工程测试-第2章 信号的描述与分析

1、第第2章章 信号的描述与分析信号的描述与分析2.1 2.1 概述概述2.2 2.2 信号的时域统计分析信号的时域统计分析2.3 2.3 信号的相关分析信号的相关分析2.4 2.4 信号的频谱信号的频谱2.5 2.5 模拟信号的数字化分析模拟信号的数字化分析2.6 Matlab2.6 Matlab在信号描述与分析中的应用在信号描述与分析中的应用2.1.1 信号的分类信号的分类从不同角度观察信号，可以将其分为：从不同角度观察信号，可以将其分为： 1 从信号描述上分从信号描述上分-确定性信号与非确定性信号；确定性信号与非确定性信号；2 从信号的幅值和能量上从信号的幅值和能量上-能量信号与功率信号；能

2、量信号与功率信号；3 从分析域上从分析域上-时限信号和频限信号；时限信号和频限信号；4 从连续性从连续性-连续时间信号与离散时间信号；连续时间信号与离散时间信号；5 从可实现性从可实现性 -物理可实现信号与物理不可实现信号物理可实现信号与物理不可实现信号。第第2章章 信号的描述与分析信号的描述与分析2.1 概述概述2.1.1 信号的分类信号的分类1. 确定性信号与随机信号（非确定性信号）确定性信号与随机信号（非确定性信号） 可以用明确数学关系式描述的信号称为确定性信号。不能可以用明确数学关系式描述的信号称为确定性信号。不能用数学关系式描述的信号称为非确定性信号用数学关系式描述的信号称为非确定性

3、信号(随机信号随机信号) 。1 确定性信号与随机信号确定性信号与随机信号 信号波形：信号波形：被测信号信号幅度随时间的变化历程称为被测信号信号幅度随时间的变化历程称为信号的波形。信号的波形。 信号的分类主要是依据信号波形特征来划分的，在介信号的分类主要是依据信号波形特征来划分的，在介绍信号分类前，先建立信号波形的概念。绍信号分类前，先建立信号波形的概念。振动弦振动弦(声源声源)声级计声级计记录仪记录仪0At信号波形图：用被测物理量的强度作为纵坐标，用时间做横坐标，信号波形图：用被测物理量的强度作为纵坐标，用时间做横坐标，记录被测物理量随时间的变化情况。记录被测物理量随时间的变化情况。1). 周

4、期信号周期信号 经过一定时间可以重复出现的信号经过一定时间可以重复出现的信号, 即有即有 x ( t ) = x ( t + nT )简单周期信号简单周期信号复杂周期信号复杂周期信号1 确定性信号与随机信号确定性信号与随机信号简谐周期信号：简谐周期信号：( )sin()x tAt复合周期信号：复合周期信号：( )sin3cosx ttt2). 非周期信号非周期信号 不会重复出现的信号不会重复出现的信号。 准周期信号准周期信号准周期信号准周期信号:由多个周期信号合成，但各周期信号的频率不成由多个周期信号合成，但各周期信号的频率不成公倍数，其合成信号不是周期信号。如：公倍数，其合成信号不是周期信号

5、。如：x(t) = sin(t)+sin(2.t)瞬态信号瞬态信号瞬态信号瞬态信号:持续时间有限的信号，如持续时间有限的信号，如 x(t)= e-Bt . Asin(2*pi*f*t)1 确定性信号与非确定性信号确定性信号与非确定性信号3). 随机信号随机信号(非确定性信号非确定性信号) 1 确定性信号与随机信号确定性信号与随机信号 不能用数学式描述，其幅值、相位变化不可不能用数学式描述，其幅值、相位变化不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。预知，所描述物理现象是一种随机过程。 噪声信号噪声信号(平稳平稳)噪声信号噪声信号(非平稳非平稳)统计特性变异统计特性变异3) 3) 随机信号随机信号样

6、本函数样本函数 ：随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录( )ix t随机过程随机过程 ：全部样本函数的集合全部样本函数的集合)(tx12( )( ),( ),( ),ix txtxtxt1111( )lim( )NxiNitx tN101lim( )dTxTx ttT集合平均：集合平均：时间平均：时间平均：集合平均和时间平均集合平均和时间平均111121( )( ),( ),( )nx txtxtxt=221222( )( ),( ),( )nx txtxtxt=12( )( ),( ),( )iiiinx txtxtxt=时间平均时间平均集合平

7、均集合平均平稳随机过程：平稳随机过程：是指其统计特征参数不随时间而变化的随机是指其统计特征参数不随时间而变化的随机过程，否则为非平稳随机过程。过程，否则为非平稳随机过程。 各态历经（遍历）随机过程：各态历经（遍历）随机过程：在平稳随机过程中，若任一单个在平稳随机过程中，若任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计特征样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计特征 噪声信号噪声信号(平稳平稳)噪声信号噪声信号(非平稳非平稳)统计特性变异统计特性变异2.1.1 信号的分类信号的分类2 能量信号与功率信号能量信号与功率信号 1). 能量信号能量信号 在所分析的区间（在所分析的

