《数字信号处理》第三版课后答案

1、西安电子(高西全丁美玉第三版)数字信号处理课后答案1.2教材第一章习题解答1 .用单位脉冲序列(n)及其加权和表示 题1图所示的序列。解：x(n) (n 4) 2 (n 2) (n 1) 2 (n) (n 1) 2 (n 2) 4 (n 3) 0.5 (n 4) 2 (n 6)2n 5, 4 n 12 .给定信号：x(n) 6,0 n 40,其它(1)画出x(n)序列的波形，标上各序列的值；(2)试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；(3)令 xjn) 2x(n 2),试画出 x(n)波形；(4)令 x?(n) 2x(n 2)，试画出 x2(n)波形；(5)令 x3(n) 2x(2

2、n)，试画出 x3(n)波形。解：(1) x(n)的波形如 题2解图(一)所示。(2)x(n) 3 (n 4) (n 3) (n 2) 3 (n 1) 6 (n) 6 (n 1) 6 (n 2) 6 (n 3) 6 (n 4)(3) x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2,画出图形如 题2解图(二)所示。(4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2,画出图形如 题2解图(三)所示。(5)画x3(n)时，先画x(-n)的波形,然后再右移 2位，x3(n)波形如题2解图(四)所y(n) x2(n)示。3 .判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。3(1) x(

3、n) Acos(- n ), A 是常数; x(n) ej(8n )解:/、3214(1) w -, 一，这是有理数，因此是周期序列，周期是 T=14;7 w 3一 1 2、一 一 w -, 16 ,这是无理数，因此是非周期序列。8 w5 .设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。(1) y(n) x(n) 2x(n 1) 3x(n 2)；(3)y(n) x(n n0) , no为整常数；2 y(n) x (n)；n y(n) x(m)。 m 0解：(1)令：输入为x(n no),输出为'y(n) x(n n0) 2x(n

4、n0 1) 3x(n no 2)'y(n no) x(n n0) 2x(n n0 1) 3x(n n0 2) y(n)故该系统是时不变系统。y(n) Tax(n) bxz(n)ax1(n) bx2(n) 2(ax1(n 1) bx2(n 1) 3(ax1(n 2) bx2(n 2)Tax1(n)ax1 (n)2axi(n1)3axi (n2)Tbx2(n)bx2(n)2bx2(n1)3bx2(n2)Tax(n) bx2(n) aTx1(n) bTx2(n)故该系统是线性系统。(3)这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。 '令输入为x(n n1)，输出为y (

5、n) x(n n1 n0),因为'y(n n) x(n n no) y (n)故延时器是一个时不变系统。又因为Tax1(n) bx2(n) ax1 (n n0) bx2(n n0) aTx1(n) bTx2(n)故延时器是线性系统。',、2 ,、.令：输入为x(n no),输出为y(n) x (n n°),因为/、2 /、'/ 、y(n no) x (n no) y (n)故系统是时不变系统。又因为 2 Tax1(n) bx2(n) (ax1 (n) bx2(n)aTXi(n) bTx2(n) 2, 、，2,、ax1 (n) bx2(n)因此系统是非线性系统。

6、 n y(n) x(m)m 0 n A，人、.'一、，令：输入为x(n no),输出为y (n) x(m n0),因为 m 0 n no 、' ,、y(n no)x(m) y(n)m o故该系统是时变系统。又因为nTax1 (n) bx2(n)(ax1(m) bx2(m) aTx1(n) bTx2(n)m o故系统是线性系统。6 .给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。1 N 1(1) y(n) x(n k); N k o n no(3) y(n) x(k);k n no y(n) ex(n)。解：(1)只要N 1,该系统就是因果系统，因为输出只与

7、n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果x(n) M ,则y(n) M ,因此系统是稳定系统。n no(3)如果x(n) M , y(n) x(k)2no 1 M ,因此系统是稳定的。系统是非因k n no果的，因为输出还和 x(n)的将来值有关.(5)系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果 x(n) M ,则y(n)ex(n)BxeM，因此系统是稳定的。7.设线性时不变系统白单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示，要求画出输出输出y(n)的波形。解：解法(1):采用图解法y(n) x(n) h(n) x(m)h(n m)m 0图解法的过程如题7解图所示。解法(2

