31不等关系与不等式(2)

1、2022年年1月月29日星期六日星期六让理想的雄鹰展翅高飞！让理想的雄鹰展翅高飞！复习引入复习引入1. 比较两实数大小的理论依据是什么比较两实数大小的理论依据是什么?2. “作差法作差法”比较两实数的大小的一般比较两实数的大小的一般 步骤步骤?如果如果ab ab0; 如果如果ab ab0; 如果如果ab ab0性质性质1：如果如果ab，那么，那么ba；如果；如果bb. 性质性质1表明，把不等式的左边和右边交表明，把不等式的左边和右边交换位置，所得不等式与原不等式异向，我换位置，所得不等式与原不等式异向，我们把这种性质称为不等式的们把这种性质称为不等式的对称性对称性。常用不等式的性质常用不等式的

2、性质(对称性对称性)性质性质2：如果如果ab，bc，那么，那么ac.证明：证明：根据两个正数之和仍为正数，得根据两个正数之和仍为正数，得00ababbcbc (ab)+(bc)0 ac0 ac. 这个性质也可以表示为这个性质也可以表示为cb，ba，则，则cb，则，则a+cb+c.证明：因为证明：因为ab，所以，所以ab0，因此因此(a+c)(b+c)=a+cbc=ab0，即即 a+cb+c. 性质性质3表明，不等式的表明，不等式的两边都加上同一两边都加上同一个实数，个实数，所得的不等式与原不等式同向所得的不等式与原不等式同向. (可加性可加性)a+bc a+b+(b)c+(b) acb.由性质

3、由性质3可以得出可以得出推论推论1：不等式中的任意一项都可以把它不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边。一边移到另一边。 （移项法则）（移项法则）推论推论2：如果如果ab，cd，则，则a+cb+d.证明：因为证明：因为ab，所以，所以a+cb+c，又因为又因为cd，所以，所以b+cb+d，根据不等式的传递性得根据不等式的传递性得 a+cb+d. 几个几个同向不等式同向不等式的两边分别的两边分别相加相加，所所得的不等式与原不等式得的不等式与原不等式同向同向。同向不等式可相加性同向不等式可相加性 性质性质4：推论推论1：如果如

4、果ab0，cd0，则，则acbd.性质性质5：如果如果ab，c0，则，则acbc；如果；如果ab，c0，则，则acb，c0，所以，所以acbc，又因为又因为cd，b0，所以，所以bcbd，根据不等式的传递性得根据不等式的传递性得 acbd。 几个两边都是正数的几个两边都是正数的同向不等式同向不等式的两边分的两边分别别相乘相乘，所得的不等式与原不等式所得的不等式与原不等式同向同向。(可乘性可乘性)性质性质6：推论推论2：如果如果ab0，则，则anbn，(nN+，n1).证明：因为证明：因为 000ababnab 个，个，根据性质根据性质4的推论的推论1，得，得anbn.(可乘方性可乘方性)性质性

5、质7：推论推论3：如果如果ab0，则，则，(nN+，n1).nnab证明：用反证法，假定证明：用反证法，假定 ，即，即 或或 ， nnabnnabnnab 根据性质根据性质4的推论的推论2和根式性质，得和根式性质，得ab矛盾，因此矛盾，因此nnab(可开方性可开方性)性质性质8：不等式的性质不等式的性质对称性对称性 ab传递性传递性 ab，bc可加性可加性 ab推推 论论移项法则移项法则a+cb同向可加同向可加 ab，cd可乘性可乘性 ab,推推 论论同向同向正正可乘可乘 ab0，cd0可乘方可乘方 ab0可开方可开方 ab0(n R+)(n N)bb+cab-ca+cb+dacacbcc0c

6、0acbnnnba acbd例例1：应用不等式的性质，证明下列不等式：应用不等式的性质，证明下列不等式：（1）已知）已知ab，ab0，求证：，求证： ；11ab证明：证明： （1）因为）因为ab0，所以，所以10ab又因为又因为ab，所以，所以 11ababab即即 11ba因此因此 11ab 练习练习.若若 ，则，则 的取值的取值范围是范围是_, 的取值是的取值是_. 222 2 (,)2 2 ,0)2 22 22 222 22 22 22 0 0 0.22 （2）若若3ab1，2c1，求求(ab)c2的取值范围。的取值范围。 因为因为4ab0，1c24， 所以所以16(ab)c20 例例（1）如果）如果30 x36，2y6，求，求x2y及及 的取值范围。的取值范围。 xy18x2y32， 518xy练习练习已知已知4ab1，14ab5，求，求9ab的取值范围。的取值范围。解：解：设设9ab=m(ab)+n(4ab) =(m+4n)a(m+n)b，令令m+4n=9，(m+n)=1，解得，解得