8、区间（-，），能量），能量J为有限值的信号为有限值的信号称为能量信号，满足条件：称为能量信号，满足条件： 一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。2J( )xt dt 瞬态信号瞬态信号2). 功率信号功率信号 在所分析的区间（在所分析的区间（-，），能量），能量J不是有限值此时，不是有限值此时，研究信号的平均功率研究信号的平均功率P更为合适。更为合适。 一般持续时间无限的信号都属于功率信号。一般持续时间无限的信号都属于功率信号。212TPlim( )TTTx t dt 复杂周期信号复杂周期信号噪声信号噪声信号(平稳平稳)2 能量信号与功率信号能量信号与功率信

9、号 J2.1.1 信号的分类信号的分类 3. 时限与频限信号时限与频限信号 1). 时域有限信号时域有限信号 在时间段在时间段 (t1，t2)内有定义，其外恒等于零内有定义，其外恒等于零 2). 频域有限信号频域有限信号 在频率区间在频率区间(f1，f2 )内有定义，其外恒等于零内有定义，其外恒等于零 三角脉冲信号三角脉冲信号正弦波幅值谱正弦波幅值谱4. 连续时间信号与离散时间信号连续时间信号与离散时间信号 1). 连续时间信号连续时间信号:在所有时间点上有定义在所有时间点上有定义 2). 离散时间信号离散时间信号:在若干时间点上有定义在若干时间点上有定义幅值连续幅值连续幅值不连续幅值不连续采

10、样信号采样信号2.1.1 信号的分类信号的分类模拟信号连续信号量化信号信号采样信号离散信号数字信号连续信号和离散信号连续信号和离散信号 5. 物理可实现信号与物理不可实现信号物理可实现信号与物理不可实现信号1).物理可实现信号物理可实现信号：又称为单边信号，满足条件：又称为单边信号，满足条件：t0时，时，x(t) = 0，即在时刻小于零的一侧全为零。，即在时刻小于零的一侧全为零。2). 物理不可实现信号物理不可实现信号：在事件发生前：在事件发生前(t0)就预制知信号。就预制知信号。2.1.1 信号的分类信号的分类 6.6.实信号和复信号实信号和复信号实信号：实信号：其在各时刻的函数值均为实数。

11、物理可实现的信号其在各时刻的函数值均为实数。物理可实现的信号都是时间的实数。都是时间的实数。复信号：复信号：由复数表达由复数表达jzxyj(cosjsin )zrre曲线位于复平面曲线位于复平面2.1.1 信号的分类信号的分类 2.1.2 信号的时域描述和频域描述信号的时域描述和频域描述2.1 概述概述 1. 信号的时域描述：信号的时域描述：以时间为独立变量，反映信号以时间为独立变量，反映信号幅值随时间变化的关系。幅值随时间变化的关系。图图1-4所示周期方波的时域表达式为所示周期方波的时域表达式为000( )()02( )02x tx tnTTAtx tTAt 0000141411( )sin

12、(21)sinsin3sin52135nAAx tnttttn0021,2,3, ;nT式中，2.1.2 信号的时域描述和频域描述信号的时域描述和频域描述2. 信号的频域描述：信号的频域描述：以频率为独立变量，反映信号以频率为独立变量，反映信号各频率成分的幅值、相位与频率之间的关系。各频率成分的幅值、相位与频率之间的关系。0141( )sin21nAx tntn幅频谱幅频谱相频谱相频谱2.1.2 信号的时域描述和频域描述信号的时域描述和频域描述3. 注意注意 (1)时域描述时域描述反映出信号瞬时值随时间变化的情况；反映出信号瞬时值随时间变化的情况； 频域描述频域描述反映信号的频率组成及其幅值、

13、相角之大小。反映信号的频率组成及其幅值、相角之大小。(2) 根据不同的需要，采用不同的描述方式根据不同的需要，采用不同的描述方式 如评定机器强度如评定机器强度时域描述，均方根值时域描述，均方根值 寻找振源寻找振源 频域描述，振动信号的频率分量频域描述，振动信号的频率分量(3) 频率中每个信号都需同时用幅频谱和相频谱来描述。频率中每个信号都需同时用幅频谱和相频谱来描述。 (对比表对比表1-1中两个周期方波中两个周期方波)(4) 两种描述方法能相互转换，而且包含同样的信息量两种描述方法能相互转换，而且包含同样的信息量。01lim( )dTxTx ttT1.均值均值：T样本观测时间。样本观测时间。均

14、值表示信号的均值表示信号的常值分量。常值分量。0Atx2.方差方差T样本观测时间。样本观测时间。方差表示信号的方差表示信号的波动分量波动分量 ，反映信号围绕均值的波动程度反映信号围绕均值的波动程度2201lim ( ) dTxxTx ttT噪声信号噪声信号(平稳平稳)xs标准偏差3.均方值均方值T样本观测时间。样本观测时间。均方值表示信号的均方值表示信号的强度强度 2201lim( ) dTxTx ttT2rms01lim( ) dTTxx ttT均方根值，表示信号的功率均方根值，表示信号的功率 222xxx2x描述了信号的波动大小，描述了信号的波动大小，对应电信号中对应电信号中交流成分交流成