8、):采用解析法。按照 题7图写出x(n)和h(n)的表达式：x(n) (n 2) (n 1) 2 (n 3)1h(n) 2 (n) (n 1) (n 2)2因为x(n)* (n) x(n)x(n)* A (n k) Ax(n k)1所以y(n) x(n)*2 (n) (n 1) - (n 2) 212x(n) x(n 1) x(n 2)2将x(n)的表达式代入上式，得到y(n) 2 (n 2) (n 1) 0.5 (n) 2 (n 1) (n 2)4.5 (n 3) 2 (n 4) (n 5)分别求出输出8.设线性时不变系统白单位取样响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况,y(n)。(1

9、) h(n) R4(n),x(n) Rs(n)；(2) h(n) 2R(n),x(n)(n) (n 2)；(3) h(n) 0.5nu(n), xn R5(n)。解：(1)y(n) x(n)* h(n)R4(m)R5(n m)m先确定求和域，由 R4(m)和R5(n m)确定对于m的非零区间如下：0 m 3,n 4 m n根据非零区间，将 n分成四种情况求解:0,y(n) 0n 3, y(n)n 7, y(n)n, y(n) 0最后结果为0,0, ny(n)1,n,y(n)的波形如题8解图(一)所示。y(n) 2R(n)* 2 (n)(n)(n 1)(n2)(n 4)2R4(n) 2R(n 2

10、) (n 5)y(n)的波形如(3)题8解图(二)所示.y(n) x(n)* h(n)y(n)对于m的非零区间为R5(m)0.5n mu(nm)0.5nmR5(m)0.5 mu(n m)0 m 4,m0,y(n) 0n 4, y(n) 0.5n0.5m 00.5 n1 0.5 1n0.5n 1 nn(1 0.5)0.52 0.5n, y(n) 0.5n0.500.5 5 n 0,1 0.5310.5n0.5最后写成统一表达式:y(n)(20.5n)R5(n) 31 0.5nu(n 5)1)；11.设系统由下面差分方程描述： ,、11 ,y(n) 2 y(n 1) x(n) 2x(n设系统是因果

11、的，利用递推法求系统的单位取样响应。解：令：x(n) (n)11h(n) -h(n 1)(n) , (n 1)11n 0,h(0) h( 1)(0) - ( 1) 111n 1,h(1) -h(0)(1)万(0) 111n 2,h(2)万八-11 2n 3,h(3) h(2) g)2归纳起来，结果为1 n 1h(n) (-)n1u(n 1)(n)12.有一连续信号 xa (t) cos(2 ft，式中，f 20Hz,-(1)求出Xa(t)的周期。(2)用采样间隔T0.02s对Xa(t)进行采样，试写出采样信号Xa(t)的表达式。(3)画出对应Xa(t)的时域离散信号(序列)x(n)的波形，并求

12、出x(n)的周期。弟早教材第二章习题解答1 .设X(ejw)和Y(ejw)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换:(1) x(n n°)；(2) x( n)；(3) x(n)y(n)；(4) x(2n)。解：(1) FTx(n n。)x( n n°)ejwn令 n n no,n n n0 ,则FTx(n n。) njwn * *(2) FTx(n) x (n)e nn(3) FT x( n) x( n)e jwn n令n n ,则FTx( n)(4) FTx(n)*证明：x(n)* y(n)FTx(n)* y(n)令k=n-m ,则FTx(n)* y

13、(n)jw 1, ww。2.已知 X(ejw)0, w0 w求X (ejw)的傅里叶反变换 x(n)。解：x(n)'.、.一x(n)e jw(n n0)e jwn0X(ejw)x(n)ejwn*X*(e jw) 一' jwnx(n )e X (e jw) ' ny(n) X(ejw)Y(ejw)x(m) y(n m) m x(m)y(n m)e jwn n mx(m) y(k)e jwke jwn k mjwkjwny(k)e x(m)ekmX(ejw)Y(ejw)w。 jwn .sinw°ne dw 2w。n3.线性时不变系统的频率响应为实序列，试证明输入

14、x(n) Acos(w0n)的稳态响应为(传输函数)H (ejw)H (ejw) ej (w),如果单位脉冲响应 h(n)y(n) A H (ejw) cosw0n(w0)。解：假设输入信号x(n) ejw0n,系统单位脉冲相应为h(n),系统输出为jWo ny(n) h(n)* x(n)h(m)ejw0(n m)ejw0nh(m)e jw0m H (ejw0)emm上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。x(n) Acos(won) 1 Aejw0neje jw0ne j 21 j _jwonjwoj _ jw

