《因式分解法》名师教案

1、优质资料欢迎下载2123因式分解法解一兀二次方程（王鹏鹏）一、教学目标（一） 学习目标1.理解因式分解法解一元二次方程的根据.2.会用因式分解法解简单数字系数的一元二次方程.（二） 学习重点将整理成一般形式的方程左边因式分解（三） 学习难点会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，从而降次解方程二、教学设计（一）课前设计预习任务因式分解法解一元二次方程：当一元二次方程的一边为0,另一边易于分解成两个一次因式的乘积时， 通常将一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式， 再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次，这种解法叫 因式分解 法.预习自测1 方程x2-2x=0的解

2、为（）A. xi=1，X2=2B. Xi=0，X2=1 C.Xi=0, X2=2D. xi=l，X2=22【知识点】因式分解法解一元二次方程 【数学思想】转化，降次的数学思想【解题过程】解：X2- 2X=0，X（X-2）=0,x=0，x-2=0, Xi=0, X2=2,【思路点拨】利用提公因式因式分解，最后转化为两个一元一次方程，解方程即 可.【答案】C2元二次方程x(x-2)=2-x的根是()A.1 B.2 C.1和2 D.-1和2优质资料欢迎下载【知识点】因式分解法解一元二次方程.【数学思想】转化、降次的数学思想.【解题过程】解：x(x-2)+(x-2)=0,(x-2) (x+1)=0,

3、x-2=0或x+仁0,xi=2,X2=-1.【思路点拨】先移项得到x(x-2)+(x-2)=0,然后利用提公因式因式分解， 最后转化为两个一元一次方程，解方程即可.【答案】D3.方程x2+x-12=0的两个根为()A.刘=2,X2=6 B.X1=6,X2=2C.X= 3,X2=4D.x=4,X2=3【知识点】解一元二次方程-因式分解法.【数学思想】转化、降次的数学思想.【解题过程】解：(x+4) (x-3)=0,则x+4=0,或x-3=0,解得：X1=-4,X2=3.【思路点拨】将x2+x-12分解因式成(x+4) (x-3),解x+4=0或x-3=0即可得 出结论.【答案】D4.一元二次方程

4、x2-4x=12的根是()A. X1=2,X2=-6 B. X1=-2,X2=6 C. X1=-2,X2=-6 D. X1=2,x?=6【知识点】因式分解法解一元二次方程.【数学思想】转化、降次的数学思想。【解题过程】解：整理得：x2-4x-12=0,分解因式得：(x+2) (x-6)=0,解得：X1=-2,X2=6【思路点拨】方程整理后，利用因式分解法求出解即可.【答案】B(二)课堂设计优质资料欢迎下载1.知识回顾(1) 因式分解的方法：提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号 外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法公式法：利用平方差

5、公式a2-b2=(a+b)( a-b)和完全平方公式a22ab+b2=(ab)2分解因式.十字相乘法：简单来讲就是，十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数 项，交叉相乘再相加等于一次项.其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=xK(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.(2) 解一元二次方程的方法：直接开方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方法解形如(x + mf = n(nO )的方程，其解为x = J n - m；配方法：把一元二次方程移项之后，在等号两边都加上一次项系数绝对值一半的平方(配方)，使方程一边是完全平方式，另一边是常数，当此常数是非负

6、数时， 直接开平方求解；公式法：把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式A=b2-4 ac的值,当2b2-4ac0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=-4ac(b2-4ac2a0)就可得到方程的根.2.问题探究探究一因式分解法解一元二次方程的步骤活动以旧引新1:复习：将下列各式分解因式(为新知识学习做铺垫)2(1) 5x -4x(2) x2-4x 4(3) 4x(x-1)-2 2x(4) x2-4优质资料欢迎下载(2x -1)2-x2答：2(1) 5x -4x = x 5x-42 2(2) x2-4x 4 = x-22(3) 4x(x -1) -2 2x =4x -2x -2 =

