工程力学-组合变形

1、10组合变形1、斜弯曲，弯扭，拉(压)弯，偏心拉伸(压缩)等组合变形的概念;2、危险截面和危险点的确定，中性轴的确定；如双向偏心拉伸，中性轴方程为yp.2y。Zp.2 Z。ly3、危险点的应力计算，强度计算，变形计算、4、截面核心。解题范例10.1 定性分析图10.1示结构中各构件将发生哪些基本变形15KN(d)图 10.1解(a)AD杆时压缩、弯曲组合变形，BC杆是压缩、弯曲组合变形；AC杆不发生变形。(b) AB杆是压弯组合变形，BC杆是弯曲变形。(c) AB是压缩弯曲组合变形， BC是压弯组合变形。(d) CD是弯曲变形，BD发生压缩变形，AB发生弯伸变形，BC发生拉弯组合变形。10.2

2、分析图10.2中各杆的受力和变形情况。解(a)力可分解成水平和竖直方向的分力，为压弯变形。(b) 所受外力偶矩作用，产生弯曲变形。(c) 该杆受竖向集中荷载，产生弯曲变形(d) 该杆受水平集中荷载，偏心受压，产生压缩和弯曲变形。(e) AB段：受弯，弯曲变形，BC段：弯曲。(f) AB段:受弯，弯曲变形，BC段:压弯组合。(g )AB段:斜弯曲，BC段:弯纽扭合。10.3分析图10.3示构件中(AB、BC和CD)各段将发生哪些变形 ？图 10.3解AB段发生弯曲变形，BC段发生弯曲、扭转变形；CD段发生拉伸、双向弯曲变形。10.4 一悬臂滑车架如图10.4 所示，杆 AB为18号工字钢（截面面

3、积 30.6cm2，Wz=185cm）,其长度为l=2.6m。试求当荷载F=25kN作用在AB的中点处时，杆内的最大正应 力。设工字钢的自重可略去不计。图 10.4解取AB为研究对象，对 A点取矩可得Fnbcy12.5kNF NABF NBCX分别作出AB的轴力图和弯矩图kNkN.m轴力作用时截面正应力均匀分布，fn （压）A弯矩作用时截面正应力三角形分布，M （下拉上压）Wz可知D截面处上边缘压应力最大，叠加可得最大正应力 94.9MPa （压10.5如图10.5 所示,截面为16a号槽钢的简支梁,跨长L=4.2m,受集度为q的均布荷载作用，q=2KN/m 。梁放在=20°的斜面上

4、，试确定梁危险截面上 A点和B点处的弯曲正应力。解双向弯曲梁，在梁跨中点处的截面是危险截面 ，该截面上的弯矩、M z max-ql2cos8M y max-ql2sin84.15kN ?m1.5kM ?m从型钢规格中查得16A号钢的抗弯截面模量WZ 108cm34IZ 73.3cm z01.08cmb 6.3cm离中和轴最远的点是危险点M zmax M ymax ? 6.3 Z°cmax145.22MPaWzB点：M ymaxM ymaxZ0tmaxWzIy60.5.叩9y习题解析10.1矩形截面木檩条，跨度L=4m，荷载及截面尺寸如图10.6所示，木材为杉木，弯曲容许应力d =12

5、MPa，E=9 x 103MPa容许挠度为L/200，试验算穰条的强度和刚度。1.6kN；m解首先进行强度的校核：先将 q分解成为两个分量qX =716N/m, qz=1430N/m,二者对应最大弯矩分别为M xmax =1432N m, M zmax =2860 N m代入强度条件公式得M xmax / Wx+M zmax /WZ =1053.MPav=12MPa故强度条件满足 再进行刚度的核算：与 qX相应的挠度fX = 竺 |4=14.9mm384Elz与qz相应的挠度fz=5qz4=14.mm384EIxfmax= . fx fz =20.51mm<L/ 200=20mm （容许

6、挠度）可以认为刚度满足要求。10.2由木材制成的矩形截面悬臂梁 ，在梁的水平对称面内受到力 Pi=1.6kN的作用， 在铅直对称面内受到力 P2=0.8 kN作用（如图10.7 所示）。已知：b=90mm , h=180mm,E=1.0 x 10 4MPa。试求梁的横截面上的最大正应力及其作用点的位置，并求梁的最大挠度。如果截面为圆形,d=13Omm,试求梁的横截面上的最大正应力。图 10.7y 1£LA I1解P1,P2单独作用在梁上时,所引起的最大弯矩MyR?l 2 1.6 3.2kN?mMZ 1 F2 1 0.8 0.8kN?m都在梁固定端，截面上1、2两点是危险点叫 归 14

