132函数的极值与导数

1、1.3.2 1.3.2 函数的极值与导数函数的极值与导数 1.3 1.3 导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 1.1.函数函数f(xf(x) )在区间在区间(a(a，b)b)内的单调性与其导内的单调性与其导数的正负有什么关系？数的正负有什么关系？知识回顾知识回顾f f (x)0 f(x(x)0 f(x) )单调递增；单调递增；f f (x)0 f(x(x)0 f(x) )单调递减单调递减. .其中其中f f (x(x) )不恒等于不恒等于0. 0. 2.2.利用导数求函数单调区间的基本步骤如何？利用导数求函数单调区间的基本步骤如何？知识回顾知识回顾(1)确定函数确定函数f(x)的定义

2、域；的定义域；(2) 求出函数的导数；求出函数的导数；(3) 解不等式解不等式f (x)0,得函数的单调递增区间；得函数的单调递增区间； 解不等式解不等式f (x)0,得函数的单调递减区间得函数的单调递减区间新知探究新知探究 探究探究1 阅读教材阅读教材P26-27内容，理解并归内容，理解并归纳函数极值点与极值的概念、极值与导数的纳函数极值点与极值的概念、极值与导数的关系关系.1.1.下图为函数下图为函数y yf(xf(x) )的图象的图象, ,在点在点A,BA,B处的函数处的函数值与其附近的点的函数值分别有什么关系？值与其附近的点的函数值分别有什么关系？ B BA AO Ox xy yab

3、b点点A A处的函数值比其附近点的处的函数值比其附近点的函数值都小；函数值都小； 点点B B处的函数值比其附近点的处的函数值比其附近点的函数值都大函数值都大. .新知探究新知探究2.2.上图中点上图中点A A、B B分别叫做函数分别叫做函数y yf(xf(x) )的的极极小值点小值点和和极大值点极大值点，并统称为，并统称为极值点极值点. . B BA AO Ox xy yab b形成结论形成结论3. 3. 一个函数的极值点就存在性而言有哪些可一个函数的极值点就存在性而言有哪些可能情况？能情况？ 有极小值点无极大值点；有极大值点无极小有极小值点无极大值点；有极大值点无极小值点；既有极小值点又有极

4、大值点；没有极值点；既有极小值点又有极大值点；没有极值点值点. . 新知探究新知探究4.4.上图中点上图中点A A处的函数值处的函数值f(f(a) )叫做函数叫做函数y yf(xf(x) )的的极小值极小值，点，点B B处的函数值处的函数值f(f(b b) )叫做函数叫做函数y yf(xf(x) )的的极大值极大值，极大值和极小值统称为，极大值和极小值统称为极值极值. .B BA AO Ox xy yab b形成结论形成结论 函数函数f(xf(x) )在点在点x x0 0附近有定义，且对附近有定义，且对x x0 0附近的所附近的所有的点，都有有的点，都有（1 1）f(xf(x) )f(xf(x

5、0 0) )，则，则f(xf(x0 0) )为函数为函数f(xf(x) )的极小值；的极小值；（2 2）f(xf(x) )f(xf(x0 0) )，则，则f(xf(x0 0) )为函数为函数f(xf(x) )的极大值；的极大值； B BA AO Ox xy yx0 x0 0形成结论形成结论5.5.下列函数图象中有多少个极值点？其中有下列函数图象中有多少个极值点？其中有几个极大点？几个极大点？O Ox xy y5 5个极值点，其中有个极值点，其中有3 3个极大值点个极大值点. . 新知探究新知探究6.6.函数的极大值都比极小值大吗？函数的极大值都比极小值大吗？不一定不一定 O Ox xy yA

