专题圆周运动问题分析

1、专题二 圆周运动问题分析【专题分析】圆周运动问题是高考中频繁考查的一种题型，这种运动形式涉及到了受力分析、牛顿运动定律、天体运动、能量关系、电场、磁场等知识，甚至连原子核的衰变也可以与圆周运动 结合（衰变后在磁场中做圆周运动）。可见，圆周运动一直受到命题人员的厚爱是有一定原因的。不论圆周运动题目到底和什么知识相联系，我们都可以把它们分为匀速圆周运动和变速圆周运动两种。同时，也可以把常用的解题方法归结为两条。1匀速圆周运动匀速圆周运动的规律非常简单，就是物体受到的合外力提供向心力。只要受力分析找 到合外力，再写出向心力的表达式就可解决问题。2、竖直面内的非匀速圆周运动物理情景：在重力作用下做变速

2、运动，最高点速度最小，最低点速度最大，所以最高 点不容易通过。特点：在最高点和最低点都满足“合外力等于向心力”，其他位置满足“半径方向的合外力等于向心力”，整个过程中机械能守恒。注意：上面所述“半径方向的合外力等于向心力”实际上适用于一切情况。另外，涉及的题目可能不仅仅是重力改变速率，可能还有电场力作用，此时，应能找 出转动过程中的速率最大的位置和速率最小的位置。基本解题方法：1涉及受力，使用向心力方程；2、涉及速度，使用机械能守恒定律或动能定理。【题型讲解】题型一匀速圆周运动问题例题1:如图所示，两小球 A、B在一漏斗形的光滑容器的内壁做匀速 圆周运动，容器的中轴竖直，小球的运动平面为水平面

3、，若两小球的质量相 同，圆周半径关系为 ab，则两小球运动过程中的线速度、角速度、周期 以及向心力、支持力的关系如何？（只比较大小） 解析：题目中两个小球都在做匀速圆周运动，其向心力由合外力提供，由 受力分析可知，重力与支持力的合力提供向心力，如图3-2-2所示，由几何关系，两小球运动的向心力相等，所受支持力相等。两小球圆周运动的向心力相等，半径关系为ab，2由公式F向=m，可得vavb；r由公式F向=mr 2，可得3 aTb ；变式训练如图3-3-3所示，三条长度不同的轻绳 分别悬挂三个小球 A、B、C,轻绳的另一端都固定于天 花板上的P点。令三个小球以悬点下方的 0点为圆心, 在水平面内做

4、匀速圆周运动。 则三个小球摆动周期的关系 如何？（答案：Ta 二 Tb 二 Tc）思考与总结题型二 重力作用下的竖直面内的圆周运动例题2 :用一根长为L的轻绳将质量为 m的小球悬挂在 0点，使小球处于静止状态， 现在最低点给小球一个水平向右的冲量10，使小球能在竖直平面内运动， 若小球在运动的过程中始终对细绳有力的作用，则冲量I。应满足什么条件？解析：小球受到水平冲量后，获得水平向右的速度，之后小球在竖直面内运动，且绳 上始终有拉力，包括两种情况。在最高点，由向心力方程mg Ft第一种情况：小球做完整的圆周运动，即小球可以通过最高点。可知 V gL小球由最低点运动到最高点的过程中，由动能定理-

5、mg2L Jm/mv。22 2在小球受到瞬时冲量时，由动量定理I。=mv。由以上三式可得I。m._5gL第二种情况：小球做不完整的圆周运动，由于绳子不能松弛，所以只能在O点下方来回摆动，其最高点不能超过 O点，并且不能包括 O点，因为刚好摆到 O点时，小球速率为2零，由向心力方程 Ft二罟可知，拉力为零。小球在O点下方摆动。刚好能摆到与O点等高时，由动能定理1 “-mgL 二。 mv。在小球受到瞬时冲量时，由动量定理I。= mv0由以上两式可得I。：:： m 2gL因此，冲量I。应满足的条件为|0 . m.、5gL或10 ： m 2gL 。变式训练内侧光滑的3/4圆弧轨道AB竖直放置，半径为

