122第2课时分段函数及映射学案（人教A版必修1）

1、第2课时分段函数及映射【课标要求】1通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用2了解映射的概念【核心扫描】1分段函数的图象及求值(重点)2对映射概念的理解(难点)3通过分段函数的学习体会分类讨论的思想.新知导学1分段函数如果函数yf(x)，xA，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数温馨提示：分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集2映射设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射互动探究探

2、究点1 “分段函数是几个函数”这句话正确吗？提示不正确，分段函数是一个函数，而非几个函数，只不过在定义域的不同子集上其解析式不同而已探究点2 映射一定是函数吗？提示映射是函数的推广，而函数是映射的特殊情况，函数是非空数集A到非空数集B的映射，对映射而言，A，B不一定是非空数集，所以映射不一定是函数，函数一定是映射. 类型一分段函数的求值【例1】 (1)设函数f(x)则f(f(3)()A. B3 C. D.(2)(2013·成都高一检测)已知函数f(x)若f(x)10，则x_.思路探索 解析(1)当x31时，f(3)1，f(f(3)f21.(2)当x0时，f(x)x2110，x3(舍去

3、3)；当x0时，f(x)2x10，x5.综上知，x的值为5或3.答案(1)D(2)5或3规律方法1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得若题目含有多层“f”，应按“由里到外”的顺序层层处理2如果所给变量范围不明确，计算时要采用分类讨论的思想【活学活用1】 (1)已知函数f(x)则f_；(2)已知函数f(x)若f(x)2，则x_.解析(1)由于1，所以f2，ff12.(2)若x0，由x12，得x1；若x0，由2，得x±，舍去x，x.综上可知，x1或x.答案(1)(2)1或类型二分段函数的图象与解析式【例2】 (1)(2013·汕头高一检测)作

4、f(x)x的图象(2)如图，根据函数yf(x)的图象，写出它的解析式思路探索(1)去绝对值号，化简f(x)的解析式并写出分段函数，再逐段画出图象(2)根据图象列出每一段的解析式，合在一起形成f(x)的解析式解(1)f(x)图象如图(2)当0x1时，f(x)2x；当1x2时，f(x)2；当x2时，f(x)3.故f(x)规律方法1.对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的定义脱去绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数的图象2由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不同，因此画图时要注意区间端点处对应点的实虚问题3根据分段函数的图象求解析式时，首先求出每一段的解析式，然后写成分

5、段函数的形式【活学活用2】 已知f(x)(1)画出f(x)的图象；(2)求f(x)的定义域和值域解(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知，当1x1时，f(x)x2的值域为0,1，当x1或x1时，f(x)1，所以f(x)的值域为0,1类型三映射的概念【例3】 判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射：(1)AN*，BN*，对应关系f：x|x3|；(2)A平面内的圆，B平面内的矩形，对应关系f：“作圆的内接矩形”；(3)A高一(1)班的男生，BR，对应关系f：每个男生对应自己的身高；(4)Ax|0x2，By|0y6，对应关系f：xyx.思路

6、探索根据映射的定义，只要检验对A中的任何元素，按对应关系f，是否在B中都有唯一的元素与之对应解(1)A中元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值为0，而0B，故不是映射(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射(3)对A中任何一个元素，按照对应关系f，在B中都有唯一的元素与之对应，符合映射定义，是映射(4)是映射，因为A中每一个元素在f：xyx作用下对应的元素构成的集合Cy|0y1B，符合映射定义规律方法判断对应f：AB是否是A到B的映射，必须做到几点：(1)明确集合A，B中的元素(2)根据映射定义判断A中每个元素是否在B中能找到唯一确

7、定的对应元素，可以“一对一”，也可以“多对一”，但“一对多”不是映射【活学活用3】 判断下列对应关系哪些是从集合A到集合B的映射，哪些不是，为什么？(1)AR，B0,1，对应关系f：xy(2)AZ，BQ，对应关系f：xy；(3)设A矩形，B实数，对应关系f：矩形和它的面积对应解(1)对于集合A中任意一个非负数在集合B中都有唯一元素1与之对应，对于A中任意一个负数在集合B中都有唯一元素0与之对应，所以这个对应是映射(2)集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，故不是映射(3)对于每一个矩形，它的面积是唯一确定的，所以f是从集合A到集合B的映射易错辨析忽略分段函数各区间上的范围致误【示例】 已

8、知函数f(x)若f(x)3，求x的值错解由x213，得x±2；由2x13，得x1，故x的值为2，2或1.错因分析要紧扣“分段”的特征，即函数在定义域的不同部分，有不同的对应关系，求值时不能忽视x的取值范围正解当x0时，由x213，得x2或x2(舍去)；当x<0时，由2x13，得x1(舍去)，故x2.防范措施(1)分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数体现了数学的分类讨论思想，“分段求解”是解决分段函数问题的基本原则(2)“对号入座”，根据自变量取值的范围，准确确定相应的对应关系，转化为一般函数在指定区间上的问题不能准确理解分段函数的概念是导致出错的主要原因课堂达标1下列

9、对应不是映射的是()解析结合映射的定义可知A、B、C均满足M中任意一个数x，在N中有唯一确定的y与之对应，而D中元素1在N中有a，b两个元素与之对应，故不是映射答案D2函数y|x|的图象是()解析y|x|B选项正确答案B3函数f(x)的值域是_解析当x0时，f(x)1，当2x0时，2f(x)4，f(x)1或2f(x)4，即f(x)的值域为1，)答案1，)4已知从集合A到集合B的映射是f1：x2x1，从B到C的映射是f2：y，则从AC的映射为_解析依题设，AC的映射为x.答案x5已知函数f(x)(1)求f(2)，ff(2)的值；(2)若f(x0)8，求x0的值解(1)0x2时，f(x)x24，f(2)2240，ff(2)f(0)0244.(2)当0x02时，由x48，得x0±2(舍去)；当x02时，由2x08，得x04.x04.课堂小结1对映射的定义，应注意以下几点：(1)集合A和B必须是非空集合，它们可以是数集、点集，也可以是其他集合(2)映射是一种特殊的对应，对应关系可以用图示或文字描述的方法来表达2理解分段函数应注意的问题：(1)分段