15、分的的功率功率；2x描述了信号的常值分量，描述了信号的常值分量，对应电信号中对应电信号中直流成分直流成分的的功率功率。02202201( )d1 ( ) d1( )dTxTxxTxx ttTx ttTx ttT 有限长的样本记录有限长的样本记录 代替代替 无限长的样本函数：无限长的样本函数：得到均值、方差、均方值的得到均值、方差、均方值的估计值估计值 02202201( )d1 ( ) d1( )dTxTxxTxx ttTx ttTx ttT 周期信号：周期信号： 1. 相关系数相关系数2. 自相关函数自相关函数3. 互相关函数互相关函数2.3 相关分析及其应用相关分析及其应用第第2章章 信号

16、的描述与分析信号的描述与分析相关：相关： 描述两个信号（或一个信号不同时刻）取值描述两个信号（或一个信号不同时刻）取值之间的线性关系或相似程度。之间的线性关系或相似程度。4. 相关函数的估计值相关函数的估计值2.3 相关分析及其应用相关分析及其应用 ()()xyxyxyE xy 1.相关系数相关系数描述描述x、y两变量之间的相关程度的系数两变量之间的相关程度的系数 2222xxyyxyxxyyExE xxE yx yExEy数学期望；随机变量 的均值，随机变量 的均值，随机变量的标准差，根据柯西根据柯西-许瓦兹不等式，有许瓦兹不等式，有222xyxyExyExEy1xyxy的正负号表示一变量随

17、另一变量的增加或减小；的正负号表示一变量随另一变量的增加或减小； 越接近越接近1，相关性越大相关性越大越接近越接近0，相关性越小相关性越小1 相关系数相关系数xy1xyxy1xyxy10 xyxy0 xy2.自相关函数自相关函数1) 自相关函数的定义自相关函数的定义是某各态历经随机过程是某各态历经随机过程的一个样本记录的一个样本记录 tx x t TTxdttxtxTR01lim是是 x(t) 时移时移 后的样本后的样本 对各态历经随机信号及功率信号对各态历经随机信号及功率信号定义自相关函数定义自相关函数 为为 xR于是有于是有 202221lim( )TxTxxxxxx t x tdtTRt

18、x x t 、具有相同的均值和标准差具有相同的均值和标准差( )()()( )()( ( )( ()x tx txx tx tx tE x tx t 自相关系数自相关系数()xx tx 简写为2) 自相关函数具自相关函数具有的性质有的性质 xxR、均均 随随 而变化，且两者成线性关系。而变化，且两者成线性关系。物理意义物理意义：描述信号的现在值与过去值或将来值之间的关系。：描述信号的现在值与过去值或将来值之间的关系。 (1) 2222xxxxxR(2) 2(0)max( )xxxRR 22xxxxR 2)自相关函数具有的性质自相关函数具有的性质(4) 偶函数偶函数 ()( )xxRR 22xx

19、xxR 2( )0( )xxxR (3) 对随机信号对随机信号 ( )sin()x tAt0020021( )lim( ) ()d1 sin()sin ()dcos2TxTTRx t x ttTAtttTA2)自相关函数具有的性质自相关函数具有的性质(5) 周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数。周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数。 保留了幅值信息，丢失了相位信息。保留了幅值信息，丢失了相位信息。 2.自相关函数自相关函数3)3)自相关函数的工程应用自相关函数的工程应用 区别信号类型区别信号类型 工程中常会遇到各种不同类别的信号，这些信号的类型工程中常会遇到各种不同类别的信号，这些信号

20、的类型从其时域波形往往难以辨别，利用自相关函数则可以十分容从其时域波形往往难以辨别，利用自相关函数则可以十分容易地加以识别易地加以识别 。正弦波正弦波正弦波正弦波+随机噪声随机噪声正弦波的自相关函数正弦波的自相关函数 窄带随机噪声窄带随机噪声 宽带随机噪声宽带随机噪声 宽带随机噪声宽带随机噪声 窄带随机噪声窄带随机噪声正弦波的自相关函数正弦波的自相关函数正弦波加随机噪声的自相关函数正弦波加随机噪声的自相关函数窄带随机噪声宽带随机噪声3)3)自相关函数的工程应用自相关函数的工程应用 检测混杂在随机信号中的周期成分检测混杂在随机信号中的周期成分。正常机床噪声的自相关函数正常机床噪声的自相关函数 异

21、常机床噪声的自相关函数异常机床噪声的自相关函数 异常机床噪声的自相关函数将出现规则、周期性的信号，其异常机床噪声的自相关函数将出现规则、周期性的信号，其幅值比正常噪声的幅值要大。通过将变速箱中各轴的转速与自相幅值比正常噪声的幅值要大。通过将变速箱中各轴的转速与自相关函数波动的周期相比较，可确定缺陷轴的位置关函数波动的周期相比较，可确定缺陷轴的位置 。关于某一机械加工表关于某一机械加工表面粗糙度的波形面粗糙度的波形。3)3)自相关函数的工程应用自相关函数的工程应用 检测混杂在随机信号中的周期成分检测混杂在随机信号中的周期成分。 自相关函数图呈现周自相关函数图呈现周期性，表明造成表面粗期性，表明造

