含绝对值的导数题

1、1. 已知函数 f x ln x x 01）求函数 g x f x x 1 的极值；2）求函数 h xf x x a a为实常数 的单调区间；解：（1）gx） lnx x1，g（ x ） x111x当 0x0；当 x1时，g（ x）0恒成立，此时 h（ x）在（ 0，）x上单调递增；当 a 0 时， h（ x ）lnx xa， x a， lnx xa， 0 x 0 恒成立，此时 h（x）在（ a，x）上单调递增；当 0x a时， h（ x ） lnx x a，h（ x） x1 1 1x xxx当 0 0 恒成立，此时 h（x）在（ 0，a）上单调递增；当 a 1时，当 0x 0，当 1x1 时

2、， h（x）增区间为（ 0，1），（a，）；减区间为（ 1，a）设，函数 .（1）当时 , 求曲线在处的切线方程 ;（2）当时, 求函数的最小值 .1.解（ 1）当时，令 得 所以切点为（ 1， 2），切线的斜率为 1， 所以曲线在处的切线方程为： 。（2）当时，恒成立。 在上增函数。故当时， 当时，（），且此时（i ）当即时，在时为正数，所以在区间上为增函数。故当时，(ii) 当，即时，在时为负数，在间 时为正数。所以在区间上为减函数，在上为增函数 故当时，且此时(iii) 当；即 时，在时为负数，所以在区间 1,e 上为减函数，故当时， 。 综上所述，当时，在时和时的最小值都是。所以此时的

3、最小值为；当时，在时的最小值为，而，所以此时的最小值为。 当时，在时最小值为，在时的最小值为，而，所以此时的最小值为 所以函数的最小值为已知函数 .( I ) 若, 求+在2 ，3 上的最小值；( II) 若时 , , 求的取值范围；(III) 求函数在 1 ，6上的最小值 .解:(1) 因为, 且2，3, 所以,当且仅当 x=2时取等号 ,所以在 2 ，3上的最小值为(2) 由题意知 , 当时 , 即恒成立所以 , 即对恒成立 ,则由 ,得所求 a的取值范围是(3) 记,则的图象分别是以 (2 a-1,0) 和( a,1) 为顶点开口向上的 V型线,且射线的斜率均 为.当,即时,易知在 1

4、，6上的最小值为当 a1 时 , 可知 2a 1a, 可知 ,()当,得,即时,在1 ， 6上的最小值为()当且时 ,即,在1，6上的最小值为()当时,因为,所以在 1 ，6上的最小值为综上所述 , 函数在 1 ，6 上的最小值为南京三模) 14.若不等式| ax3 ln x | 1对任意 x (0,1都成立，则实数 a取值范围是 解答：显然 x 1时，有 |a| 1,a 1,or,a 1。令 g(x) ax3 ln x, g (x)23ax21 3ax3 1当 a 1 时，对任意 x(0,1 ，g (x)33ax 10， g(x)在(0,1上递减，g(x)ming(1) a1 ，此时 g(x

5、)a,)，|g(x) | 的最小值为 0，不适合题意。当 a 1时，对任意 x(0,1 ， g (x)3ax3 1 0 x1x3a21 1 1| g(x) |的最小值为 g(3 )ln(3 a) 1，解得：3a 3 3故所求 a6. 已知函数f (x) |ex bx |, 其中 e 为自然对数的底 .(1) 当 b 1时，求曲线 y=f(x) 在x=1 处的切线方程；( 2)若函数 y=f(x) 有且只有一个零点，求实数 b 的取值范围；(3) 当 b0 时，判断函数 y=f(x) 在区间( 0，2)上是否存在极大值，若存在，求出极 大值及相应实数 b 的取值范围 .解：( 1)记 g(x)e

6、xbx当 b1 时，g (x)ex1当 x0时，g (x)0，所以 g( x)在(0 ， )上为增函数又 g(0) 1 0，所以当 x(0 ， ) 时， g(x)0所以当 x(0 ， )时， f ( x) g( x) g( x) ，所以 f (1) g (1) e1所以曲线 yf(x)在点 (1 ， e 1)处的切线方程为：y(e1)(e1)( x1)，即 y(e 1)x 4 分(没有说明“在 x 1附近， f(x)exbx”的扣 1分)2)解法一 f(x)0 同解于 g(x)0，因此，只需 g( x) 0有且只有一个解即方程 exbx0 有且只有一个解xe因为 x0 不满足方程，所以方程同解

7、于be 6 分xe(x 1)e令 h(x) x，由 h (x) x2 0 得 x1xx当 x(1 ， )时， h ( x) 0，h( x)单调递增， h(x)(e， )；当 x(0，1)时，h ( x) 0， h( x)单调递减， h( x) (e ， )；x所以当 x (0 ， ) 时，方程 b x 有且只有一解等价于 b e 8 分x当 x( ， 0)时， h( x)单调递减，且 h( x) ( ， 0)，x从而方程 be 有且只有一解等价于 b ( ， 0)x综上所述， b的取值范围为 (， 0)e 10 分 解法二 f(x)0同解于 g( x) 0，因此，只需 g(x)0 有且只有一个