7、2 x -1 2x 12X-4 =x 2 x-22 2(5) (2x -1) -x二2x-1x 2x-1-x二3x-1 x-1【设计意图】通过复习相关知识，有利于学生熟练正确将多项式因式分解，从而有利降低本节的难度活动大胆猜想，探究新知引例：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你 是怎样求出来的？板演小颖、小明和小亮的三种解法引出分解因式的方法求一元二次方程小颖：设这个数为X，由题意得：x2=3x配方：x3x -=-,44即(x-3)2二9，2433x =，2 2解得，Xi=0, X2=3.小明：设这个数为x，由题意得：X2=3X移项，得 x2-3x =0，由求根公式

8、，得 .片=0,x2= 3.小亮：设这个数为X,由题意得：x?=3x ,移项，得 x?_ 3x = 0，分解因式，得 x(x_3) = 0 ,二x =0或x -3 = 0,优质资料欢迎下载为=0,x?=3.归纳：当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时， 我们就可以用小亮的方法求解，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.例.解方程5x2=4x.解：原方程可变形x(5x-4)=0第一步.x=0或5x-4=0.第二步4xi=0, x2=.5教师提问、板书，学生回答.分析步骤(一)第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如 果两个因式的积等于零， 那么至少有

9、一个因式等于零”.分析步骤(二)对于一 元二次方程， 一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时， 可以得到两个一元 一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解.用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法.【设计意图】 由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”， 达到了“降次” 的目的，解高次方程常用转化的思想方法.活动集思广益，归纳方法用分解因式法解方程：x-2=x(x-2)解：原方程可变形为x-2- x(x-2)=0.(x-2) (1-x)=0.x-2=0或1-x=0.Xi=2,X2=1.利用情景题引导学生归纳因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程的右边化为0.(2)

10、将方程的左边进行因式分解.(3) 令每个因式为0，得两个一元一次方程.(4)解一元一次方程，得方程式的解.【设计意图】归纳因式分解法解方程的步骤，让学生掌握因式分解法解方程的要 领.优质资料欢迎下载探究二利用因式分解法解一元二次方程.活动用因式分解法解一元二次方程例1.用因式分解法解下列方程：(x+2)2-9=0【知识点】因式分解法解一元二次方程【解题过程】分解因式，得(x+2+3) (x+2-3)=0，二x+5=0或x-1=0二xi=-5，X2=1；【思路点拨】由整体思想用平方差公式分解就可以求出结论.【答案】xi=-5，x2= 1；练习1.用因式分解法解下列方程：2(x-3)2-50=0【

11、知识点】因式分解法解一元二次方程【解题过程】分解因式，得2(x-3+5) (x-3-5)=0， x-3+5=0或x-3-5=0X1=2，X2=8.【思路点拨】由整体思想用平方差公式分解就可以求出结论.【答案】X1=-2，x2=8;例2.用因式分解法解下列方程：x2-6x+9=0【知识点】因式分解法解一元二次方程【解题过程】由公式法，得(x-3)2=0，x-3=0 - X1=X2=3【思路点拨】直接由完全平方公式求解即可【答案】XI=X2=3练习2.用因式分解法解下列方程：(x+5) (X-1)=-9.【知识点】因式分解法解一元二次方程【解题过程】变形为：X2+4X+4=0 ,优质资料欢迎下载由

12、公式法，得(x+2)2=0,x+2=0-Xi=X2=-2【思路点拨】先展开，再移项，转化为一般形式后直接由完全平方公式求解即可【答案】xi=X2=-2【设计意图】通过练习，熟悉分解因式解一元二次方程活动2适当方法解下列方程：例3.解一元二次方程x2-2x=99【知识点】因式分解法解一元二次方程【解题过程】x2-2x=99，x2-2x-99=0，(x-11) (x+9)=0，x-11=0，x+9=0，xi= 11，X2=9；【思路点拨】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可【答案】X1=11，X2=-9练习3.解一元二次方程x2+8x=-16【知识点】因式分解法解一元二次方程