22、成表面粗糙度的原因中包含有某糙度的原因中包含有某种周期因素种周期因素。 并可找出该周期因素并可找出该周期因素的频率的频率 3. 互相关函数互相关函数1) 互相关函数的定义互相关函数的定义 01limTxyTRx t y tdtT两个各态历经过程的随机信号两个各态历经过程的随机信号x(t)和和y (t)的互的互相关函数相关函数 定义为定义为 xyR互相关系数互相关系数( )( )xyxyxyxyR 物理意义：物理意义：描述信号描述信号x(t)与信号与信号y(t)之间的相似程度之间的相似程度。2）性质）性质(1)( )xyxyxyxyxyR (2)0max( )()xyxyRR0( )( )y t

23、x t为相对的滞后时间 xyRyxyxyxyxyx0t02) 性质性质( )0 ,( )xyxyxyR (4) 可正可负的以可正可负的以 为自变量的非偶实值函数为自变量的非偶实值函数； xyRyxyxyxyxyx0t0(3)随机信号随机信号例题例题5-2 设有两个周期信号设有两个周期信号x(t)和和y (t) tytytxtxsinsin00 的相位差与时刻的相位角；相对于式中tytxttx0试求其互相关函数试求其互相关函数 xyR(5) 同频相关，不同频不相关。同频相关，不同频不相关。2）性质）性质解：解： 因为函数是周期信号，可以用一个共同周期内的平均因为函数是周期信号，可以用一个共同周期

24、内的平均值代替其整个历程的平均值，故值代替其整个历程的平均值，故 0000001lim1sinsin1cos2TxyTTRx t y tdtTxttdtTx y 此例可知，两个同频率的信号，其互相关函此例可知，两个同频率的信号，其互相关函数保留了圆频率、幅值、及相位差值信息数保留了圆频率、幅值、及相位差值信息同频相关同频相关例例5-3 若两个周期信号的圆频率不等若两个周期信号的圆频率不等试求其互相关函数试求其互相关函数 tytytxtx2010sinsin解：因为两信号不具有共同的周期，所以有解：因为两信号不具有共同的周期，所以有 TTTTxydtttyxTdttytxTR0210000sin

25、sin1lim1lim根据正余弦函数的正交性，可知根据正余弦函数的正交性，可知 0 xyR不同频不相关不同频不相关广东工业大学机电工程学院广东工业大学机电工程学院案例案例1：地下输油管道漏损位置的探测地下输油管道漏损位置的探测 3) 互相关分析的应用互相关分析的应用3 互相相关函数互相相关函数 (1)测试系统的滞后时间；测试系统的滞后时间；(2) 相关滤波：应用相关分析来滤除信号中的噪声干扰、提相关滤波：应用相关分析来滤除信号中的噪声干扰、提取有用信息的处理方法。取有用信息的处理方法。(3)信号源的确定。信号源的确定。/2Sv广东工业大学机电工程学院广东工业大学机电工程学院3) 互相关分析的应

26、用互相关分析的应用(4) 互相关测速互相关测速/dd案例案例1：钢带速度非接触测量：钢带速度非接触测量广东工业大学机电工程学院广东工业大学机电工程学院案例案例2：互相关测速：互相关测速互相关分析的应用互相关分析的应用/dvSS互相互相关分关分析仪析仪汽车速度的测量汽车速度的测量广东工业大学机电工程学院广东工业大学机电工程学院能量信号的相关函数能量信号的相关函数( )( ) ()dxRx t x tt( )( ) ()dxyRx t y tt 01lim0TxTRx t x tdtT4. 相关函数估计相关函数估计01( )( ) ()TxRx t x tdtT01( )( ) ()TxyRx t

27、 y tdtT实际上只能在有限的观察时间实际上只能在有限的观察时间T内内 TTxydttytxR0lim TTxdttxtxTR01lim 2.1.2 信号的时域描述和频域描述信号的时域描述和频域描述2.1 概述概述 1. 信号的时域描述：信号的时域描述：以时间为独立变量，反映信号以时间为独立变量，反映信号幅值随时间变化的关系。幅值随时间变化的关系。图图1-4所示周期方波的时域表达式为所示周期方波的时域表达式为000( )()02( )02x tx tnTTAtx tTAt 0000141411( )sin(21)sinsin3sin52135nAAx tnttttn0021,2,3, ;nT

28、式中，2.1.2 信号的时域描述和频域描述信号的时域描述和频域描述2. 信号的频域描述：信号的频域描述：以频率为独立变量，反映信号以频率为独立变量，反映信号各频率成分的幅值、相位与频率之间的关系。各频率成分的幅值、相位与频率之间的关系。0141( )sin21nAx tntn幅频谱幅频谱相频谱相频谱 1. 周期信号傅里叶级数的三角函数形式与单边频谱周期信号傅里叶级数的三角函数形式与单边频谱2.4 信号的频谱信号的频谱2.4.1 周期信号的频谱周期信号的频谱1)满足狄里赫利条件的周期信号满足狄里赫利条件的周期信号x(t)的傅里叶级数的三角函的傅里叶级数的三角函数展开式数展开式/20/2/20/2