15、onjwoy(n) Ae e H (e ) e e H (e )21 Arj-jwon|_i /_jwo _j (wo)- j - jwon 11 jw。'- j( wo)iAeeH (e ) ee e H(e )e 2上式中H (ejw)是w的偶函数，相位函数是 w的奇函数，H(ejw)H(ejw), (w)(他y(n) 1AH (ejwo)ej ejwonej (wo) e j e jwone j (wo)A H (ejwo) cos(won(wo)1,n o,1 , 一 一 一，一4.设x(n) ,将x(n)以4为周期进行周期延拓，形成周期序列x(n),回出x(n)和o,其它x(

16、n)的波形，求出x(n)的离散傅里叶级数X(k)和傅里叶变换。解:画出x(n)和x(n)的波形如 题4解图所示。X(k) DFSx(n)3x(n)en o2j kn4j-kn2j2ke?j k (e4j k4 ) 2cos(-k)?eX(k)以4为周期，或者1.jknX(k) e 2n oj- k1 e 211j- k j- k e 2 (e2j1 k j1 k e 4 (e41 ej，.1j4.1 .sin k_2_.1 .sin- k4X(k)以4为周期i22X(ej) FTx Tk X(k)(w 彳k)-X(k) (w -k)2 k2j-4kcos( k)e 4 (w k)k 425.设

17、如图所示的序列 x(n)的FT用X(ejw)表示，不直接求出X(ejw),完成下列运算:(1)X(ej°);(2)X(ejw)dw;2X(ejw) dw解：7(1) X(ej0)x(n) 6n 3(2) X(ejw)dw x(0)?24一i、“ 225 5)X(ejw) dw 2 x(n) 28n 36 .试求如下序列的傅里叶变换：,、11 x2(n) 2 (n 1)(n) 2 (n 1)；(3) x3(n) anu(n),0 a 1解：(2)jwjwn 1 jw1X2(e )x2(n)ee 1 en221 - (ejw e jw) 1 cosw 2(3)X3(ejw)njwna u

18、(n)en jwn a ejw1 ae7.设：(1) x(n)是实偶函数,x(n) 的傅里叶变换性质。2) x(n) 是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下， 解：令 X (ejw)x(n)e jwnn(1) x(n)是实、偶函数，X(ejw)x(n)e jwnn两边取共轭，得到* jwjwnj ( w )njwX (e ) x(n)e x(n)e X(e )nn因此 X (ejw ) X * (e jw )上式说明x(n)是实序列，X (ejw)具有共轲对称性质。X (ejw)x(n)e jwn x( n)cos wn j sin wnnn由于x(n)是偶函数，x(n)sinwn是奇函数，那

19、么x (n)sin wn0n因此 X (ejw ) x( n) cos wnn该式说明X(ejw) 是实函数，且是w 的偶函数。总结以上x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换X(ejw)是实、偶函数。(2) x(n)是实、奇函数。上面已推出，由于x(n)是实序列，X(ejw)具有共轲对称性质，即X (ejw) X* (e jw )X (ejw)x(n)e jwn x( n)cos wn j sin wnnn由于x(n)是奇函数，上式中 x(n)coswn是奇函数，那么x(n)coswn 0nx( n)sin wn因此 X (ejw ) j这说明X(ejw)是纯虚数，且是 w的奇函数。10.若

20、序列h(n)是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：HR(ejw) 1 cosw求序列h(n)及其傅里叶变换 H (ejw)。解:HR(ejw)1cosw1 .1ejw2FThe(n)he(n)e jwnnhe(n)1一,n21,n1一，n20,nh(n)he(n), n 02he(n),n 01,n1,n0,其它nH(ejw)h(n)e jwnn1 e jw 2ejw/2w cos212.设系统的单位取样响应h(n)anu(n),0a 1输入序列为x(n) (n) 2 (n 2),完成下面各题:(1)求出系统输出序列 y(n);(2)分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。解：(1