6、R,如 图3-2-4所示。一小球自A点正上方由静止释放。为使小球由 A点进入轨 道后能到达B点，小球下落的高度 h至少为多少？（答案：h=1.5R）思考与总结题型三天体的圆周运动例题3:（ 06广东）宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m。（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。（2）假设两种形式星体的

7、运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？ 解析：（1）第一种形式下，三星共线，中央星不动，边缘星受到其它两星的万有引力 做圆周运动。由万有引力定律和牛顿第二定律，得：2 2 2mmvG z G 2 二 mR2(2R)2Rl2cos300图 3-2-5（2）第二种形式下，三颗星组成等边三角形，转动的圆心在三角形的中心，向心力由其它两星对其的合力提供，如图3-2-5所示。设三角形的边长为I，由万有引力定律和牛顿第二定律，得：22G m cos30星体之间的距离为:I2变式训练我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”。设该卫星的轨道是圆形1的，且贴近月球表面。已知月球的质量约为地球质

8、量的，月球的半径约为地球半径的811 一-，地球上的第一宇宙速度约为7.9km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为A . 0.4km/sB . 1.8km/sC. 11km/sD. 36km/s(答案：B)思考与总结题型四电场中的圆周运动/XR、E工图 3-2-6V _JF_ /、厶图 3-2-7例题4:竖直面内有一光滑圆环轨道，轨道半径为R,处于水平向右的匀强电场中。一质量为 m带+q电量的小球以初速度 v0由圆环最低 点开始运动，如图所示。若小球所受电场力为重力的0.75倍。求：若令小球能做完整的圆周运动，则小球的初速度Vo的最小值为多少？运动过程中速度的最小值为多少？解析： 小球在运动过

9、程中，同时受到重力和电场力作用，当两力 的合力与小球所在位置对应的半径共线时，其运动的速度为最大值或最小值，如图3-2-7所示，小球在B点速度最小。所以小球能做完整的圆 周运动，需要能够过 B点。电场力为重力的 0.75倍，由几何关系可知 0 =37 。当小球刚好能经过 B点时，环对小球的弹力为零，有2mg cost Eq sin ： - m-B-B点应用动能定理此时小球在最低点所需的速度V0为最小值，对小球从最低点运动到1 2 1 2-mg(R Rcos J -EqRsinmvBmv02 2两式联立可得V0 =m的小球，将小球拉至轻图 3-2-8变式训练如图3-2-8所示，由长度为L的轻绳系

10、一质量为 绳处于水平位置 A时释放，整个装置处于水平向右的匀强电场，小球能摆到竖直方向左侧且轻绳与竖直方向夹角为0的B点，则当小球从B摆到C点时，绳上的拉力大小为多少？丄2 cos(答案：Ft = mg(3)1+s in 廿思考与总结题型五 正交的电磁场中的圆周运动xBxx例题5 :如图所示是匀强电场和匀强磁场组成的复合场，电 场方向竖直向下，场强为 E，磁场的方向水平指向纸内、磁感应 强度为B。在该复合场中有两个带电小球A和B都能在垂直于磁场方向的同一竖直平面内做匀速圆周运动(两个小球间的库仑力 可以忽略)，运动轨迹如图。已知两个带电小球A和B的质量关系为mA =2mB，运动轨迹半径的关系为

11、 Ra = 2Rb =10cm。(1)试说明小球 A和B分别带那种电荷？它们所带的电荷量之比等于多少?(2)设带电小球A和B在轨道最低点P相碰撞，若碰撞后，原在小圆轨道上运动的带电小球B恰好能沿大圆轨道运动，求带电小球A碰撞后的轨道半径(设碰撞过程中电量不发生转移)。解析：(1)带点小球受到恒定的电场力和重力作用，同时受到洛伦兹力，只有在重力 与电场力等大反向时， 才能做匀速圆周运动。 由图电场方向向下，可知，两小球一定带负电。Eq = mg所以 qA ： qB = mA : m 2 ：1(2)小球在P点所受洛伦兹力向上，由左手定则可判断小球的运动均为顺时针方向, 即两小球在P点相撞前，速度方