8、解即方程 ex bx 0有且只有一个解，即 exbx 有且只有一解 也即曲线 y ex与直线 ybx 有且只有一个公共点 6 分如图 1，当 b0 时，直线 ybx与 y ex总是有且只有一个公共点，满足要求图 1)(图 2 )如图 2，当 b0 时，直线 ybx与 y ex有且只有一个公共点，当且仅当直线 y bx 与曲线 y ex 相切x0设切点为 (x0，e ) ，根据曲线 yex 在 xx0处的切线方程为：x0 x0ye e (xx0) x0把原点 (0 ， 0) 代入得 x01，所以 b e e综上所述， b的取值范围为 ( ， 0) e 10 分x3)由 g (x) ex b 0，

9、得 x ln b当 x( ， ln b)时， g (x)0，g(x) 单调递增所以在 xlnb时，g(x)取极小值 g(ln b)bblnbb(1ln b) 当 0e 时， g(ln b) 0， g(2ln b)b22bln bb( b2ln b) 0，2令 k(x)x2lnx由 k ( x) 1 x0得 x 2，从而当 x(2，)时，k(x)单x调递增，又 k(e) e 2 0，所以当 be时，b2ln b0)所以存在 x1(0，ln b)，x2(ln b，2ln b)，使得 g(x1)g(x2)0此时 f(x) g(x)g(x) ， x x1或 x x2， g(x) ，x1x x2所以 f

10、 ( x)在( ， x1)单调递减，在 (x1，ln b)上单调递增，在 (ln b， x2)单调递减，14 分在 (x2 ， ) 上单调递增所以在 x ln b 时， f (x) 有极大值因为 x(0 ，2) 所以，当 ln b2，即 ebe2时，f(x)在(0，2)上有极大值；2当 ln b2，即 be2 时，f(x)在(0，2) 上不存在极大值综上所述，在区间 (0 ，2) 上，当 0be 或 b e2时，函数 y f ( x)不存在极大值；2当 eb0) (1) 求函数 g ( x) f ( x) x 1 的极值；*(2) 求函数 h(x)f ( x)| xa|( a为实常数 )的单调

11、区间；*(3) 若不等式 (x21)f ( x)k(x1)2对一切正实数 x恒成立，求实数 k 的取值范围解： (1) g ( x) ln xx1，g11 x(x)x1当 0 x0；当 x1时，g(x)0恒成立，此时 h( x)在(0 ， )上单调递增； xln x x a， x a， a0时，h(x) llnn xxa，0x，0 恒成立，此时 h(x)在(a， )上单调递x增；当 0xa时，h(x)ln xxa，h(x)x111xxxx当 00恒成立，此时 h( x)在(0 ， a)上单调递增； 当 a 1时，当 0x0，当 1x 1时， h（ x）增区间为 （0 ， 1） ， （ a， ）

12、 ；减区间为 （1，a）（3）不等式 （x21）f （ x） k（ x 1） 2对一切正实数 x 恒成立， 22即（ x21）ln xk（ x 1） 2对一切正实数 x 恒成立 22当 0x1 时，x210；ln x0； 22当 x1 时， x210；ln x0，则 （ x2 1）ln x0因此当 x0 时， （ x2 1）ln x0 恒成立又当 k0 时， k（ x 1） 20，故当 k0 时， （ x2 1）ln xk（x1）2恒成立 下面讨论 k0 的情形22当 x0且 x1时， （x21）ln xk（x1）22k（ x 1）（x21）ln x x1 2k（ x1）12kx2 2（1 k

13、） x12x（ x1） 2设 h（ x） ln x（ x 0 且 x1），h（x） 2x 1x （x1）22记 4（1 k） 244（k22k） 当 0，即 0 k2时， h（ x） 0恒成立，故 h（x）在（0，1）及（1， ）上单调递增 于是当 0x1时， h（ x） h（1） 0，又 x2 10，即（x21）ln x k（ x1）22 2 2 2 当 x1 时，h（ x） h（1） 0，又 x210，故（x21） h（ x） 0，即（ x2 1）ln x k（ x1） 222又当 x1 时， （ x2 1）ln xk（x1）2因此当 0 0，即 k2 时，设 x2 2（1 k） x 1 0的两个不等实根分别为 x1，x2（x11，又 （1） 42k0，于是 x1 1 k 1x2故当 x （1 ， k 1）时， （ x） 0，即 h（ x） 0，从而 h（ x）在（1 ，k 1）在单调递减； 而当 x