13、【解题过程】x2+8x=-16，X2+8X+16=0，(x+4)2=0，X+4=0，优质资料欢迎下载x=-4,即x1=x2=-4;【思路点拨】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.【答案】X1=X2=-4例4.用因式分解法解下列方程：(2X-3)2=3(2x-3)【知识点】因式分解法解一元二次方程【解题过程】移项，得(2x-3)2-3(2x-3)=0提公因式，得(2x-3) (2x-3-3)=0， 2x-3=0或2x-6=03oxi=，X2=3;2【思路点拨】先移项，再提公因式就可以求出结论【答案】Xi=3，X2=3；2练习4解一元二次方程5x(x+2)=4x+8.【知识

14、点】因式分解法解一元二次方程【解题过程】5x(x+2)=4x+85x(x+2)-4(x+2)=0，(x+2) (5x-4)=0，x+2=0，5x-4=0，4X2=.54【答案】X1=-2，X2=.5【设计意图】选用合适方法解方程，培养学生灵活解方程的能力，进一步加强对 所学知识的理解和掌握 活动3综合应用例5.若实数x，y满足(x2+y2+2) (x2+y2-2)=0.则x2+y2的值为()A.1B.2C. 2或-1 D.-2或-1【知识点】因式分解法解一兀二次方程xi=-2,【思路点拨】移项后分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.优质资料欢迎下载【解题过程】解：（x2+y2+

15、2） （x2+y2-2）=0,二X+y2+2=0或x2+y2-2=0,2 2 2 2二x +y =-2（舍去）或x +y =2, x2+y2的值为2.【思路点拨】由（x2+y2+2）（x2+y2-2）=0,就可以得出x2+y2+2=0或x2+y2-2=0.直 接求出x2+y2的值即可.【答案】B练习5.已知方程（x2-x）2-4（x2-x）-12=0有解，则代数式x2-x+1的值为（）A.-1 B.7C.-1或7 D.以上全不正确【知识点】换元法解一元二次方程【解题过程】解：（x2-x）2-4（x2-x）-12=0,/（x2-x+2） （x2-x-6）=0,x-x+2=0或x-x-6=0, x

16、-x=-2或x2-x=6.当x2-x=-2时，2x-x+2=0,2b2-4ac=1-4X1 2=-7v0,此方程无实数解.当x2-x=6时，x2-x+1=7【思路点拨】由整体思想，用因式分解法解一元二次方程求出x2-x的值就可以求出结论.【答案】B例6.已知x2-5xy-6y2=0（y工0且x工0,则的值为（）yA.6 B.-1 C.1或-6 D. -1或6【知识点】因式分解法解一元二次方程【解题过程】解：x2-5xy- 6y2=0优质资料欢迎下载(x-6y) (x+y)=0 x- 6y=0,x+y=0 x=6y,x=-y所以-的值为6或-1.y【思路点拨】把x看作未知数，y看作常数，解出关于

17、x的一元二次方程，再进 步代入求得数值即可.【答案】D【思路点拨】把x看作未知数，y看作常数，解出关于x的一元二次方程，再进 步代入求得数值即可.【答案】-或-4.16【设计意图】让学生在巩固过程中掌握所学知识，培养应用意识和能力.3.课堂总结知识梳理因式分解法解一元二次方程的步骤是:练习6.若非零数X、y满足2x2-5xy-12y2=0，则xxy的值为y -2xy【知识点】因式分解法解一兀二次方程【解题过程】解：2x2-5xy-12y2=0，(2x+3y) (x-4y)=0,当 x =_3y 时,22x+3y=0，x-4y=0,3/x y,x=4y.23X2392x23xy(-尹)3(一尹)

