2011年高考数学真题——江苏卷（教师版含解析）有附加题

1、营丘书社·淘宝店（）2011年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学试题参考公式：（1）样本数据的方差,其中（2）直柱体的侧面积，其中为底面周长，是高（3）柱体的体积公式，其中为底面面积，是高I卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。1、已知集合 则【答案】-1,2【解析】由交集的定义知AB-1,1,2,4-1,0,2-1,2.【失分警示】把“”，“”意义混淆，导致求解结果错误.【评析】本题主要考查“”的含义的理解及运算能力，正确识读“”符号的含义是解答本题的关键，属容易题.2、函数的单调增区间是_【答案】【解析】要使有意义，则2x

2、+1>0，即x>-，而y为(0，+)上的增函数，当x>-时，u2x+1也为R上的增函数，故原函数的单调增区间是.【失分警示】忽视2x+1>0这一约束条件是失分的主要原因.【评析】本题主要考查复合函数单调性的判断方法及定义域的求解，考查学生逻辑推理及运算求解能力，属中等难度试题.3、设复数i满足（i是虚数单位），则的实部是_【答案】1【解析】解法一：i(z+1)-3+2i，z-1-(-3i-2)-11+3i，故z的实部是1.解法二：令za+bi(a，bR)，由i(z+1)-3+2i得i(a+1)+bi-3+2i，-b+(a+1)i-3+2i，b3，a1，故z的实部是1.【

3、失分警示】误区一：误认为i21；误区二：忽视复数相等的条件，运算失误导致求解结果错误.【评析】本题考查复数的有关概念及运算，将复数问题实数化是解决此类问题的关键，属容易题.Read a，bIf a>b Then maElse mbEnd IfPrint m 4、根据如图所示的伪代码，当输入分别为2，3时，最后输出的m的值是_【答案】3【解析】由已知可知，m为a，b中的最大值，故最后输出的m值为3.【失分警示】读不懂程序语句，导致求解结果错误.【评析】本题主要考查程序语句，对程序中条件语句的正确理解是解答本题的关键，属容易题.5、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另

4、一个的两倍的概率是_【答案】【解析】从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数的种数为6(种)，其中一个数是另一个数的两倍的数对为1,2和2,4.故符合条件的概率为.【失分警示】把误认为是导致本题失分的主要原因.【评析】本题主要考查组合知识和古典概型，考查学生逻辑能力和分析问题、解决问题的能力，属容易题.6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差【答案】【解析】记星期一到星期五收到的信件数分别为x1，x2，x3，x4，x5，则s2(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+(x4-)2+(x5-)2(10-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(5-7)2+

5、(6-7)2.【失分警示】误区一：求解错误.误区二：方差公式记忆错误导致s2求解结果错误.【评析】本题主要考查方差的公式，考查学生的运算求解能力.公式记忆准确，运算无误是解答本题的关键，属中等难度试题.7、已知 则的值为_【答案】解析：【失分警示】两角和或差的正切公式记忆错误是学生丢分的主要原因.【评析】本题主要考查两角和或差的正切公式的应用，考查学生的运算求解能力，本题中由tan2正确求得tanx是解答本题的关键，属中等难度试题.8、在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_解析：4，设交点为，则【失分警示】误区一：将线段PQ的长误认为是|P

6、Q|2.误区二：将|OP|最小值误认为是所求线段PQ长的最小值.【评析】本题考查两点间距离公式及均值定理等相关知识，考查学生分析问题、解决问题的能力，将最值问题转化为均值定理来求解是解答本题的关键，属中等难度试题.9、函数是常数，的部分图象如图所示，则【答案】【解析】由图可知A，T.又T，2.根据函数图象的对应关系得2×+k(kZ)，k-(kZ).取，则f(x)sin，f(0)sin.【失分警示】误区一：误将作为函数的周期，导致求出错.误区二：不能根据题意正确求得的值，进而导致函数解析式求错，从而求错f(0)的值.【评析】本题主要考查yAsin(x+)的图象与性质以及三角函数周期公式

7、T (>0)的求法，属理解层次，由图象准确确定的值是解答本题的关键.10、已知是夹角为的两个单位向量， 若，则k的值为【答案】【解析】由题意即有(-2)·(k+)0，k+(1-2k) ·-20.又|1，k-2+(1-2k)·cos0，k-2，k.【失分警示】误区一：向量内积的定义理解不到位；误区二：运算失误，例如将cos误认为是导致求解结果错误.【评析】本题主要考查向量内积的运算，考查学生的运算求解能力.属中等难度试题.11、已知实数，函数，若，则a的值为_【答案】-【解析】分类讨论：(1)当a>0时，1-a<1,1+a>1.这时f(1-a