29、/20/21( )2( )cos2( )sinTTTnTTnTax t dtTax tntdtTbx tntdtTww-=0001( )(cossin)nnnx taan t bn tww=+,.)3 , , 2 , 1( n狄里赫利条件狄里赫利条件 傅里叶在提出傅里叶级数时坚持认为，任何一个周期信号傅里叶在提出傅里叶级数时坚持认为，任何一个周期信号都可以展开成傅里叶级数，虽然这个结论在当时引起许多争议，都可以展开成傅里叶级数，虽然这个结论在当时引起许多争议，但持异议者却不能给出有力的不同论据。直到但持异议者却不能给出有力的不同论据。直到20年后年后(1829年年)狄狄里赫利才对这个问题作出了

30、令人信服的回答，狄里赫利认为，里赫利才对这个问题作出了令人信服的回答，狄里赫利认为，只有在满足一定条件时，周期信号才能展开成傅里叶级数。只有在满足一定条件时，周期信号才能展开成傅里叶级数。这这个条件被称为个条件被称为狄里赫利条件狄里赫利条件，其内容为，其内容为: 在一个周期内，周期信号在一个周期内，周期信号 x(t) 必须绝对可积；必须绝对可积； 在一个周期内，周期信号在一个周期内，周期信号 x(t) 只能有有限个极大值只能有有限个极大值 和极小值；和极小值； 在一个周期内，周期信号在一个周期内，周期信号 x(t) 只能有有限个不连续只能有有限个不连续点，而且，在这些不连点上，点，而且，在这些

31、不连点上， x(t) 的函数值必须是有的函数值必须是有限值。限值。1.1.周期信号傅里叶级数的三角函数形式与单边频谱周期信号傅里叶级数的三角函数形式与单边频谱 狄里赫利条件狄里赫利条件 - - 在一周期内，函数是绝对可积的，即在一周期内，函数是绝对可积的，即 应为有限值；应为有限值； 在一周期内，函数的极值数目为有限；在一周期内，函数的极值数目为有限； 在一周期内，函数在一周期内，函数f(t)或者或者为连续的，或者具有有限为连续的，或者具有有限个这样的间断点，即当个这样的间断点，即当t从较大的时间值和较小的时从较大的时间值和较小的时间值分别趋向间断点时，函数具有两个不同的有限的间值分别趋向间断

32、点时，函数具有两个不同的有限的函数值。函数值。 测试技术中的周期信号，大都满足该条件。测试技术中的周期信号，大都满足该条件。 dttfTtt|11lim()lim()f tf t1.1.周期信号傅里叶级数的三角函数形式与单边频谱周期信号傅里叶级数的三角函数形式与单边频谱2) 周期信号的单边频谱周期信号的单边频谱001( )cos()nnnx taAn twj=+,.)3 , , 2 , 1( n 周期信号是由一个或几个、乃至无穷多个不同频率的谐波周期信号是由一个或几个、乃至无穷多个不同频率的谐波叠加而成的。叠加而成的。 0001( )(cossin)nnnx taan t bn tww=+22

33、arctannnnnnnAababj=+= - 0 基频基频直流分量直流分量第第n次谐波次谐波101cos()Atwj+基波基波0nn=第第n次谐波的频率次谐波的频率1.1.周期信号傅里叶级数的三角函数形式与单边频谱周期信号傅里叶级数的三角函数形式与单边频谱 1.1.周期信号傅立叶级数的三角函数形式周期信号傅立叶级数的三角函数形式001( )cos()2nnnax tAnt22nnnbaAcosnnnaAsinnnnbA arctannnnba 1.1.周期信号傅立叶级数的三角函数形式周期信号傅立叶级数的三角函数形式001( )cos()2nnnax tAnt01012020( )cos()c

34、os(2).cos()2nnax tAtAtAnt基波分量基波分量 二次谐波二次谐波 n次谐波次谐波直流分量直流分量 2) 周期信号的周期信号的单边频谱单边频谱001( )cos()nnnx taAn twj=+,.)3 , , 2 , 1( n(1) 幅频谱：幅频谱：nnA nnj横坐标横坐标：n纵坐标纵坐标：nA(2)相频谱：相频谱：横坐标横坐标：n纵坐标纵坐标：nj1.1.周期信号傅里叶级数的三角函数形式与单边频谱周期信号傅里叶级数的三角函数形式与单边频谱 ,02( ), 02TAtx tTAt2022( )d0TTax ttT2022( )cosd0TnTax tnt tT202020

35、0202( )sind22 sindsind4, 1,3,5,2 (1 cos ) 0, 2,4,6,TnTTTbx tnt tTAnt tAnt tTTAnAnnnn求图求图2.122.12中周期方波的傅立叶级数及频谱中周期方波的傅立叶级数及频谱2) 周期信号的单边频谱周期信号的单边频谱 =224, 1,3,5, 0, 2,4,6,nnnAnAabnnarctan2nnnba 000000444( )cos()cos()cos()23252411 (sinsin3sin5)35AAAx ttttAttt求图求图2.122.12中周期方波的傅立叶级数及频谱中周期方波的傅立叶级数及频谱 求图求图

