.D10.B11.C12.C(二)填空题：13. a =1 , b =114.315. 4 二16.(三) 解答题：17.解法一：(I)由图像可知，在：，1上 f &#

27、39; x 0 ,在 1,2 上 f ' x ：0,在 2,上 f ' x 0故f (x)在(,1),( 2, +：)上递增，在(1,2)上递减，因此f x在x =1处取得极大值，所以 X)=1(n) f'(x) =3ax2 2bx c,由 f (1) 0,(2)= 0,(1)= 5,(3a 2b c = 0,I得 12a 4b c=0,解得 a =2,b9,c =12.a b c = 5,解法二：(i)同解法一(n)设 f'(x) = m(x-1)(x-2) = mx2-3mx 2m,又 f '(x) =3ax2 2bx c,232|mx 2mx,2所

28、以 a - ,b = - 一m,c = 2m3 -m 3 f (x) x3由 f (1) = 5,即才-一 m 2m得 m = 6,所以 a =2,b = -9, c =1218.(i)f (x)二a(bx2)(x2 b)2由已知丿f(1) =0r=0(1+b)m)=21 b 2a = 4b =1f (x)二4xx2 1f (x)4(1 -x2)(x2 1)20,得-1 ： x ： 1.f(x )在(1,1)是增函数又f (x)在(m,2m - 1)上为增函数m _ -1，” *2m+1 兰1 n 1 <m 兰0)2m +1 a m(川)直线I在P点的切线斜率k4-4x；(x2 1)24

29、8 2 2X：1(x1)21 2 1 2 1 令i =,则0：tz1,k=8t 4t=8(t)-x0 +14211当 t 二一时，kmin 一 -；，t 二1时，kmax =44 21k _4)2219. (I) h (x)二-x2ax = -x(x2a) 1 分)当 a : 0时，2a ： 0，在 x (- ： ,2a), (0,：)时，h (x) : 0.h(x)在(：,2a) (0,七)上单调递减，符合题意当a =0时，2a =0, h (x)空0恒成立.h(x)(-二，：)上单调递减，符合题意当 a 0 时，2a 0，在 x (",0),(2a,：)时，h (x)在(v,0)

30、(2a,：)上单调递减11则若h(x)在 (1,=)上单调递减，需2a1,即卩a乞一，.0：a乞丄221综合以上可知，若 h x在1, :单调减减，a的取值范围是(-：，一2(n)函数y =f(x)的图象与y =g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数：:(x) =g(x) - f (x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点(x)二 x28x 61 n x m: (x) =2x _86xx2 -8x 6x当(0,1)时，(x)0, (x)是增函数;当x (1,3)时，(x) :： 0(x)是减函数;当x(3,二)时，(x) . 0, (x)是增函数；当 x =1，或 x = 3时，(

31、x) =0-(x)极大值二(1) =m-7,(x)极小值二(3) = m 6ln3-15当x充分接近0时，x ：0,当x充分大时， x 0要使:x的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须®(x) 极大值 y(X)极小值:m ： 15 一 61 n 3=m 6ln 3 -15 ： 0所在存在实数 m，使得函数y二f (x)与丫二g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为7,15-61 n3 20.( I) f x 的定义域为-：,1 i.1, :e - 2q2 |ax 2-a(1 _x 2-_ax因为2 - 0 (其中x 1)恒成立，所以f' x i - 0=

32、ax2 *12 - a i 01-x 当 0：a ：2 时，f' x 0 在 ，0 - l1f ：上恒成立，所以f x在-：,11,= 上为增函数；当a =2时，f ' x 0在-：,00,11,=上恒成立，所以f x在-：,11,= 上为增函数；当 a 2时，ax22-ai，0的解为：-“t L it,1 2 i1, ：(其中 t =1 ?)A a所以f(x)在各区间内的增减性如下表:区间(-°°,-1)(-t,t)(t,1)(1,址)f'(X 的符号+f(X )的单调性增函数减函数增函数增函数(II)显然 f 0 = 1 当0：a2时，f x在区

33、间0,1上是增函数,所以对任意10,1都有f x f 0 ;当a 2时，ft是f x在区间0,1上的最小值，即f t ： f 0 , 这与题目要求矛盾；若a ：:0，f x在区间0,1上是增函数，所以对任意x0,1都有f x . f 0 .综合、，a的取值范围为一 ：,2221. (I)证明：f x =axb-1 x 1丄If(2)c0由 : 2 x2 : 4 且 a 0 得f 4016a1 FL3 严'】2 得 4a -2b 0f -2 =4a -2 b -11 =4a-2b 3 3b dx1 x2 ：a由X1，X2式0，两式相除得1x2 =a1 1即b1xx2（n）解：由第（1）问

34、知-b-1 =7x1 x2x1x2当 0 ：% ：2 时,x1 gax1, x2是方程x=0的两个根124a 2b -1 ：04b3 0x20x2 - x = 2 即 x x12X10,21 1则 L x 220x (x + 2)1 1.b1x1为 + 21令函数x -. x在0, :上是增函数1111-当N三0,2时，b = 捲i门21 ，即b7分2 444当 一2 ： n ： 0时，x2 ： 0 咅x2 = 2 即 x2 =石21 1b1必-2,0x-i为一21 1令函数匸x1 x：0则同理可证匸x在-:-,0上是增函数x （X 2）当厂-2,0时，b 为宀-2 =-4r 1、了7综所述，b的取值范围是I亠 1 U I- 址I 4 丿 14（川）解:f x = 0 的两个根是 x1, x2 ,-可设xax- x-x2 (2)g x 二 ax_%