数列求和7种方法(方法全,例子多)

1、数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和7 种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧 . 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公

2、式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、 等差数列求和公式： Snn( a1 an )na1n(n 1) d22na1qn )( q1)2、等比数列求和公式：Sna1 (1a1an q( q1)1q1qn1n( n 1)nk 21n(n 1)(2n 1)3、 Snk4、 Snk12k16nk 3 1n( n 1) 25、 Snk12例 1 已知 log3x1，求 xx2x3xn的前 n 项和 .log 2 31解：由 log 31log 3 xlog 321xxlog 2 32由等比数列求和公式得Snxx2x3xn（利用常用公式）n1(11) x(1 x) 22n 1

3、11x112n2例 2 设 Sn 1+2+3+ +n ， n N * ,求 f (n)( nSn的最大值 .32)Sn 1解：由等差数列求和公式得Sn1 n(n1) ， Sn1 (n 1)(n 2)（利用常用公式）22 f (n)Snn2n32) Sn 134n64(n111648250n( n)5034nn8 当n81，即 n 8 时， f (n)max50题 1.等比数列的前项和S 2 ，则题 2 若 12+2 2+(n-1) 2=an3 +bn2+cn，则 a=,b=,c=.解：原式 =答案：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法， 这种方法主要用于求数列

4、a n· bn 的前 n项和，其中 a n 、 b n 分别是等差数列和等比数列 .例 3 求和： Sn 1 3x 5x 27 x3(2n 1)x n 1解：由题可知， ( 2n 1)x n1 的通项是等差数列2n 1 的通项与等比数列 xn 1 的通项之积设 xSn 1x 3x25x37x 4(2n1) xn . （设制错位）2(1x) Sn12 x2x 22x32x42xn 1(2n1) xn(1x)Sn11xn1( 2n1)xn2x1 xSn(2n1) xn 1(2n1) xn(1x)(1x)2例 42, 42, 63, 2nn,n.2222n212n2nn 2Sn2462n2

5、22232n1 S2462n2 n22232 42n 1(11 )Sn222222n22 2223242n2n 1212n2n12 n 1Sn4n22n11annSn.2n_（错位相减（设制错位）（错位相减nn (a1an ) .例 5Cn03Cn15Cn2(2n 1)Cnn(n 1) 2nSnCn03Cn15Cn2(2n1)Cnn.Sn(2n1)Cnn(2n1)Cnn 13Cn1Cn0（反序）3又由CnmCnn m 可得Sn(2n1)Cn0(2n 1)Cn13Cnn1Cnn.+得2Sn(2n2)(Cn0Cn1Cnn1Cnn ) 2(n1) 2 n（反序相加）Sn(n1)2n例 6 求 sin

6、 2 1sin 2 2sin 2 3sin 2 88sin 2 89 的值解：设 Ssin 2 1sin 2 2sin 2 3sin 2 88sin 2 89 . 将式右边反序得Ssin289sin288222（反序）s i n 3s i n 2s i n 1.又因为 sin xcos(90x), sin 2 xcos2x1+得（反序相加）2S(sin 2 1 cos2 1 )(sin 2 2cos2 2 )(sin 2 89cos2 89 ) 89 S 44.5题 1 已知函数（ 1）证明：；（2）求的值 .解：（ 1 ）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（ 2）利用第（ 1

7、）小题已经证明的结论可知，两式相加得：4所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例 7求数列的前 n 项和： 11, 14,127, 1n 13n2 ，aaa解：设 Sn(1 1)14)17)(13n2)(2n 1aaa将其每一项拆开再重新组合得Sn111)(1473n2)(1a2an1a当 a 1 时， Snn(3n1)n(3n1)n2211(3n1)naa1n(3n 1) n当 a1时， Snan2a1211a例 8求数列 n(n+1)(2n+1) 的前 n 项和 .解

8、：设 akk (k1)( 2k 1)2k 33k2knn Snk(k1)( 2k1) (2k 33k 2k)k 1k1将其每一项拆开再重新组合得nk 3nk 2nkSn 23k 1k 1k1（分组）（分组求和）（分组）3332222)(12)2(12) 3(1nnnn2 (n1) 2n(n1)(2n1)n(n 1)（分组求和）222n(n1)2 (n2)2五、裂项法求和5这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解 （裂项） 如：（ 1） anf (n1)f ( n)（ 2）sin1tan(