36、2.122.12中周期方波的傅立叶级数及频谱中周期方波的傅立叶级数及频谱000000444( )cos()cos()cos()23252411 (sinsin3sin5)35AAAx ttttAttt幅频谱幅频谱相频谱相频谱 000411( )(sinsin3sin5)35Ax tttt 2.2.周期信号傅立叶级数复指数形式与双边频谱周期信号傅立叶级数复指数形式与双边频谱0j00ecosjsinntntnt00jj0000011cos(cossin)(cossin)(ee)22ntntntntjntntjnt00jj00000jsin(cossin)(cossin)(ee)22ntntjntn

37、tjntntjnt00jj01jj( )ee222ntntnnnnnaababx t0001( )(cossin)2nnnax tantbnt欧拉公式欧拉公式 0j()2nnabX n0j()2nnabXn00jj0001( )()e()e2ntntnax tX nXn0(0)2Xa00jj0011()e()entntnnXnX n0j0( )()entnx tX n02j021()( )edTntTX nx ttT2.2.周期信号傅立叶级数复指数形式与双边频谱周期信号傅立叶级数复指数形式与双边频谱 2000()()Im()X nX nX n2Re00Im()arctan()nX nX nRe

38、2.2.周期信号傅立叶级数复指数形式与双边频谱周期信号傅立叶级数复指数形式与双边频谱02j021()( )edTntTX nx ttTj00()() enX nX n0, 1, 2, 3,n 0, 1, 2, 3,n 双边频谱双边频谱00()()X nXnnn 00Im()Re()X nX n实频谱虚频谱 2.2.周期信号傅立叶级数复指数形式周期信号傅立叶级数复指数形式,02( ), 02TAtx tTAt00002j0202jj202j0001()( )ed1 ()ed2ed2 (cos1)j22j, 1, 3, 5, j(1 cos ) 0, TntTTntntTTntX nx ttTA

39、edtAtTAtTATnnTAnAnnnn 0, 2, 4, 6,例例2.42.4求例求例2.32.3中周期方波的复指数形式的傅立叶级数和频谱中周期方波的复指数形式的傅立叶级数和频谱 0j0( )()entnx tX n0000-jj-j3j3j2j2j2j2( )eeee33ttttAAAAx t02, 1, 3, 5,() 0, 0, 2, 4, 6,AnX nnn , 1,3,5,2Im( )arctan , 1, 3, 5,Re ( )2 0, nnXnX 其他例例2.42.4求例求例2.32.3中周期方波的复指数形式的傅立叶级数和频谱中周期方波的复指数形式的傅立叶级数和频谱 2.2.

40、周期信号傅立叶级数复指数形式周期信号傅立叶级数复指数形式例例2.42.4求例求例2.32.3中周期方波的复指数形式的傅立叶级数和频谱中周期方波的复指数形式的傅立叶级数和频谱负频率项完全是数学计算的结果，并没有任何物理意义？负频率项完全是数学计算的结果，并没有任何物理意义？ 0000jjjj0jjjsin(ee)ee222ttttt0000jjjj0111cos(ee)ee222ttttt01()j2X01()j2X 01()2X01()2X，2.2.周期信号傅立叶级数复指数形式周期信号傅立叶级数复指数形式例例2.5画出正弦和余弦函数的实、虚部频谱图画出正弦和余弦函数的实、虚部频谱图 3.3.周

41、期信号的频谱特点周期信号的频谱特点 (1)离散性离散性:是离散谱，每一条谱是离散谱，每一条谱线表示一个谐波分量线表示一个谐波分量; 谱线的高谱线的高度代表幅值和相位的大小。度代表幅值和相位的大小。(2)谐波性谐波性:谱线只出现在基波及谱线只出现在基波及各次谐波的频率处。各次谐波的频率处。 (3)收敛性收敛性:满足狄里赫利条件的满足狄里赫利条件的周期信号，其谐波幅值随谐波周期信号，其谐波幅值随谐波频率的增大而减小频率的增大而减小 。因此，工程测量中没有必要取因此，工程测量中没有必要取次数过高的谐波分量。次数过高的谐波分量。信号的带宽信号的带宽:按谐波幅值下降的程度来定义按谐波幅值下降的程度来定义

42、 1.1.周期信号傅立叶级数（复习）周期信号傅立叶级数（复习）2022( )dTTax ttT2022( )cosdTnTax tnt tT2022( )sindTnTbx tnt tT三角函数形式三角函数形式001( )cos()2nnnax tAnt22nnnbaAarctannnnba 复指形式复指形式0j0( )()entnx tX n02200022222000022222j1 22()( )cosd( )sind 22111( )cosd( )sind( )(cossin)d1( )dTTnnTTTTTTTTTjntTabjX nx tnt tx tnt tTTx tnt tjx

43、tnt tx tntjnttTTTx t etT2000()()Im()X nX nX n2Re00Im()arctan()nX nX nRe 1.1.周期信号傅立叶级数（复习）周期信号傅立叶级数（复习）三角函数形式三角函数形式001( )cos()2nnnax tAnt复指形式复指形式0j0( )()entnx tX n01012020( )cos()cos(2).cos()2nnax tAtAtAnt00000000-j-j(1)-j2-j0000jj2j(1)j0000( )()e( (1)e.( 2)e()e(0)()e(2)e.(1)e()entntttttntntx tXnXnXX