18、yN产矿y2-2(|y)y荷2 2 2当x=4y时，VxX宀_3（忙（忙孝一 42 _ 2 _y -2xyy -2(4y) y -7 yx23xy2 -y -2xy的值为916或-4.优质资料欢迎下载(1) 化方程为一般形式；(2) 将方程左边因式分解；(3) 至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程；(4) 两个一元一次方程的解就是原方程的解.重难点归纳(1) 分解因式法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练掌握 分解因式的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式 等于零.”(2) 分解因式的方法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程

19、.(3) 在解一元二次方程的时候，要具体情况具体分析，选择合适的解一元二次 方程的方法.(三)课后作业基础型自主突破2 _1.方程x +X-12=0的两个根为()A.X1=2，X2=6 B.X1=-6，X2=2C.X1=-3，X2=4D.X1=-4，X2=3【知识点】因式分解法解一元二次方程【解题过程】解：X2+X-12=(X+4) (X-3)=0，则X+4=0，或X-3=0，解得：X1=-4，X2=3.【思路点拨】将X2+X-12分解因式成(X+4) (X-3)，解X+4=0 或X-3=0即可 得出结论.【答案】D2方程X2= -X的解是_ .【知识点】因式分解法解一元二次方程【解题过程】解

20、：原方程变形为：X2+X=0X(X+1)=0X=0或X=-1.【思路点拨】本题应对方程进行变形，提取公因式X,将原式化为左边是两式相 乘，右边是0的形式，再根据“两式相乘值为0,这两式中至少有一式值为0” 来解题优质资料欢迎下载【答案】0或-13.方程x(x-5)=0的根是()A.x=0 B.x=5 C.xi=0,X2=5 D.xi=0,X2=-5【知识点】因式分解法解一元二次方程【解题过程】解：方程x(x-5)=0,可得x=0或x-5=0,解得：xi=0,x2=5.【思路点拨】方程利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一 元一次方程来求解.【答案】C4方程(x-5) (x-6)

21、=x-5的解是()A.x=5 B.x=5或x=6C.x=7D. x=5或x=7【知识点】因式分解法解一元二次方程【解题过程】解：(x-5) (x-6)=x-5(x-5) (x-6)-(x-5)=0(x-5) (x-7)=0解得：xi=5,X2=7;【思路点拨】方程左右两边都含有(x-5),将其看作一个整体，然后移项，再 分解因式求解.【答案】D5.若(a2+b2) (a2+b2-2)=8，则a2+b2的值为()A.4或-2 B.4 C.-2D.-4【知识点】因式分解法解一元二次方程【解题过程】解：设a2+b2为x,可得：x(x-2)=8,解得：xi=4,X2=-2,因为a2+b2的值为非负数，

22、所以a2+b2的值为4,【思路点拨】设a2+b2为x,利用还原法解答即可，注意a2+b2的非负性优质资料欢迎下载【答案】B6._若x2-3x+2=0,则x2+ =.x【知识点】解方程、代数式的求值【解题过程】解：x2-3x+2=0,(x-1) (x-2)=0,解得：x=1或x=2,当x=1时，原式=1+1=2;当x=2时，原式=4+1=17.44【思路点拨】因式分解法求得x的值，再分别代入求解可得 【答案】1或17.4能力型师生共研7.根据图中的程序，当输入方程x2=2x的解x时，输出结果y=(A. -4 B.2 C.-4或2 D.2或-2【知识点】解一元二次方程和函数值的应用【解题过程】解：

23、x2=2x，x2-2x=0，x(x-2)=0，x=0或x=2，当x=0时，y=x-4=0-4=-4, 当x=2时，y=-x+4=-2+4=2,【思路点拨】先求出x的值，再根据程序代入求出即可.【答案】C8.三角形两边长分别是8和6,第三边长是一元二次方输T肚1丿入A-v=-i+4 H丿r*揃出优质资料欢迎下载程x2-16x+60=0一个实 数根，则该三角形的面积是()优质资料欢迎下载A.24B.48 C.24或 8、5【知识点】因式分解法解一元二次方程【数学思想】转化，分类讨论【解题过程】解：X-16x+60=0(x6) (x-10)=0,x-6=0或X-10=0,所以xi=6,X2=10,当

