切线长定理弦切角和圆有关的比例线段

1、切线长定理、弦切角、和圆有关地比例线段九年级数学同步辅 2009-06-29 23:12:37阅读105评论0字号：大中小 订阅切线长定理、弦切角、和圆有关地比例线段学习目标1. 切线长概念切线长是在经过圆外一点地圆地切线上，这点和切点之间地线段地长度，“切线长”是切线上一条线段地长，具有数量地特征，而“切线”是一条直线,它不可以度量长度2. 切线长定理对于切线长定理，应明确1）若已知圆地两条切线相交，则切线长相等；2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点地连线为直径；3）经过圆外一点引圆地两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；4 ）经过圆外一点引圆地两条切线，切线地夹角与过切点地两个半径

2、地夹角互补；5 ）圆外一点与圆心地连线，平分过这点向圆引地两条切线所夹地角3. 弦切角、顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切地角直线AB切O O于P,PC、PD为弦,图中几个弦切角呢？四个）4. 弦切角定理：弦切角等于其所夹地弧所对地圆周角5. 弄清和圆有关地角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角6. 遇到圆地切线，可联想“角”弦切角，“线”切线地性质定理及切线长定理7. 与圆有关地比例线段定理图形已知结论证法相交 弦定 理O O 中，AB、CD 为弦，交于PPA PB = PC PD连结AC、BD，证： APCDPB相交 弦定 理地 推论O O中，AB为直 径，CD丄AB于PPC2=

3、 PA PB用相交弦定理切割 线定 理八O 0 中,PT 切 O 0 于T,割线PB交O0于APT2= PA PB连结TA、TB,证： PTBPAT切割 线定 理推 论BPB、PD 为O 0 地两条割线，交O 0于A、CPA PB = PC PD过P作PT BO 0于T,用两次切割线定 理圆幕 定理¥O 0中，割线PB 交O 0于A,CD 为弦P'C P'D = r2 0P'2PA PB = 0P2 r2r为O 0地半径延长P'0交O 0于M,延长0P'交O 0 于N,用相交弦定理 证；过P作切线用 切割线定理勾股定 理证8.圆幕定理：过一定点

4、 P向O O作任一直线，交O O于两点,则自定点P到两交点地两条线段之积为常数| - - ' |<R为圆半径），因为- - 叫做点对于O O地幕，所以将上述 定理统称为圆幂定理.【典型例题】例1.如图1,正方形ABCD地边长为1,以BC为直径.在正方形内作半圆 0,过A作半圆切线 切点为F交CD于E,求DE : AE地值.图1解：由切线长定理知：AF = AB = 1,EF= CE设CE为X,在Rt ADE中，由勾股定理(1+M二(1k + F, X = 141 31 5DE = - = - j4£ = 1 + - = -4 44 4 55=3t 5例2. OO中地两条

5、弦 AB与 CD相交于 E,若AE = 6cm,BE = 2cm,CD = 7cm,那么 CE =cm.图2解：由相交弦定理，得AE BE = CE DE/ AE = 6cm,BE = 2cm,CD = 7cm,. ,.6X2 二 CE(7 - CE),即二二.2-:. CE= 3cm 或 CE= 4cm.故应填3或4.点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况地取舍例3.已知PA是圆地切线,PCB是圆地割线，则AB AC?二肌解：/ P=Z P/ PAC=Z B, PACs PBA,AB_PB- 一二，AB2 _ PB25J .又 PA是圆地切线,PCB是圆地割线，由切割线定理，得加二

6、 P0PCAB2 _ 阿 _ PB丽一 PL PC 一祝5一丄'故应填PC.点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论例4.如图3,P是O O外一点,PC切O O于点C,PAB是O O地割线，交O O于A、B两点，如果PA: PB= 1 : 4,PC= 12cm, O O地半径为10cm，则圆心 O到AB地距离是 cm.图3解： PC是O O地切线,PAB是O O地割线，且PA: PB= 1: 4 pb= 4PA又 PC= 12cm由切割线定理,得二上.1?二刊 /.二-:',/ .<1.PB= 4X 6= 24<cm). AB = 24 6= 18&l

7、t;cm )设圆心O到AB距离为d cm, 由勾股定理，得d =血-9'=那(瀾故应填例5.如图4,AB为O O地直径，过B点作O O地切线BC,OC交O O于点E,AE地延长线交BC于点D,<1 ）求证：<2)若 AB = BC = 2 厘 M,求 CE、CD 地长.B点悟：要证 c沪二 cues ,即要证 CEDCBE.证明：<1)连结BEBCO 0 的切线=厶4 = ZCBE' oa = oezLa = Zoea Zoea = Adec*> n AC ED = Ac BEZc公用角AC£DoACB£ => = =>