21、)(2)13.已知 xa(t)y(n)X(ejw)H(ejw)Y(ejw)h(n)* x(n) anu(n)*anu(n) 2an 2u(n(n) 2 (nnnjwna u(n)enH(ejw)X(ejw)(n) 2(n2)2)2)e jwn 1n jwn a e02e j2wjw1 ae2cos(2 f°t),式中f0 100Hz,以采样频率2e j2w1_jw aefs 400 Hz对xa(t)进行采样，得到采样信号 xa(t)和时域离散信号x(n),试完成下面各题:(1)写出Xa(t)的傅里叶变换表示式Xa(j )；(2)写出xa和x(n)的表达式;(3)分别求出xa(t)的傅

22、里叶变换和 x(n)序列的傅里叶变换。解：(1)Xa(j )xa(t)e j tdt2cos( 0t)e j tdtj 0t c j 0tj t(e e )e dt上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数 函数，它的傅里叶变换可以 表不成：Xa(j ) 2 (0)(0)(2)将xa(t) (t nT)2cos( °nT) (t nT)nnx(n) 2cos( 0nT),n(3)兄(j0 2 f0 200 rad ,T2.5msTkXa(jjk s)s)0 ks)式中 s 2 fs 800 rad / sX(ejw)nx(n)e jwn2cos( 0nT)e jwn2cos(w0

23、n)e jwnnw0n e jw0ne jwn 2 (w w0 2k )k(w w0 2k )式中 w00T0.5 rad上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在,只有引入奇异函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。14.求以下序列的Z变换及收敛域:2 nu( n 1)；(3)nu( n)；(6)nu(n) u(n 10)解：(2)ZT2 nu(n)2 nu(n)z n12 1z 1(3)ZT 2 n u( n1)nu(1)z2nzn(6)ZT216.已知:2z1 2znu(n) u(n10)92 nzn 02 10z2Tz10-,0X(z)21 2z 1求出对应X(z)的各种可能的序列

24、的表达式。解：有两个极点，因为收敛域总是以极点为界, 三种收敛域对应三种不同的原序列。因此收敛域有以下三种情况:(1)当收敛域z0.5 时,x(n)口 X(Z)zn 1dz cF(z) X(z)zn1(15 7z 11-1 z0.5z )(1 2z )5z 7(z 0.5)(z 2)0 ,因为c内无极点，1, C内有极点 0,x(n)=0 ;但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数,圆外极点有Zi0.5, z22 ,那么x(n)ResF(z),0.5 ResF(z),22(z (z 0.5)(z 2)0.5) z 0.5t(z (z 0.5)(z 2)2) z2(2)当收敛域0.5 z 2时

25、,F(z)(5z 7)zn(z 0.5)(z 2)n 0 , C内有极点个，即2,0.5;x(n) ResF(z),0.5 3(1)n0.5, 0,但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数,c外极点只有x(n) ResF(z),222nu( n 1)最后得到x(n)3*(：)nu(n) 2*2nu( n 1)(3)当收敛域2 z时,F(z)(5z 7)zn(z 0.5)(z 2)3*(1)n 2*2nn 0, C内有极点0.5, 2；x(n) ResF(z),0.5 ResF(z),2n<0,由收敛域判断，这是一个因果序列，因此 x(n)=0。或者这样分析，C内有极点0.5, 2, 0,但

26、0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外 无极点，所以x(n)=0。最后得到x(n) 3*(1)n 22nu(n)17.已知 x(n) anu(n),0a 1 ,分别求:(1) x(n)的Z变换；(2) nx(n)的 Z 变换；(3) a nu( n) 的 z 变换。解:(1)X(z) ZTanu(n)nanu(n)z n11, z1 az(2)ZTnx(n) z：x1azV2(1 az )(3)ZTa nu( n) a nz n 018.已知X(z) 3z一22 5z 1 2z 2(1)收敛域0.5 z2对应的原序列x(n)；(2)收敛域z 2对应的原序列x(n)。解:1_n 1x(n):

27、/X(z)z dz2 j c(1)F(z)X(z)zn13z 1 n11z2 5z 1 2z 23?zn2(z 0.5)(z 2)当收敛域0.52时,n 0, c内有极点0.5c内有极点0.5,0，但最后得到(2 (当收敛域Zx(n) ResF(z),0.5 0.5n个n阶极点，改求c外极点留数x(n) ResF(z),22时,n0, c内有极点0.5,2,2 n,n 0,c外极点只有2,2n,x(n) 2 nu(n) 2nu( n 1) 2x(n) ResF(z),0.5 ResF(z),20.5nn3?z2(z 0.5)(z 2)0.5n2n(z 2)n 0, c内有极点0.5,2,0,但