12、向相同。对小球，洛伦兹力提供向心力qvB =m v R =qB半径关系RA =2RB =10cm可得 Va：Vb=2:1mAmB碰撞后，原在小圆轨道上运动的带电小球B恰好能沿大圆轨道运动，即其运动半径加F倍，可得B碰后其速度加倍，vB =2vb碰撞过程中，由动量守恒定律FFEaVa EbVb 二 mAVA mBVB十曰*3可得V a . V a43所以A球碰后运动半径 Ra = Ra = 7.5cm4b图 3-2-10xXX变式训练如图3-2-10所示，MN为相距30cm的 光滑平行金属导轨，ab为电阻r等于0.3Q的金属棒，且 可以紧贴平行导轨运动，相距为 27cm的水平放置的金 属板A、B

13、与导轨相连，图中 R为0.1 Q的定值电阻，导 轨的电阻忽略不计，整个装置处于方向垂直纸面向里的 匀强磁场中，当ab杆沿导轨向右匀速运动时，一带电粒 子刚好能在 AB板间以与 ab杆相同的速率做半径为 11.1cm的匀速圆周运动，试求金属杆向右匀速运动的速 度（取整数答案）.(答案：v = 2m/s ) 思考与总结【强化训练】1、如图3-2-11所示，将完全相同的两小球 A、B,用长L=0.8 mAB O图 3-2-11A卩Q一 图 3-2-12的细绳悬于以v = 4 m/s向右匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触，由于某种原因，小车突然停止运动，此时悬线的拉力之比Fb : Fa 为（取

14、g=10 m/s2）（）A . 1 : 1B. 1 : 2C. 1 : 3D. 1 : 42、 如图3-2-12所示，在光滑的水平面上钉相距40cm的两个钉子A和B,长1m的细绳一端系着质量为0.4kg的小球，另一端固定在钉子A上开始时，小球和钉子A、B在同一直线上，小球始终以2m/s的速率在水平面上做匀速圆周运动.若细绳能承受的最大拉力是4N，那么，从开始到细绳断开所经历的时间是（）A . 0.9 二 sB . 1.8 二 sC. 1.6 二 sD . 0.8 二 s3. 用m表示地球通信卫星（同步卫星）的质量， h表示它离地面的高度，R0表示地球的半径，g表示地球表面处的重力加速度，3 0

15、表示地球自转的角速度，则通信卫星所受的地球对它的万有引力的大小等于（）2mR) g(R h)2C. m3 R2g0 04D.以上都不正确4、如图3-2-13所示，质量为 m,带电量为q （q 0）的小球，用一长为L的绝缘细线系于一匀强电场中的O点，电场方向竖直向上，电场强度为 E,试讨论小球在最低点要以多大的水平速度V。运1JE1JOL2,V0m图 3-2-13动，才能使带电小球在竖直平面内绕O点做完整的圆周运动？5、如图3-2-14所示，两个质量均为 0.1kg的小球用长为1m的不可伸长的轻线相连，将轻线水平拉直，并让两球静止开始同时 自由下落，下落h高度后，线的中点碰到水平的钉子O上，如果

16、轻线能承受的最大拉力为 19N，要使轻线能被拉断，h至少应为多大？(g=10m/s2)O图 3-2-146、在质量为M的电动机上，装有质量为 m的偏心轮，其示意图 如图3-2-15所示。偏心轮转动的角速度为3,当偏心轮重心在转轴的正上方时，电动机对地面的压力刚好为零；则偏心轮重心离转轴的距 离r多大？在转动过程中，电动机对地面的最大压力多大？7、北京时间11月5日上午11时37分，嫦娥一号在月球捕获点实施首次关键的近月点减速，卫星成功进入绕月轨道，成为中国首颗绕月卫星。设嫦娥一号在距月球表面280km的轨道上做匀速圆周运动，月球的半径为3470km，月球表面的重力加速度约为地球表面的重力加速度的1。求嫦娥一号在此轨道上运行的速度。(地球表面处g取10m/s2)图 3-2-1668、如图3-2