8、)2(1-a)+a2-a；f(1+a)-(1+a)-2a-1-3a.由f(1-a)f(1+a)得2-a-1-3a，解得a-，不符合题意，舍去.(2)当a<0时，1-a>1,1+a<1，这时f(1-a)-(1-a)-2a-1-a；f(1+a)2(1+a)+a2+3a，由f(1-a)f(1+a)得-1-a2+3a，解得a-.综合(1)，(2)知a的值为-【失分警示】由f(1-a)f(1+a)，误认为函数f(x)的周期为1，导致求解结果错误.【评析】本题主要考查分段函数的相关知识，能根据题目要求对a进行分类讨论是解答此题的关键，属中等难度试题.12、在平面直角坐标系中，已知点P是函

9、数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_【答案】+解析：设则，过点P作的垂线，所以，t在上单调增，在单调减，。【失分警示】误区一：导数的几何意义掌握不到位，不能求出yM，yN.误区二：求得函数关系tg(x0)后，不能利用导数求t的最值.【评析】本题考查导数的几何意义、直线方程、导数的应用等相关知识，知识点较多，难度偏大，考查学生的运算求解能力、分析问题解决问题的综合能力.13、设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是_解析：由题意：，而的最小值分别为1，2，3；。【失分警示】不理解题意

10、，无法获得相应的不等关系是学生失分的主要原因.【评析】本题主要考查等差、等比数列的通项公式，考查学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力，属中等难度试题.14、设集合, , 若 则实数m的取值范围是_解析：当时，集合A是以（2，0）为圆心，以为半径的圆，集合B是在两条平行线之间， ，因为此时无解；当时，集合A是以（2，0）为圆心，以和为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有 .又因为【失分警示】读不懂题意，分析不彻底是解答本题失分的主要原因.【评析】本题主要考查圆与直线的位置关系，考查学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.能根据圆心与直线的位置关系分类讨论是解答本题的关键，本题

11、属较难题目.二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15、（本小题满分14分）在ABC中，角A、B、C所对应的边为（1）若 求A的值；（2）若，求的值.【解析】()由题设知sin Acos+cos Asin2cos A.从而sin Acos A，所以cos A0，tan A.因为0<A<，所以A.()由cos A，b3c及a2b2+c2-2bccos A，得a2b2-c2.故ABC是直角三角形，且B.所以sin Ccos A.【失分警示】由余弦定理及b3c，求得a2c后，方向不明确，思维受阻.事实上有两个方向均可，一

12、是注意到a2+c29c2(3c)2b2，出现直角三角形，二是利用正弦定理，并由a2c>c，直接求解.当然方法二要注意到a>c，角C不可能是钝角，不需要分类讨论.【评析】本题考查同角三角函数的关系，两角和公式，正弦定理，余弦定理，对运算能力有较高要求，对解题程序设计能力考查较为深入，不同的思路运算量差别较大.16、（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF平面PCD；（2）平面BEF平面PAD【解析】()在PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EFPD.又因为EF平面P

13、CD，PD平面PCD，所以直线EF平面PCD.()连结BD.因为ABAD，BAD60°，所以ABD为正三角形.因为F是AD的中点，所以BFAD.因为平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面PAD.又因为BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD.【失分警示】证明过程中关键步骤省略或遗漏常导致无谓失分，此外学生对如何证面与面垂直认识模糊、思路不清也是失分的原因之一.【评析】本题考查直线与平面、平面与平面的位置关系的判定、性质，对考生的文字或符号表达能力、空间想象能力、推理论证能力均有较高要求，难度中等偏难.17、请你设计一个包装盒.如图所示，AB

14、CD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AEFBx(cm).()某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？()某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【解析】设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm).由已知得ax，h (30-x)，0<x<30.()S4ah8x(30-x)-8(x-15)2+1 800，所以当x1

15、5时，S取得最大值.()Va2h2(-x3+30x2)，V6x(20-x).由V0得x0(舍)或x20.当x(0,20)时，V>0；当x(20,30)时，V<0.所以当x20时，V取得极大值，也是最大值.此时.即包装盒的高与底面边长的比值为.【失分警示】应用问题的难点是建立适当的数学模型.对变量取值范围的限制不准确常常导致失分.对实际问题求最值时，也易犯经验主义错误，想当然地认为正方体时取最值.【评析】本题考查函数的概念、导数求法等基础知识，考查数学建模能力、空间想象能力、数学阅读能力、运算能力及解决实际问题的能力等，要求高，难度较大，易错点颇多.18、（本小题满分16分）如图，在