28、极点0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，可是c外没有极点，因此x(n) 0,最后得到x(n)(0.5n 2n)u(n)25.已知网络的输入和单位脉冲响应分别为试:(1)(2)解:(1)x(n)用卷积法求网络输出用ZT法求网络输出用卷积法求y(n)y(n)anu(n), h(n)bnu(n),0a 1,0 by(n)；y(n)。h(n)x(n)bmu(m)anmu(n m)n 0,ny(n)mm. mbn n amn 1 n 1ba 1bn 0, y(n) 0最后得到bn 1y(n) Tu(n)(2)用ZT法求y(n)1X(z) K、1,H(z) MTY(z)X(z)H(z)11 az1 1b

29、z 1y(n)_n 1一、,Y(z)z dz j c令 F(z) Y(z)zn11 az 1 1bz 1(z a)(z b)n 0,c内有极点a,by(n) ResF(z), an 1 a ResF(z),b- a bbn 1b a因为系统是因果系统，n 0,y(n) 0 ,最后得到n 1 n 1/、a b /、y(n)-u(n)a b28.若序列h(n)是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式:jw、1 acoswHR(e ) 1 a? 2acosw,a 1求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejw)。HR(ejw)1 acosw1 a2 2a cos w解:1 0.5a(ejw ejw)1 a2

30、a(ejw e jw)Hr(z)1 0.5a(z z 1)1 0.5a(ejw ejw)1 a2 a(zz1)(1az 1)(1 az)求上式IZT,得到序列h(n)的共轲对称序列he。CcHR(z)1dz_n 1F(z) Hr(z)z0.5az2 z a(z a)(z0.5aa 1)1 he(n)2收敛域取:因为h(n)是因果序列，he(n)必定是双边序列,n 1时，c内有极点a ,he(n) ResF(z),a0.5az2z 0.5a na(za)(z a 1)(za)n=0时，c内有极点a ,0,F(z)HR(z)zn10.5az20.5a1a(z a)(z a )所以he(n)ResF

31、(z),a ResF(z),0 1又因为he(n) he( n)所以he(n)1,n 0 0.5an,n 0.5a n,n1,nna , n0, n0anu(n)0he(n), nh(n)2he(n), n0,n 0H(ejw)njwnjw1 ae3.2 教材第三章习题解答1.计算以下诸序列的 N点DFT,在变换区间0 n N 1内，序列定义为(2)x(n)(n)；(4)x(n)Rm(n)Q m N ；(6)x(n)cos(2-nm),0 mN;(8)x(n)sin(w°n)? R (n)；(10) x(n)nRN(n)o解:(2)X(k)N 1(n)WNknn 0(n)1,k0,1

32、, ,N 1(4)X(k)N 1WNkn n 01WN；jk(mNi)sin(- mk),k 0,1, ,Nsin(N m)k)nN 1 j (m k)n1 e N 12n 022j (m k)N1 1 e N 12j (m k)1 e N2j (mNk)N2j (m k)1 e N1l,km且 k NN0,k m或 kNN 12(6) X(k) cos mn noNN ?wNkn1 jLmn 1(e N222j mnjknN )e N(8)解法1直接计算X8(n)sin(won)Rn (n)12jjwon eRN(n)所以N 1X8(k)x(n)W；n解法2 因为1 N 127n o(WQ2

33、jn-jw°n e-jwon ej 2_knNj (Wq2j 1 ejWoNe-2-7-j(wok)NjwoN1 e2"T?j(wok)e N由DFT的共轲对称性求解jwo nx7(n)e Rn(n)cos(w0n)j sin(won) Rn (n)X8(n) sin(w°n)RN (n)ImX7(n)DFT jx8(n) DFT j Im x7(n)X7o(k)1X8(k)jX70(k) jX7(k) X7(N k)jw0 Njw0 N11 e 01 e 02 jj(wo 7 k)j(wo (N k)j 1 e N 1 e N2j1 ejwoN2-T?j (wo