9、n1)tan ncosncos(n1)111（ 4） an(2n) 21111)（ 3） an1)nn1(2n1)( 2n1)(2n1n(n22n 1（ 5） an11 1(n1n(n1)(n 2)2n(n1)1)( n2)n 212(n 1) n 111n ,则 Sn11(6) an1)2nn(n1)2nn2n 1(n1) 2( n1)2nn(n（ 7） an11(11)B)( AnC )CBAnBAnC( An（ 8） an1n1nn1n例 9求数列11,1, 的前 n 项和 .,2n123n1解：设 an1n 1n（裂项）nn1则 Sn111（裂项求和）1223nn1 ( 21)(32)

10、( n 1 n ) n1 1例 10在数列 a n 中， an12n，又 bn2n 1 n 1n 1，求数列 b n 的前 n 项的和 .anan 1解： an12nnn1n1n12 bnn218( 11)（裂项）nnn12 2 数列 b n 的前 n 项和Sn 8(11 )( 11 )(11 )( 11)（裂项求和）22334nn161)8n 8(1n1n 1例 11求证：111cos1cos0 cos1cos1 cos 2cos88cos89sin 2 1解：设 S111cos 0 cos1cos1 cos 2cos88cos89sin1tan(n1)tan n（裂项）cosn cos(n

11、 1) S111（裂项求和）cos0 cos1cos1 cos 2cos88cos891tan 0 )(tan 2tan1 )(tan 3tan 2 ) tan 89 tan 88 (tan 1sin 11tan 0 )1cos1(tan 89cot1 sin 1sin 1sin 2 1原等式成立练习题 1.答案：.练习题 2。=答案：六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.例 12 求 cos1° + cos2° + cos3° +··

12、;· + cos178° + cos179°的值 .解：设 Sn cos1° + cos2° + cos3° +···+ cos178° + cos179° cosncos(180 n )（找特殊性质项） Sn （ cos1° + cos179°） +（ cos2°+ cos178°） + （ cos3°+ cos177°） +···+（ cos89° + cos91°） +

13、cos90°（合并求和） 07例13数列 a ： a11,a23, a32,an 2an 1an ，求 S .n2002解：设 S2002 a1a2a3a2002由 a11, a23, a32, an 2an 1an 可得a41,a53,a62,a71,a83, a92,a101,a113,a122,a6 k 11, a6k 23, a6k 32, a6 k 41, a6k 53, a6 k 62 a6k1a6k2a6k3a6 k4a6 k 5a6 k60（找特殊性质项）S2002 a1a2a3a2002（合并求和） ( a1a2a3a6 ) (a7a8a12 )(a6k 1a6k

14、2a6k 6 )(a1993a1994a1998 )a1999a2000a2001a2002 a1999a2000a2001a2002 a6 k 1a6k 2a6 k 3a6 k 4 5例 14在各项均为正数的等比数列中，若a5 a69,求 log 3 a1log3 a2log 3 a10 的值 .解：设 Snlog 3 a1log 3 a2log 3 a10由等比数列的性质mnpqam ana paq（找特殊性质项）和对数的运算性质loga MlogaNlog a M N得Sn(log 3 a1log 3 a10 )(log 3 a2log 3 a9 )(log 3 a5log 3 a6 )

15、（合并求和） (log 3 a1a10 )(log 3 a2 a9 )(log 3 a5a6 ) log 3 9log 3 9log3 9 10练习、求和：8练习题1设，则_答案：2.练习 题 2若 Sn=1-2+3-4+(-1) n-1 ·n，则 S 17+S33 50 等于()A.1B.-1C.0D .2解：对前n 项和要分奇偶分别解决，即：Sn=答案： A练习 题 31002-992+98 2-972+22-12 的值是A.5000B .5050C.10100D .20200解：并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5050.答案： B七、利

16、用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.例 15求1 11 1111111之和 .n个1解：由于 111 1199991 (10k1)（找通项及特征）k个19k个191111111111n个1 1 (1011)1 (1021)1 (1031)1 (10 n1)（分组求和）9999 1 (10110210310n )1(1 111)99n个1n 1 10(101)n91019 1 (10n 1 10 9n)819例 16已知数列 a n ： an8,求(n1)( anan 1 ) 的值 .(n1)(n3)n 1解：(n1)(anan 1 )8(n1)11（找通项及特征）3)( n2)(n4)( n 1)(n 811（设制分组）(n2)(n4)( n3)(n4) 4(11)8 (11（裂项）2nn3n)n44( n1)(anan 1 )4(11)8( 11)（分组、裂项求和）n 1n 1 n 2 n 4n 1 n 3 n 44( 11 )81344133提高练习 ：1 已知数列 an中， Sn 是其前 n 项和，并且 Sn 14an2(n1,2, ), a1