44、XXXXnX n 1.1.周期信号傅立叶级数（复习）周期信号傅立叶级数（复习） 三角函数形式三角函数形式复指形式复指形式001( )cos()2nnnax tAnt0j0( )()entnx tX n 1.1.周期信号傅立叶级数（复习）周期信号傅立叶级数（复习） j ()( )( )( )( ) (cos ( )sin ( )( ) eXajbXjX 2.4 信号的频谱信号的频谱2.4.2 非周期信号的频谱非周期信号的频谱准周期信号准周期信号瞬变非周期信号瞬变非周期信号 除特别说明外，本书中提到的非周除特别说明外，本书中提到的非周期信号均指瞬变非周期信号期信号均指瞬变非周期信号 它们的频谱是不

45、一样的它们的频谱是不一样的1.准周期信号的频谱准周期信号的频谱离散性；离散性；(2) 收敛性：收敛性：003( )10sin()5sin( 5)44x ttt005105nA0054n34周期信号具有离散频谱，但具有离散频谱的不周期信号具有离散频谱，但具有离散频谱的不一定是周期信号。一定是周期信号。2.4.2 非周期信号的频谱非周期信号的频谱2. 瞬变非周期信号的频谱瞬变非周期信号的频谱周期信号的离散频谱线的频率间隔：周期信号的离散频谱线的频率间隔：02nnT非周期信号可看作是周期无限大的周期信号：非周期信号可看作是周期无限大的周期信号：则非周期信号的频谱线的频率间隔为则非周期信号的频谱线的频

46、率间隔为T lim2/0TnT所以所以瞬变非周期信号频谱线是连续的瞬变非周期信号频谱线是连续的非周期信号的频域分析手段是非周期信号的频域分析手段是傅立叶变换傅立叶变换。 2.4.2 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 1)1)傅立叶变换傅立叶变换 00()( )limlimTTX nXX nTf02j02( )edTntTX nTx tt jedtXx tt j1ed2tx tX傅立叶变换傅立叶变换 傅里叶逆变换傅里叶逆变换 非周期信号频谱密度非周期信号频谱密度 02j021()( )edTntTX nx ttT周期信号频谱周期信号频谱 j ()( )Re( )Im( )( ) eXXjXX (

47、 )X通常情况下，通常情况下，是复数，可表示为是复数，可表示为 ( )X幅值谱密度，简称幅频谱；幅值谱密度，简称幅频谱；( ) 相位谱密度，简称相频谱。相位谱密度，简称相频谱。2. 瞬变非周期信号的频谱瞬变非周期信号的频谱2) 非周期信号频谱密度非周期信号频谱密度 jedtXx ttRe( )Im( )XX实谱密度虚谱密度傅立叶逆变换式也可以表示为三角函数形式傅立叶逆变换式也可以表示为三角函数形式 jj()1ed21ed211cos( )djsin( )d22ttx tXXXtXt 01( )cos( )dx tXt 瞬变非周期信号的三角函数形式瞬变非周期信号的三角函数形式 01( )cos(

48、 )dx tXt 矩形窗函数（矩形脉冲）的频谱矩形窗函数（矩形脉冲）的频谱 , 20, 2Atw tt 2jj2j2j2ededeejcossincossinj2222sin22 sinsinc222ttWx ttAtAAjjAAA 矩形窗函数（矩形脉冲）的频谱矩形窗函数（矩形脉冲）的频谱 sinc2WA矩形窗函数的频谱矩形窗函数的频谱 sinc( )x波形图波形图 3)3)傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质 利用傅立叶变换的性质可利用傅立叶变换的性质可以由已知变换直接求得一以由已知变换直接求得一些末知变换些末知变换 已知信号已知信号x(t)的傅氏变换为的傅氏变换为1() ()XkkF x kt

49、那么利用尺度变换性质求得那么利用尺度变换性质求得x(kt)的傅氏变换为的傅氏变换为( ) ( )XF x t 4)4)傅立叶变换的条件傅立叶变换的条件 ( )x t(,) 在在范围内满足狄里赫利条件范围内满足狄里赫利条件( )x t( )dx tt 绝对可积，即绝对可积，即满足这些条件的信号包括满足这些条件的信号包括能量信号能量信号，例如例如矩形脉冲函数矩形脉冲函数、单边指数衰减信号单边指数衰减信号等。等。 1.1.单位脉冲函数单位脉冲函数, 0( ) 0, 0d= ttt( )d1tt1）定义：）定义： 1.1.单位脉冲函数单位脉冲函数2）乘积性：）乘积性： ( ) ( )(0) ( )f

50、ttft000( ) ()( ) ()f tttf ttt 1.1.单位脉冲函数单位脉冲函数3）筛选性：）筛选性： d0 d0t x ttt xtx 0000ddttx ttttx ttx t连续信号采样的依据连续信号采样的依据 4）与其他函数的卷积）与其他函数的卷积 ( )* ( )( ) ()d ( ) ()d( )x ttxtxtx t 000( )* ()( ) ()d ()x tttxttx tt 1.1.单位脉冲函数单位脉冲函数 1.1.单位脉冲函数单位脉冲函数5）频谱）频谱 ： j0( ) ( )( )ede1tXFttt均匀谱均匀谱 2.2.正、余弦函数的傅氏变换正、余弦函数的