34、k)1 e N(11ejwoN2-T j (wok)e N结果与解法1所得结果相同。此题验证了共轲对称性。(10)解法1NX(k)n1 knnWNk0,1,o上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。因为x(n) nRN(n)所以x(n) x(n 1)n?RnS) N(n) RN(n)等式两边进行DFT得到X(k) X(k)W； N N (k)X(k)N (k) 11 wkk 1,2 ,N 1N(N 1)2X(k)k 0_N1WNk,k1.2当k 0时，可直接计算得出 X(0)N 1N 1X(0)nW：nn 0n 0这样，X (k)可写成如下形式：解法2k 0时,X(k)N(N 1)

35、2k 0时，X(k) 0 WN；2WN2k3WN3kWNknX(k)0 Wf2k2WN3k3WN4 kN 1X(k) wNknX(k)wNkn(N 1)n 1(N 1)WNN 1)k(N2)WNN 1)kN 1WNkn 1 (N 1) n 0(N 1)N所以,X(k)Nk1WnX(k)NNJ),k 02N丁，k 1,2 ,N1 Wn2.已知下列 X(k),求 x(n) IDFTX(k);N j Le , k m2(1) X(k) Ne j ,k N m；0,其它k(2)X(k)N . j .-2 je ,kN j 2Je ,k0,其它k解：(1)x(n)IDFT X(k)1Wn0kn - Ne

36、jN 2j 2_mn e N.2j (N m)ne N(2)x(n)2j (mnN2j(mn )e Ncos(2 mnN),0,1, N3.长度为1212j ( mne NWnmnj Wn(N m)n2j ( mnNsin(mn N),0,1, N 1N=10的两个有限长序列1,0 x1(n)0,5作图表示 x1(n)、x2(n)和 y(n) x1(n)解:X2(n)1,01,5x2(n)。x(n)、x2(n)和 y(n) x1(n)x2(n)分别如题 3 解图(a)、( b)、( c)所示。14.两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为：x(n) 0, n 0,8 n y(n) 0,n

37、0,20 n对每个序列作20点DFT,即X(k)Y(k)DFTx(n), kDFTy(n),k0,1：190,1，19F(k)f (n)0,1，190,1，19如果X(k)?Y(k),kIDFTF(k), k试问在哪些点上 f(n) x(n)* y(n),为什么？解：如前所示，记 f(n) x(n)* y(n),而 f (n) IDFTF(k) x(n) y(n)。fl(n)长度为27, f(n)长度为20。已推出二者的关系为f(n)fl (nm20m)?R2o(n)只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足f(n)fl(n)所以f(n)fi(n) x(n)y(n),7 n 1915.用微处

38、理机对实数序列作谱分析，要求谱分辨率F 确定以下各参数：50Hz，信号最高频率为 1kHZ,试(1)最小记录时间Tpmin ；(2)最大取样间隔Tmax ；(3)最少采样点数Nmin；(4) 解：(1)在频带宽度不变的情况下,将频率分辨率提高一倍的N值。已知F50HZTpmin10.02s50(2)Tmax12fz12 1030.5ms(3)NminTPT0.02s0.5 10 340频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍(F变为原来的1/2)Nmin0.04s “800.5ms18.我们希望利用h(n)长度为N=50的FIR滤波器对一段很

39、长的数据序列进行滤波处理，要 求采用重叠保留法通过 DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段(本题设 每段长度为M=100个采样点)，但相邻两段必须重叠 V个点，然后计算各段与 h(n)的L点(本题取L=128)循环卷积，得到输出序列ym(n),m表示第m段计算输出。最后，从ym(n)中取出B个，使每段取出的B个采样点连接得到滤波输出y(n)。(1)求 V；求B；(3)确定取出的B个采样应为ym(n)中的哪些采样点。解：为了便于叙述，规定循环卷积的输出序列ym(n)的序列标号为0, 1, 2,，127。先以h(n)与各段输入的线性卷积 y1m (n)考虑，ylm (n)中，第。点到

40、48点(共49个点)不正确，不能作为滤波输出，第 49点到第99点(共51个点)为正确的滤波输出序列y(n)的一段，即B=51。所以，为了去除前面 49个不正确点，取出 51个正确的点连续得到不间 断又无多余点的 y(n),必须重叠100-51=49个点，即V=49。下面说明，对128点的循环卷积ym(n),上述结果也是正确的。我们知道ym(n)yim(n 128r)?R128(n)r因为ylm(n)长度为N+M-1=50+100-1=149所以从n=20到127区域，ym(n) y(n),当然，第49点到第99点二者亦相等，所以，所取出的第51点为从第49到99点的ym(n) o综上所述，总