24、第三边长为6时，如图，在ABC中,AB=AC=6, 9n- n 9fAD=AB -BD=6 -4 =25,所以该三角形的面积=丄X8X2 = 5= 8.、5 ;2当第三边长为10时，由于62+82=102，此三角形为直角三角形,所以该三角形的面积=丄0X3=24,2即该三角形的面积为24或 85 .【思路点拨】先利用因式分解法解方程得到所以X1=6,X2=10,再分类讨论：当第三边长为6时，如图，在ABC中，AB=AC=6,BC=8,作AD丄BC,则BD=CD=4, 利用勾股定理计算出AD=2.5，接着计算三角形面积公式；当第三边长为10时, 利用勾股定理的逆定理可判断此三角形为直角三角形，然

25、后根据三角形面积公式计算三角形面积.【答案】C探究型多维突破9.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x2-12x+35=0的根，则该三角 形的周长为（）A.14B.12 C.12或14 D.以上都不对D. 8.5贝U BD=CD=4,丄BC,优质资料欢迎下载【知识点】因式分解法解一元二次方程、三角形三边关系【数学思想】分类讨论【解题过程】解：解方程x2-12x+35=0得：x=5或x=7.当x=7时，3+4=7,不能组成三角形；当x=5时，3+45,三边能够组成三角形.该三角形的周长为3+4+5=12，故选B.【思路点拨】 易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，排除不合题意的 边，进而

26、求得三角形周长即可.【答案】B10.现定义运算 ”，对于任意实数a、b，都有ab=a2-3a+b，如：35=32-3X3+5，若x*2=6,则实数x的值是（）A.-4或-1 B.4或-1C.4或-2D.-4或2【知识点】新定义、因式分解法解一元二次方程【解题过程】解：依题意，原方程化为x2-3x+2=6，即x2-3x-4=0，分解因式，得（x+1） （x-4）=0，解得X1=-1，X2=4【思路点拨】根据新定义b=a2-3a+b，将方程x*2=6转化为一元二次方程求解【答案】B自助餐1._若（x2+y2）2-5（x+y2）-6=0，则x2+y2=_.【知识点】换元法解一元二次方程【数学思想】转

27、化、整体思想【解题过程】解：设x2+y2=t（t0.贝Ut2-5t-6=0，即（t-6） （t+1）=0，解得，t=6或t=-1（不合题意，舍去）；故x2+y2=6.优质资料欢迎下载【思路点拨】设x2+y2=t.则原方程转化为关于t的一元二次方程t2-5t-6=0， 即（t-6）（t+1）=0，然后解关于t的方程即可.【答案】62.若（x2+y2） （x2+y2-1）=12，则x2+y2=_【知识点】换元法解一元二次方程【数学思想】转化、整体思想【解题过程】解：设t=x2+y2(t0,则原方程可化为：t(t-1)-12=0,即t2-t-12=0,(t-4) (t+3)=0, t=4,或t=-3(不合题意，舍去)， #+y2=4.【思路点拨】先设x2+y2=t，贝昉程即可变形为t2-t-12=0,解方程即可求得t即x2+y2的值.【答案】43.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a,b)进入其中，会得到一个新的实数a2-2b+3,若将实数对(x,-2x)放入其中，得到一个新数为8,则x=_ .【知识点】因式分解法解一元二次方程【数学思想】转化思想【解题过程】解：根据题意得x2-2(-2x)+3=8,整理得x2+4x-5=0,(x+5) (x1)=0,所以X1=-5,x2=1.故答案为-5或1.【思路点拨】根据新定