实用文库汇编之平面向量的基本概念

1、*实用文库汇编之平面向量的实际背景及基本概念1向最的概念：我们把既有大小又有方向的虽叫向址C2数量的概念：只有大小没仃方向的虽叫做数虽。数厳与向最的区别：数址貝有大小，是_个代数虽:，可以进行代数运算、比较大小：向址有方向.大小，双重性.不能比较大小.3有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。4有向线段的三更素：起点.大小，方向5 有向线段与向最的区别；（1）相同点：都有大小和方向（2）不同点：有向线段有起点.方向和长度只要起点不同就是不同的有向线段比如：上面两个有向线段是不同的有向线段。 向虽只有大小和方向，并且是可以平移的比如：在中的两个有向线 段表示相同（等）的向虽。 向虽是用有向线段來表

2、示的，可以认为向址是由多个有向线段连接而成&向量的表示方法： 用有向线段表示： 用字母a、b （黑体，印刷用）等表示： 用有向线段的起点与终点字卽：ABx7. 向：ft的模：向虽乔的大小（长度）称为向址的模.记作AB.8. 零向量、单位向量概念：长度为零的向虽称为零向量.记为：0。长度为1的向址称为单位向戢。9. 平行向址定义： 方向相同或相反的非零向虽叫平行向甌 我们规定0与任一向址平行即:0 / ao 说明：（1）综合、才是平行向址的完整定义：（2）向址b、c平行，记作a/ b/ c10 相等向量长度相等且方向相同的向虽叫相等向量.说明：（1）向虽:a与相等，记作a=b, （2）零

3、向虽与零向址相等：（3）任总:两个相等的非零向址.都可用同一条有向线段來表示.并且与有向线段的起点无关.11 共线向址与平行向址关系：平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向虽都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关） ' 说明：（1）平行向虽是可以在同一直线上的C（2）共线向量是可以相互平行的。例1 判断下列说法是否正确，为什么？（1）平行向虽是否一定方向相同？（2）不相等的向虽是否一定不平行？（3）与零向虽相等的向址必定是什么向虽？（4）与任意向量都平行的向址是什么向虽？（5）若两个向址在同一直线上，则这两个向虽一定是什么向址？（6）两个非零向量相等为且仅'勺什么?（7）

4、共线向虽一定在同一直线上吗？解析：（1）不是，方向可以相反，可有定义得出。（2）不是，半两个向虽方向相同的时候，只要长度不相等就不是相等向虽.但是是平行的。（3）零向量（4）零向虽（5）共线向量（平行向址（6）长度相等且方向相同（7）不一定，可以平行。例2下列命题正确的是（A. Q与厶共线，b与c共线，则£与心也共线B任总两个相等的非零向址的始点与终点是平行四边形的四顶点C. 向虽8与b不共线，则a与b都是非零向址D. 有相同起点的两个非零向虽不平行解：由于零向址与任一向址都共线.所以A不正确：由于数学中研尤的向量是自由向虽，所以两个相等的非零向虽:可以在同一 直线上，而此时就构不成

5、四边形根木不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确：向虽的平行只要方向相同或相反 即可，与起点是否相同无关.所以D不正确：对于C,其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题來入手考虑假若a与b 不都是非零向虽:，即a与b至少有一个是零向虽而由零向量与任一向址都共线.可有8与b共线.不符合已知条件.所以有 a与b都是非零向虽，所以应选C例3如右图所示，设0是正八;边形ABCDEF的中心. - »分别写出图中与向虽OAQBQC相等的向址。解：按照向虽相等的定义可知:-> T TOA=CB = DOT T T OB = DC = EOT T T TOC = AB = ED=FO向

6、量的加法运算及其几何意义1 向址的加法：求两个向虽和的运算叫做向址的加法.2. 三角形法则（记忆口诀:“tr尾相接，从头捋尾”）3. 三角形法则的来由如图.已知向虽a、b 在平面内任取一点A.作AB= BC=b.则向虽AC叫做a与b的和.记作a+b. HP a+ b=AB + BC = AC ,规定：a + o-= 0 + a4 向量加法的ba+b字母公式> > >ab+bc = ac5 平行四边形法则如图1以同一点0为起点的两个已知向虽a、b为邻边作平行四边形，则以0为起点的对角线0C就是a与b的和我们把这 种作两个向虽和的方法叫做向虽加法的平行四边形法则.6 平行四边形法