7、.82MPa（1点为拉应力,2点为压应力） wyw梁的最大挠度在自由端，其值为%)22EI5P?I48EI1.5mm- 39mm3EI所以最大挠度为如果截面为圆形max . f2y f2z 39.03mmMM y maxM Z maxmaxWW315.3MPa（发生在固定端截面上）10.3试分别求出图10.8示不等截面及等截面杆内的最大正应力，并作比较（图中尺寸P-350kNP=350kN单位为mm）。图 10.8解轴力 N=P=350kNMP?e3500.05 14.5kN ?mMN50 P Pmax11.67MPaWzA1 2A-b h A6(b)NP8.75MPa.AA10.4一伞形水塔

8、,受力如图10.9,其中P为满水时的重力，Q为地震时引起的水平载荷解水塔为压弯组合编形p由Q引起的正应力max,由轴向压力P引起的压应力PA18001033003104017.0624D2 ,d3, d1D14D32DmaxQmax （最大值在固定端）W8MPa立柱的外径D=2m,壁厚t=0.5m,如材料的许用应力r =8MPa,试校核其强度。所以,不满足强度条件10.5起重机受力如图10.10,P i=30kN, P2=220kN, Ps=6OkN,它们的作用线离立柱中心线的距离分别为1.0m ,1.2m 和1.6m,如立柱为实心钢柱材料许用应力d =16OMPa,试设计其底部 A -A 处

9、的直径。lUnilLtim1 2m屮产毗NF(=220kN1A.-ft2.7 2. « v 、.5, Inv图 10.10解该杆为压弯组合变形,设底部A-A处直径D,柱底部所受的压应力有两部分R P2 P3 (30 220 60) 10 394.9 10 r4柱底部最大弯矩M maxP1l1P2l2P3I3468kN?m由此弯矩产生的最大压力3Mmax 468 10324769.4d310160MPa柱底部所受的压应力由于2?1,若只考虑弯矩的作用解得d=31cm取 d=40cm10.6上题中，若立柱为空心钢管，内外径之比d/D=0.9, 试设计A-A处的直径。解此题为压弯组合变形，

10、将立柱在A-A处截开，合压力FRF2 P330220 60310kN底部面积(D2 d2)2A0.15DD /4、D/4、WZ(1) -(1 0.9 )3232F M ZF32M ZcA WZ0.15D20.3439 D3解得D 43cm,d 0.9D38cm可取D 45cm,d 38cm10.7三角形构架 ABC,受力如图10.1130.3439 D3216. 103弯矩MZP 10 P2 1.2 P3 1.630 10 220 1.2 60 1.6468kN m。水平杆AB由18号工字钢制成，试求AB杆的最大应力。如产生力!P-l50kN图 10.11P的小车能在AB杆上移动，则又如何？N

11、 BCP 1.52 1.5si n30°150kN荷载移动到中点时弯矩最大，其值为maxNbc sin 300 1.5125kN ?mcmax呃 N 717.92MPa（截面的上边缘为压应力）WZA10.8上题中，若工字钢材料的许用应力d =1000MPa，试选择AB杆的截面尺寸。解接上题cmaxNdAMdWZWZ 皿 125cm3选16号普通工字钢，Wz32141cm , A 26.1cm解AB杆产生压缩与弯曲组合变形强度校核：cmax 936.3MPa<即选16号普通工字钢,WZ 141cm3, A 26.1cm2.10.9图10.12 示钻床，受力P=15kN,铸铁立柱的

12、许用应力d =35MPa,试计算立柱所需的直径d图 10.12解为拉弯组合变形，只考虑弯矩的作用解得t maxMWZWZP?e330.17 10 3m30.17 10解得d 12cm取 d=14cm代入验算:maxt maxWz28.95MPa35MPa10.10砖砌烟囱，高H=30m,自重 Q=2000kN,受水平风力 q=2kN/m 作用，如图10.13 所示。如烟囱底部截面的外径D=3m时，内径d=2m,求烟囱底部截面上的最大压应力。图 10.13解由自重引起的压应力大小为0.509 MPa烟囱底部截面上的弯距大小为max1ql29.0 105N ?m2maxmax0.92MPa10.1

13、1如图10.14 所示某厂房柱子，受到吊车竖直轮压力P=22OKN,屋架传给柱顶的水平力Q=8KN,以及风载荷 q=1kN/m 的作用,P 力的作用线离底部柱的中心线的距离e=0.4m,柱子底部截面尺寸为 1mx 0.3m,试计算柱底部的危险点的应力。图 10.14解分析知，危险截面在底部，危险点在右侧边缘.力的作用分为三部分,P的作用1cPeWP）（右侧边缘受压）Q作用下:2tQ?lW（右侧边缘受拉）在均布荷载的作用:3t临（右侧边缘受压）危险点的应力为:max1c2t3t10.11如图10.15,功率N=8.8kW的电动机轴以转速n=80Or/min旋转着，胶带传动轮L =120mm的悬臂