41、结所得结论V=49,B=51选取ym(n)中第4999点作为滤波输出。5.2 教材第五章习题解答1.设系统用下面的差分方程描述：,、3 ,、 1 ,y(n) y(n 1) y(n48试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。2)1 x(n) -x(n 1), 3解：3y(n)二 y(n41) 1y(n82)1x(n) 3x(n 1)将上式进行Z变换31 121Y(z) 3Y(z)z1 -Y(z)z2 X(z) -X(z)z483H(z)所示。(1)按照系统函数 H (z),根据Masson公式，画出直接型结构如 题1解图(H(z)(2)将H (z)的分母进行因式分解31121 - z z481

42、b13(1z1)(14z1)按照上式可以有两种级联型结构:(a) H(z)画出级联型结构如1 b13?11(1 -z1) (1题1解图(二)(b) H(z)11八-z )4(a)所示11z3(1 R (11z1)画出级联型结构如题1解图(二)(b)所示(3)将H (z)进行部分分式展开H(z)(1H(z)z11/-z )(113(z11-)(z -)24A1 z -211(z 2)(z N(z2)103z 1Bl10H(z)10 zH(z) 'z -2731 z -410W1 1- z2731 1- z4所示。y(n) (a b)y(n 1) aby(n 2) x(n2)(ab)x(n

43、 1)abx(n),根据上式画出并联型结构如 题1解图（三）2 .设数字滤波器的差分方程为试画出该滤波器的直接型、级联型和并联型结构。解：将差分方程进行Z变换，得到1Y(z) (a b)Y(z)zabY(z)z22X(z)z(a1b)X(z)zabX (z)H(z)Y(z)X(z)ab (a b)z 1(a b)z 12 zabz 2（1）按照Massion公式直接画出直接型结构如题2解图（一）所示。（2）将H （z）的分子和分母进行因式分解:按照上式可以有两种级联型结构:(a)画出级联型结构如 题2解图（二）（a）所示。(b)z1)bz1)1za1az1z1b1bz11za1bz1z1b1a

44、z1H(z)H2(z)H1(z)H2(z)H1(z)H2(z)1H(z)画出级联型结构如 题2解图（二）（b）所示3 .设系统的系统函数为112H(z)4(1 z 1)(1 1.414z 1 2rcos ?zz 2)112-，(1 0.5z )(1 0.9z0.18z )试画出各种可能的级联型结构。解：由于系统函数的分子和分母各有两个因式，可以有两种级联型结构。(1)H(z)Hi(z)H2(z)Hi(z)1 0.5zH2(z).11.414z1 0.9z 1 0.81z 2画出级联型结构如 题3解图（a）所示,。(2)Hi(z)1 1.414z 11 0.5z4 1 z 1121 0.9z0.

45、81z画出级联型结构如 题3解图（b）所示。4 .图中画出了四个系统，试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应, 并求其总系统函数。图d解：(d)h(n)%(n) h2(n)h3(n) h4(n) hs(n)H(z)h(n) h2(n)%(n) h3(n) h4(n) hs(n)H(z)H2(z)H1(z)H3(z)H4(z) H5(z)5.写出图中流图的系统函数及差分方程。解：1(d)H(z)rsin ?z112.222221 r cos ?z r cos ?z r sin ?z r cos ?z1rsin ?zy(n) 2r cos y(n1) r2y(n 2) rsin

46、?x(n 1)6.写出图中流图的系统函数。图f 解：2 -z 1?22；1%8.已知FIR滤波器的单位脉冲响应为h(n)(n) (n1)(n 4)，试用频率采样结构实现该滤波器。设采样点数N=5,要求画出频率采样网络结构, 式。解：已知频率采样结构的公式为写出滤波器参数的计算公(z)N 1 (1 z )N1 H(k)o1 WNkz 1式中，N=5H (k) DFTh(n)1h(n)W；n4(n) (nn 01) (n 4)WNkn.2j5 k1 e 5,8j r k5 ,k 0,123,4它的频率采样结构如 题8解图所示。6.2教材第六章习题解答1.设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率 fp 6kHz,通带最大衰减ap 3dB ,阻带截止频率fs 12kHz,阻带最小衰减as3dB 。求出滤波器归一化传输函