7、则与三角形法则的区别：（1）平行四边形法则是将两个向虽的起点放在一起做出平行四边形，最终和向址的结果的起点 和两个分向址的起点是同一起点。（2）三角形法则要求第一个向虽终点和第二个向虽的起点连接在一起,然后连接第一个向虽的起点和第二个向址的终点组成三 角形.最终和向址的结果是由第一个向量的起点描向第二个向虽的终点。7. 一般结论、“l“b不共线时，la*bl<la十Ibl （即三角形两边之和大于第三边）；当a,b共线且方向相同时,Ia+b| = la +lbl;共线且方向相反时，a-b = a - b （或lb - a ） 其中当向址a的长度大于向fit b的长度时,la+bl = la

8、 - bl；当向虽a的长度小于向量b的长度时,|a+b| = |b|-|a|一般地，我们有a+b W a Eb二.例题讲解例一已知正方形ABCD的边长为1, AB二& EC二、月°二c,则 旷b+cl等于（）A0B3C2D2 V2解：DCA作出正方形ABCD的图形如上图所示.那么：a+b=c,所以 a+b+c=2c,所以 |a+b+c| = |2c|=2|c|=2 >/2 ,所以选 D.例 2化简：（1）BC + AB ；（2）DB + CD + BC ；（3）AB + DF + CD + BC +FA .解:过D作AC的平行线.交BC的延长线于E.DEAC.ADBE.

9、四边形ADEC为平行四边形.:. DE= AC ,CE = AD.于是 a+b+c= AB + BC + BD=DE + BD = BE = AD + AD =2 AD, .*.la+b+cl=2l AD 1=8、行.1. 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由。 向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上； 单位向量都相等： 任一向量与它的相反向量不相等： 一个向量方向不确泄当且仅当模为0； 共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。2. （1）.判断下列式子是否正确，若不正确请指岀错误原因.6=0.b-'b=0（2）若将所有单位向量的起点归结在同一起点，则英终点构

10、成的图形是（3）将所有共线向量移至同一起点，终点构成的图形是什么图形？ 3. 下列说法正确的是（）A.平行向量是方向相同的向量B.长度相等的向量叫相等向量C.零向量的长度为0D.共线向疑是在同一条直线上的向量4. 若非零向量：与乙共线，则以下说法下确的是（）A.:与&必须在同一直线上B. 7与&平行，且方向必须相同'C.方与乙平行，且方向必须相反D.:与厶平行1、在四边形A3CD中，若AC = AB + ADf则四边形ABCD的形状一定是（）（A）平行四边形 （E）菱形 （C）矩形 （D）正方形2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分

11、别为方和 石，那么下列命题中错误的一个是（）A、方与乙为平行向量B、方与乙为模相等的向量C、方与乙为共线向量D、2与乙为相等的向量3、下列命题中正确的是()A.单位向量都相等B长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C. 若b满足a>b且8与b同向，则D. 对于任意向量8、b,必有a+b < |a| + | b|平面向量的加法运算1、用三角形法则和平行四边形法则分别画出a+b2、下列命题中正确的是()A. 单位向量都相等B. 长度相等且方向相反的两个向量不一立是共线向量C. 若a，&满足a > b且&与2d司向，则a>bD. 对于任意向量&、b,必有ab W|a + £>3、已知正方形的边长为1, AB二a，BC=b, AC =c,则a-trc等于()A.OB. 3C. >/2D.2V24、两列火车从同一站台沿相反方向开去，泄了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为方和乙，那么下列 命题中错误的一个是A、方与乙为平行向量B、方与乙为模相等的向量C、方与乙为共线向量D、方与乙为相等的向量5、在四边形ABCD中，若AC =