6、AB B新知探究新知探究7.7.下图中，在极大值点下图中，在极大值点A A左右两侧函数的单调性左右两侧函数的单调性分别如何？分别如何？A Ay yf(xf(x) )O Ox xy yx x0 0左侧递增，右侧递减左侧递增，右侧递减. .新知探究新知探究8.8.从导数的角度分析，一般地，对于函数从导数的角度分析，一般地，对于函数f(xf(x) )，在，在什么条件下什么条件下f(xf(x0 0) )是极大值？是极大值？A Ay yf(xf(x) )O Ox xy yx x0 0在在x x0 0附近左侧附近左侧f f (x(x) )0 0，右侧右侧f f (x(x) )0 0，则，则f(xf(x0

7、0) )是极大值是极大值. . 形成结论形成结论9.9.下图中，在极小点值点下图中，在极小点值点B B左右两侧函数的单左右两侧函数的单调性分别如何？调性分别如何？B By yf(xf(x) )O Ox xy yx x0 0左侧递减，右侧递增左侧递减，右侧递增. .新知探究新知探究10.10.从导数的角度分析，一般地，对于函数从导数的角度分析，一般地，对于函数f(xf(x) )，在什么条件下在什么条件下f(xf(x0 0) )是极小值？是极小值？ B By yf(xf(x) )O Ox xy yx x0 0在在x x0 0附近左侧附近左侧f f (x(x) )0 0，右侧右侧f f (x(x)

8、)0 0，则，则f(xf(x0 0) )是极小值是极小值. . 形成结论形成结论11.11.函数函数f(xf(x) )在极值点的导数一定为在极值点的导数一定为0 0吗？导吗？导数为数为0 0的点一定是极值点吗？的点一定是极值点吗？ 可导函数在极值点的导数一定为可导函数在极值点的导数一定为0,0,导数导数为为0 0的点不一定是极值点的点不一定是极值点( (可疑点可疑点).).新知探究新知探究 探究探究2 阅读例阅读例4解题过程，总结归纳求函解题过程，总结归纳求函数极值的方法与步骤：数极值的方法与步骤：新知探究新知探究 例例4 4 求函数求函数 的极值的极值. .31( )443f xxx=-+2

9、8( )(2)3f xf=-=极大值4( )(2)3f xf= -极 小 值典型例题典型例题形成结论形成结论求函数求函数y=f(x)极值的方法是极值的方法是:解方程解方程 ,当当 时时:(1)如果在如果在x0附近的左边附近的左边 ,右边右边 ,那么那么f(x0)是极大值是极大值;(2)如果在如果在x0附近的左边附近的左边 ,右边右边 ,那么那么f(x0)是极小值是极小值.0)(xf0)(0 xf0)(0 xf0)(0 xf0)(0 xf0)(0 xf形成结论形成结论求可导函数求可导函数f(x)的极值的步骤的极值的步骤: (1)确定函数的定义域；确定函数的定义域；(2)求导数求导数 ；(3)求方

10、程求方程 的根的根;（4）用函数的导数为）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格区间，并列成表格.检查检查 在方程根左右的在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么那么f(x)在这个根处无极值在这个根处无极值.)(xf0)(xf)(xf1.1.函数的极值刻画的是函数的局部性质，它函数的极值刻画的是函数的局部性质，它只

11、能反映函数在某个局部的最大值和最小值只能反映函数在某个局部的最大值和最小值情况，且极大值与极小值之间没有必然的大情况，且极大值与极小值之间没有必然的大小关系小关系. .课堂小结课堂小结2.2.若函数的图象是一条连续不断的曲线，且若函数的图象是一条连续不断的曲线，且有多个极值点，则函数的极值点是交替出现有多个极值点，则函数的极值点是交替出现的（如正弦曲线和余弦曲线）的（如正弦曲线和余弦曲线）. .课堂小结课堂小结3.3.求函数极值的基本步骤：求函数极值的基本步骤： 求导数求导数f f (x(x)解方程解方程f f (x(x) )00判断在根附判断在根附近左右两侧近左右两侧f f (x(x) )的符号的符号作出结论作出结论. .课堂小结课堂小结P29P29练习：练习：1 1，2.2.课堂作业课堂作业 例例2 2 已知已知x x1 1和和x x2 2是函数是函数 的两个极值点，的两个极值点，求求f