51、傅氏变换00jj01sinj(ee)2ttt00jj01cos(ee)2ttt0j0e2 ()t 000001sinj2()2()2j ()()Ft =+-=+-000001cos2 ()2 ()2= ()()Ft =+-+- 2.2.正、余弦函数的傅氏变换正、余弦函数的傅氏变换 3.3.周期单位脉冲序列的傅氏变换周期单位脉冲序列的傅氏变换( )()()(1) ).(2 )()( )()(2 )(1) )()TnttnTtnTtnTtTtTttTtTtnTtnT0j0( )()ektTktX k0022jj022111()( )ed( )edTTktktTTTX kttttTTT0j1( )e

52、ktTktT0002( )()()kkXkkT 00e2 ()jt 3.3.周期单位脉冲序列的傅氏变换周期单位脉冲序列的傅氏变换 4.4.常用功率信号的傅氏变换常用功率信号的傅氏变换 周期函数：周期函数：狄里赫利条件狄里赫利条件 傅立叶级数傅立叶级数 频率、幅值、相位都是随机的频率、幅值、相位都是随机的幅频谱和相频谱分析幅频谱和相频谱分析简谐信号周期信号复合周期信号确定性信号 准周期信号非周期信号瞬变信号各态历经信号平稳随机信号 随机信号非各态历经信号非平稳随机信号时域无限信号，不具备绝对可积条件时域无限信号，不具备绝对可积条件傅里叶变换傅里叶变换不是周期信号不是周期信号傅立叶级数傅立叶级数瞬

53、时信号：瞬时信号：狄里赫利条件狄里赫利条件 +绝对可积绝对可积傅立叶变换傅立叶变换 随机信号是时域无限信号，不具备绝对可积条件，不能直随机信号是时域无限信号，不具备绝对可积条件，不能直接进行傅里叶变换。接进行傅里叶变换。 而是用随机信号的自相关函数来进行傅里叶变换，得到的而是用随机信号的自相关函数来进行傅里叶变换，得到的是功率谱密度函数。是功率谱密度函数。1.1.功率谱密度函数功率谱密度函数1)1)自功率谱密度函数自功率谱密度函数j( )( )edxxSRj1( )( )ed2xxRS自功率谱密度函数与自相关函数是傅里叶变换对自功率谱密度函数与自相关函数是傅里叶变换对随机信号的频谱随机信号的频

54、谱 2011(0)lim( )( )d2TxxTRx t dtST1)1)自功率谱密度函数自功率谱密度函数01( )lim( ) ()dTxTRx t x ttTj1( )( )ed2xxRS信号的平均功率信号的平均功率 双边功率谱双边功率谱 ( )xS( )2( ), (0)( )0, (0)xxxGSG单边功率谱单边功率谱 ( )xG1)1)自功率谱密度函数自功率谱密度函数j( )( )edxxSR实偶函数实偶函数 随机信号的随机信号的自功率谱密度函数自功率谱密度函数j( )( )edxxSRj1( )( )ed2xxRS01( )lim( ) ()dTxTRx t x ttT jedtX

55、x tt j1ed2tx tX确定信号之瞬时信确定信号之瞬时信号的傅立叶变换号的傅立叶变换( )( )x tf t1)1)自功率谱密度函数自功率谱密度函数 1.1.功率谱密度函数功率谱密度函数随机信号的互功率谱密度函数随机信号的互功率谱密度函数单边功率谱单边功率谱 ( )xyGj( )( )edxyxySRj1( )( )ed2xyxyRS( )2( ), (0)( )0, (0)xyxyxyGSG01( )lim( ) ()dTxyTRx t y ttT2）互功率谱密度函数）互功率谱密度函数傅里叶变换对傅里叶变换对物理意义物理意义：描述频率域中两个信号相关程度：描述频率域中两个信号相关程度

56、2.2.自功率谱的估计自功率谱的估计巴塞伐尔定理：巴塞伐尔定理： 在时域中信号的总能量等于在频域中信号的总能量在时域中信号的总能量等于在频域中信号的总能量 21( )lim( )xTSXT有限时间有限时间T的样本记录的样本记录 221( )( )2( )( )xxSXTGXT数字信号数字信号 221( )( )2( )( )xxS kX kNG kX kN3. 相干函数相干函数 2.物理意义物理意义 1)定义定义222|( )|( )(0( )1)( )( )xyxyxyxySSS频谱内鉴定两信号相关程度的指标频谱内鉴定两信号相关程度的指标 0不相干不相干1 完全相干完全相干01受到干扰或受到干扰或系统具有非线性系统具有非线性 对所有频率，对所有频率， 2( )xy 3.3.相干函数相干函数)(tx油压脉动信号油压脉动信号)(ty油压管道振动信号油压管道振动信号 过小过大工作量会很大丢失有用信息 模拟信号模拟信号：单位脉冲序列信号：单位脉冲序列信号：采样信号采样信号：( )( )( )( )()sTsnx tx ttx ttnT( )() ()sssnx tx nTtnT11( ) ( )( )(