16、平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k>0，求证：PAPB 解析：（1）M(-2,0),N(0,),M、N的中点坐标为(-1,),所以（2）由得，AC方程：即：所以点P到直线AB的距离（3）法一：由题意设，A、C、B三点共线，又因为点P、B在椭圆上，两式相减得：法二：设,A、C、B三点共线，又因为点A、B在椭圆上,两式相减得：,【失分警示】第()小问常见错

17、误是联解直线AP与直线MN的方程组.求出交点坐标(用k表示)，再由中点坐标公式构建关于k的方程求k.运算复杂，步骤较多，易造成计算错误或耗时失分.处理第()小问思维受阻后，如果利用第()小问的结论通过面积法求点P到直线AB的距离，事实上并不太容易，需要联解方程组,当然利用kPB-可较快求出B点坐标.【评析】本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，是解析几何的经典题型.对考生的运算能力有较高的要求，对考生的心理素质的要求也较高，属难题.19、（本小题满分16分）已知a，b是实数，函数 和是的导函数，若在区间I上恒成立，则称和在区间I上单调性一致（

18、1）设，若函数和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围；（2）设且，若函数和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值。【解析】f (x)3x2+a，g(x)2x+b.()由题意知f (x)g(x)0在-1，+)上恒成立.因为a>0，故3x2+a>0，进而2x+b0，即b-2x在区间-1，+)上恒成立，所以b2.因此b的取值范围是2，+).()令f (x)0，解得x±.若b>0，由a<0得0(a，b).又因为f (0)g(0)ab<0，所以函数f(x)和g(x)在(a，b)上不是单调性一致的.因此b0.现设b0.当x(-，0)时，g(x)

19、<0；当x时， f (x)>0.因此，当x时， f (x)g(x)<0.故由题设得a-且b-，从而-a<0，于是-b0.因此|a-b|，且当a-，b0时等号成立.又当a-，b0时，f (x)g(x)6x，从而当x时f (x)g (x)>0，故函数f(x)和g(x)在上单调性一致.因此|a-b|的最大值为.【失分警示】当a<0时，由于f (x)的符号不确定，容易误认为先对a进行分类讨论，其次再对b进行分类讨论时，分类标准难以确定，导致分类混乱，也是常见的失分原因.【评析】本题考查函数的概念、性质及导数等基础知识，对数形结合思想、函数与方程思想均有考查，对分类讨

20、论思想的考查要求很高，要求考生具备较强的综合思维能力和运算能力，属难题.20、（本小题满分16分）设M为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数k属于M，当n>k时，都成立。（1）设M=1，求的值；（2）设M=3，4，求数列的通项公式。解析：（1）即：所以，n>1时，成等差，而，（2）由题意：，当时，由（1）（2）得：由（3）（4）得： 由（1）（3）得：由（2）（4）得：由（7）（8）知：成等差，成等差；设公差分别为：由（5）（6）得：由（9）（10）得：成等差，设公差为d,在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：【失分警示】使用Sn与an之间的关系式时，易忽

21、略n2的条件.此外，对题意的理解困难导致思维受阻也是本题的失分之处.【评析】本题考查数列的概念，数列的通项与前n项和之间的关系，以及等差数列、等比数列的基础知识，对考生的分析探究能力、运算能力、逻辑推理能力均有较高要求.数学II（附加题）21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答， 若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A 选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分） 如图，圆与圆内切于点，其半径分别为与，圆的弦交圆于点（不在上），求证：为定值。【解析】证明：连结AO1，并延长分别交两圆于点E和点D.连结BD，CE.

22、因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上.故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径.从而ABDACE.所以BDCE，于是.所以ABAC为定值.【失分警示】两圆内切时，连心线过切点是这类问题的隐含的重要结论，容易忽视导致思路不畅.【评析】本题考查两圆内切的性质，直径所对的圆周角为直角，三角形相似等基础知识，要作的辅助线虽多但为常规辅助线，难度不大.B 选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵，向量，求向量，使得设，由得：，【失分警示】矩阵运算法则不熟悉或计算能力不足是失分点.【评析】本题考查矩阵运算法则等基础知识，对运算能力有一定的要求，属中等难度题.C选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，求过椭圆（为参数）的右焦点且与直线（为参数）平行的直线的普通方程。解析：椭圆的普通方程为右焦点为（4，0），直线（为参数）的普通方程为，斜率为：；所求直线方程为：【失分警示】把不等式变形为|2x-1|<3-x之后，易直接两边平方，导致扩大范围；分类讨论时，易遗漏等于0的情况.【评析】本题考查含绝对值不等式的基础知识与去绝对值的方法，对运算能力有一定的要求，考查了分类讨论的思想方法.D选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）解不等式：解析：原不等式等价于：，解集为【失分警示】把不等式变形为|2x-1|<3-x之后，易直接两边平方，