14、梁，其许用应力的直径D=250mm,胶带轮重力 G=70ON。轴可看成长度图 10.15解转子在水轮机部分产生的外力偶矩Nk3M n 9.55 0.105 103N ?mnD2T T Mn2可解得：T=840N轴所受荷载分解x,y两个方向，其值为oPy G 3T sin45 2481.64Npy 3Tcos450 1781.64N二者合力P JpX py 73.052N危险载的处最大弯矩M max pL 0.366kN ?m由些弯矩产生的最大正压力maxmaxWz轴产生弯扭变形，由扭矩M产生的最大切应力maxM t M nWpWP用最大切应力理论r3max代入后得WzWzd332可解得d=15

15、7mm.10.21如图10.16,电动机带动一胶带轮轴 ,轴直径d=40mrn,胶带轮直径 D=30Omm,轮重G=6OON。若电动机功率 N=14KW,转速n=980r/min, 胶带紧边与松边拉力之比T/t=2,轴的d =12OMPa试按最大切应力理论校核轴的强度。图 10.16解电动机所产生的扭距为M n 9.55 Nk 136.43N mn=(T-t)D/2令拉紧边拉力T,则松边拉力t=T/2,于是可解得T=1819N,t=909N1Mmax 4PL危险截面处最大弯距丄 1819 909 6000.8 665.6N m4maxmaxWz105.98MPa最大扭转切应力maxMnWp52

16、.99MPa ,代入第三强度理论公式得120MPa-2 4 2149.88MPaf不符合要求10.22卷扬机轴为圆形截面，直径d=30mm,其它尺寸如图 10.17 示。许用应力d =80MPa,试求最大许可起重载荷P。解支反力RA RB P/2设C点在轴与轮交点处，外力距TA T?RTC P D/2图 10.17轴跨中为危险截面：1M max pl 0.2 p4Mt TC P D/20.09PmaxmaxWz轴产生弯扭变形，由扭矩M产生的最大切应力maxMt M nWpWPWP 2WZw-根据第三强度理论可得80MPa图 10.18将数值代入可得,P < 945.5N10.23 一起重

17、螺旋的载荷和尺寸如图10.18所示。己知起重载荷W=40X 103N ,载荷的偏心距e=5mm。若起重时推力P=32ON,力臂I =500mm,起重最大高度h=30Omm,螺纹根部提示:校核时不计螺直径d=40mm,螺杆的d =10OMPa，试用最大切应力理论校螺杆强度。纹影响，螺杆可近似看作d=40mm的等截面圆杆。解螺杆弯、压、扭组合变形，危险截面处的弯距MmaxWe 200N ?mMmaxWw'31.7931.8563.64MPa (压力)A危险截面处的扭距Mn Pl 160N?mmaxMnWp12.73MPa68.54MPa<用最大扭转切应力理论进行校核100MPa10.

18、24图10.19示钢制圈轴上有两个齿轮，齿轮C上作用着铅直切线力P1=5kN,齿轮D上作用着水平切线力 P 2=lOkN。若d =100MPa,齿轮C直径dc=30Omm,齿轮D直径d d =150mm。试用第四强度理论求轴的直径。I 150m m|3 ()0 mmI SOmm”一 _ |i $图 10.19解支座反力RbR150600,RaR450600MtWp,M zmax2ymaxWZ,WzWy由第四强度理论r4.M 2 0.75Mn2WZM20.75M上式中的plMn P10?mWznMymax 1.125kN ?mMZ 0.19kN?m, M 1.14kN?m32.1.1420.75

19、 0.7526100 1013.12 10解得d 51.1mm10.25 如图10.20 所示电动机功率 N=6kW,转速n=1430r/min,胶带水平张力 T=1kN,电动机轴和电枢重G=94N,单边磁拉力 R=60ON（铅直平面）,轴材料为30号 钢,d =74MPa。试按第三强度理论校核轴的强度。图 10.20解计算简图如10.21示,由分析得，外力矩T 9.55 丛 9.5540N ?mn1430剪应力为:Wp40D3/1640 16/ 3.14 0.02839.26MPaC截面有:M 57 32Wz3.14 0.028326.5MPa匚n.iF|隣|叱n .-n：. 'iT=1KN“Em川川