8、Cff3 = C8 CDCD CE駅是G> Ol?线"朋为直径<2)卜=> 乙ABD = 90°AB = 2 => OB = EC =2n OC =+1 =-込”OE= 1又肋= CPCB, C8 = 2, (£-1)2=2CD=>CD = (3-厉)厘 m.点拨：有切线，并需寻找角地关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件例6.如图5,AB为O O地直径，弦CD / AB,AE切O O于A,交CD地延长线于 E.图5求证：丄一二 证明：连结BD,/ AE 切O O 于 A,/ EAD = Z ABD/ AE 丄 AB,又 AB /

9、 CD, AE 丄 CD AB为O O地直径/ ADB = 90°/ E=Z ADB = 90° ADEBADAD _ DE.二亠/ CD / ABn qA AD = SC AD = BC, 丄AD BC = CD ABAD_CD点悟：由结论 AD BC = CD AB得-'丄 -/，显然要证 PADPBA和厶PCDsPBC证明： PA切O O于A, / PAD = Z PBA又/ APD = Z BPA, PAD PBAAD_PD 一'二同理可证厶PCDPBCCD_PDbc7c/ PA、PC分别切O O于A、C PA= PCAD _ CDAB = 1C A

10、D BC = DC AB例8.如图7,在直角三角形 ABC中，/ A = 90°，以AB边为直径作O O,交斜边BC于点D,过 D点作O O地切线交 AC于E.图7求证：BC = 20E.点悟：由要证结论易想到应证0E是厶ABC地中位线而0A = 0B,只须证AE = CE.证明：连结0D./ AC丄AB,AB为直径 AC为O 0地切线，又DE切O 0于D EA = ED,0D 丄 DE/ 0B = 0D,B=Z 0DB在 Rt ABC 中，/C= 90°/ B/ 0DE = 90°/ C=/ EDC ED = EC AE = EC 0E是厶ABC地中位线 BC

11、= 20Eo例9.如图8,在正方形ABCD中,AB = 1是以点B为圆心,AB长为半径地圆地一段弧点DE是边AD上地任意一点 < 点E与点A、D不重合），过E作所在圆地切线，交边DC于 点F,G为切点当/ DEF = 45。时，求证点G为线段EF地中点；图8解：由/ DEF = 45°，得伽二则即二45° / DFE = / DEF DE = DF又 AD = DC AE = FC因为AB是圆B地半径，AD丄AB,所以AD切圆B于点A ;同理，CD切圆B于点C. 又因为EF切圆B于点G,所以AE = EG,FC= FG.因此EG = FG即点G为线段EF地中点.【模拟

12、试卷】 答题时间：40分钟)-、选择题1.已知：PA、PB切O O于点A、B,连结AB,若AB=8,弦AB地弦心距 3,则PA = )2025A. 一B.二C. 5D. 82.下列图形一定有内切圆地是< )A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形3.已知：如图1直线MN与O O相切于C,AB为直径，/ CAB = 40°，则/ MCA 地度数图1A. 50 °B.40 °C.60 °D. 55 °4. 圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1： 4,则另一弦长为 )A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 16cm5.

13、 在厶ABC中,D是BC边上地点，AD - - ,BD = 3cm,DC = 4cm,如果 E是AD地延长线与 ABC地外接圆地交点，那么DE长等于)C.6. PT切O O于T,CT为直径，D为OC上一点，直线PD交O O于B和A,B在线段PD上,若CD = 2,AD = 3,BD = 4,则 PB 等于 )A. 20B. 10C. 5D. : ?1、填空题7. AB、CD是O O切线,AB / CD,EF是O O地切线，它和AB、CD分别交于 E、F,则/ EOF :度.8. 已知：O O和不在O O上地一点P过P地直线交O O于A、B两点若PA PB = 24,OP =5,则O O 地半径

14、长为 .,则PC9. 若PA为O O地切线,A为切点,PBC割线交O O于B、C,若 BC = 20,地长为.10. 正厶ABC内接于O O,M、N分别为 AB、AC中点，延长 MN交O O于点D,连结BD交PC =AC 于 P 则 PM .三、解答题11. 如图2厶ABC中,AC = 2cm,周长为8cm,F、K、N是厶ABC与内切圆地切点，DE切O O 于点 M,且DE / AC,求DE地长.图212. 如图3,已知P为O O地直径 AB延长线上一点,PC切O O于C,CD丄AB于D,求证：CB 平分/ DCP.图313. 如图4,已知AD为O O地直径,AB是O O地切线，过B地割线BMN交AD地延长线于 C,且BM = MN = NC,若AB - -匸，求O O地半径.A图4【试卷答案】一、选择题1. A2. C3. A4. B5. B6. A二、填空题7. 908. 19. 3010.-三、解答题：11. 由切线长定理得厶 BDE周长为4,由厶BDE s bac,得DE = 1cm12. 证明：连结AC,则AC丄CB/ CD 丄 AB, ACBCDB, / A = Z