2015高考真题——课标Ⅰ卷文科

1、绝密启封并使用完毕前 试题类型：A2015年普通高等学校招生全国统一考试课标卷文科数学注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷1至3页，第卷3至5页。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合,N，则集合中元素的个数为 （A） （B） （C） （D）解析：N，答案选D.（2）已知点，向量，则向量 （A） （B） （C） （D）解析：由及点可得点，

2、则，答案选A.（3）已知复数满足ii+1，则 （A）i （B）i （C）i （D）i解析：由ii+1可得，答案选C.（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为 （A） （B） （C） （D）解析：由题意可知1，2，3，4，5中只有3，4，5这一组勾股数，答案选C.（5）已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为，的右焦点与抛物线：的焦点重合，是的准线与的两个交点，则 （A）3 （B）6 （C）9 （D）12解析：抛物线：的焦点为，则椭圆：（）中的，答案选B.（6）九章算术是我国古代内容极为丰富的数

3、学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 （A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛解析：设圆锥底面半径为，则，即，所以米堆的体积为，故堆放的米约为，答案选B.（7）已知是公差为的等差数列，为的前项和若，则 （A） （B） （C） （D）解析：，故答案选B.（8）函数=的部分图象如图所示，则的单调递减区间为 （A）Z （B）Z （C）Z （

4、D）Z解析：由五点作图知，解得，所以，令，Z，解得，Z，故单调减区间为（，），Z，故选D.（9）执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的 （A）5 （B）6 （C）7 （D）8解析：执行第1次，,，？是，循环，执行第2次，？是，循环，执行第3次，？是，循环，执行第4次，？是，循环，执行第5次，？是，循环，执行第6次，？是，循环，执行第7次，？否，不循环，故答案选C.（10）已知函数且，则 （A） （B） （C） （D）解析：由题意知，答案选A（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则 （A）1 （B）2

5、（C）4 （D）8解析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为，圆柱的高为，其表面积为解得，故选B.（12）设函数的图像与函数的图像关于直线对称，且，则 （A） （B） （C） （D）解析：函数的图像上的任意一点关于直线对称的点在函数的图像上，即，则的解析式为，从而，解得，答案选C.第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题第（24）题未选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）在数列中，为的前项和若，则_.【答案】【解析】由，可得.（14）已知函数的图像在点

6、（1，f(1)）处的切线过点（，），则_.【答案】【解析】，故切线方程为，将点（，）代入方程可解得.（15），满足约束条件则的最大值为_.【答案】【解析】画出可行域，经分析可知，当时取最大值为.（16）已知是双曲线：的右焦点，是的左支上一点，.当周长最小时，该三角形的面积为_.【答案】【解析】设是双曲线：的左焦点，而是的左支上一点，则，周长等于，当且仅当点共线时等号成立，点在线段上，线段，代入可得即，解得（舍去），则到直线的距离为.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分12分）已知，分别为内角，的对边，.（）若，求；（）设，且，求的面积.【解析】（）由题设及正弦

7、定理可得，又，可得，由余弦定理可得； -6分（）由（）知，因为，由勾股定理知，故，得，所以的面积为1. -12分.（18）（本小题满分12分）如图，四边形为菱形，为与的交点，平面.（）证明：平面平面；（）若，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.【解析】（）因为四边形为菱形，所以因为平面，所以故平面又平面，所以平面平面 5分（）设，在菱形中，由，可得，因为，所以在Rt中，可得由平面，知为直角三角形，可得由已知得，三棱锥的体积故 9分从而可得所以的面积为，的面积与的面积均为故三棱锥的侧面积为 12分（19）（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对

8、年销售量（单位：t）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（1，2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值表中，.（）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；（）已知这种产品的年利率与的关系为.根据（）的结果回答下列问题：（）年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？（）年宣传费为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据,，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ，.【答案】（）适合作为年销售关于年宣

9、传费用的回归方程类型（）（）试题解析：（）由散点图可以判断，适宜作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型.2分（）令，先建立关于的线性回归方程.由于 ， ，所以关于的线性回归方程为，因此关于的回归方程为. 6分（）（）由（）知，当时，年销售量的预报值 ，年利润的预报值 9分（）根据（）的结果知，年利润的预报值 所以当，即时，取得最大值.故年宣传费为千元时，年利润的预报值最大. 12分考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识（20）（本小题满分12分）已知过点且斜率为的直线与圆：交于，两点.（）求的取值范围；（）若，其中为坐标原点，求.【解析】（）由题设，可知直线的方

10、程为因为与交于两点，所以解得所以的取值范围为5分（）设，将代入方程，整理得 所以， 7分由题设可得，解得，所以直线的方程为故圆心在直线上，所以 12分（21）（本小题满分12分）设函数.（）讨论的导函数零点的个数；（）证明：当时，.【解析】（）的定义域为，（）当时，没有零点；当时，因为单调增，单调增，所以在单调递增又，当满足且时，故当时，存在唯一零点6分（）由（），可设在的唯一零点为，当时，；当时，故在单调递减；在时单调递增所以当时，取得最小值，最小值为由于，所以故当时，12分请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做

11、答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。（22）（本题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，是的直径，是的切线，交于点. （）若为的中点，证明：是的切线；（）若，求的大小.【答案】（）见解析（）°【解析】试题解析：（）连结，由已知得，.在Rt中，由已知得，故.连结，则.又，所以，故，是的切线.5分（）设，由已知得，.由射影定理可得，所以，即.可得，所以.考点：圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理（23）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线:，圆：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（）求，的极坐标方程；（）若直线

12、的极坐标方程为（R），设与的交点为,，求的面积.【答案】（）,（）【解析】试题分析：（）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得，的极坐标方程；（）将将代入即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出的面积.试题解析：（）因为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为. 5分（）将代入，得，解得=，=，故，即.因为的半径为1，则的面积. 10分考点：直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系（24）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数，.（）当时，求不等式的解集；（）若的图像与轴围成的三角形面积大于，求的取值范围【答案】（）（）（2，+）【解析】试题分析：（）利用零点分析法将不等式化为一元一次不等式组来解；（）将化为分段函数，求出与轴围成三角