连续时间信号的傅利叶变换及MATLAB实现

1、Matlab应用实践课程设计课程设计任务书学生姓名： 专业班级：电子科学与技术0803 班 指导教师： 工作单位： 信息工程学院 题 目: 连续时间信号的傅利叶变换及MATLAB实现 初始条件：MATLAB软件，微机要求完成的主要任务: 利用MATLAB强大的图形处理功能，符号运算功能和数值计算功能，实现连续时间非周期信号频域分析的仿真波形；1、用MATLAB实现典型非周期信号的频域分析；2、用MATLAB实现信号的幅度调制；3、用MATLAB实现信号傅立叶变换性质的仿真波形；4、写出课程设计报告。时间安排：学习MATLAB语言的概况 第1天学习MATLAB语言的基本知识 第2、3天学习MAT

2、LAB语言的应用环境，调试命令，绘图能力 第4、5天课程设计 第6-9天答辩 第10天指导教师签名： 年 月 日系主任（或责任教师）签名： 年 月 日 目 录摘 要IAbstractII1绪 论12 用MATLAB实现典型非周期信号的频域分析22.1指数信号时域波形图、频域图22.2偶双边指数信号时域波形图、频域图22.3奇双边指数信号时域波形图、频域图32.4直流信号时域波形图、频域图32.5符号函数信号时域波形图、频域图42.6 单位阶跃信号时域波形图、频域图42.7 单位冲激信号时域波形图、频域图52.8 门函数信号时域波形图、频域图63用MATLAB实现信号的幅度调制74用MATLAB

3、实现信号傅立叶变换性质的仿真波形114.1尺度变换特性114.2时移特性124.3频移特性154.4时域卷积定理164.5对称性174.6 微分特性18结束语21参考文献22附录23 摘 要傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。连续时间信号与系统的时域分析是指直接在连续时间变量域内对信号和系统进行分析。时域分析法具有直观和物理概念清晰等优点，特别是随着计算机的普及和各种算法的优化改进，时域分析法得到

4、了越来越广泛的应用。关键词：傅立叶变换，连续信号处理,时域波形，频域波形 AbstractFourier transform to meet certain conditions can be expressed as a function of trigonometric functions (sine and / or cosine functions) or a linear combination of their points. In different fields of study, Fourier transform has many different variations,

5、 such as the continuous Fourier transform and discrete Fourier transform. Fourier analysis is the first analytical process as a thermal analysis tool is proposed.Continuous-time signals and systems refers to the time-domain analysis of variables directly in the continuous-time domain signal and syst

6、em analysis. Time domain analysis has a clear concept of visual and physical advantages, especially with the proliferation of computers and various algorithms to improve optimization, time domain analysis has been more widely used.Keywords: Fourier transform, continuous signal processing, time domai

7、n waveform, frequency domain waveform朗读显示对应的拉丁字符的拼音 字典 - 查看字典详细内容281 绪 论MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。MATLAB是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易

8、于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。MATLAB和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。本次课程设计介绍了用MATLAB实现典型非周期信号的频谱分析，用MATLA

9、B实现信号的幅度调制以及用MATLAB实现信号傅里叶变换性质的仿真波形。2 用MATLAB实现典型非周期信号的频域分析2.1指数信号时域波形图、频域图指数信号的时域表达式为，其时域波形图和频谱图如图2.1所示 其在matlab中用f=exp(-at)来实现图2.1 指数信号波形谱图2.2偶双边指数信号时域波形图、频域图偶双边指数信号时域表达式为对其进行傅立叶变换为:图1.5符号函数信号波形图 图2.2 偶双边指数信号时域及频域图2.3奇双边指数信号时域波形图、频域图奇双边指数信号时域表达式为：，傅立叶变换为： 其时域波形与频域波形如下图所示： 图2.3 奇双边指数信号时域与频域波形2.4直流信

10、号时域波形图、频域图直流信号f（t）=A根据指标要求，画出频率采样序列的图形图2.4 直流信号时域和频域波形2.5符号函数信号时域波形图、频域图符号信号的时域表达式为：，对其进行傅立叶变换为： 通过matlab实现波形如图2.5所示： 图2.5 符号函数信号时域频域波形2.6 单位阶跃信号时域波形图、频域图阶跃信号可以看作是幅度为1/2的直流信号与幅度为1/2的符号信号之和，即 显然它不满足绝对可积条件，不能直接求其FT,但可用近似的方法来求。其傅里叶变换为： 图2.6 单位阶跃信号时域和频域波形2.7 单位冲激信号时域波形图、频域图其时域表达式：傅里叶变换式为 图2.7单位冲激信号频谱图2.

11、8 门函数信号时域波形图、频域图 图2.8门函数信号波形及频谱图3 用MATLAB实现信号的幅度调制设信号f (t) 的频谱为F( jw) ,现将f (t) 乘以载波信号cos (w0t) ，得到高频的已调信号y(t ) ，即：y(t ) = f (t) cos (w0t) ，f (t) 称为调制信号。 从频域上看，已调制信号y(t ) 的频谱为原调制信号f (t) 的频谱搬移到±w 处，幅度降为原F( jw) 的1/2，即上式即为调制定理，也是傅里叶变换性质中“频移特性”的一种特别情形。注意：这里采用的调制方法为抑制载波方式，即y(t ) 的频谱中不含有cos( wot) 的频率分

12、量。MATLAB 提供了专门的函数modulate（）用于实现信号的调制。调用格式为：y=modulate(x,Fc,Fs,'method')y,t=modulate(x,Fc,Fs)其中，x 为被调信号，Fc 为载波频率，Fs 为信号x 的采样频率，method 为所采用的调制方式，若采用幅度调制、双边带调制、抑制载波调制，则method为am或amdsd-sc。其执行算法为y=x*cos(2*pi*Fc*t)其中y 为已调制信号，t 为函数计算时间间隔向量。下面举例说明如何调用函数modulate（）来实现信号的调制。例1：设信号f(t)=sin(100t),载波y(t)为

13、频率为400Hz 的余弦信号。试用MATLAB 实现调幅信号y(t ) ，并观察f (t) 的频谱和y(t ) 的频谱，以及两者在频域上的关系。解：在下面的MATLAB 的实现的程序中，为了观察f (t) 及y(t ) 的频谱，在这里介绍一个MATLAB 的“信号处理工具箱函数”中的估计信号的功率谱密度函数psd(),其格式是：Px，f=psd(x，Nfft，Fs，window，noverlap，dflag)其中，x 是被调制信号（即本例中的f (t) ），Nfft 指定快速付氏变换FFT 的长度，Fs为对信号x 的采样频率。后面三个参数的意义涉及到信号处理的更深的知识，在此暂不介绍。用MAT

14、LAB 完成本例的程序如下：Fs=1000; %被调信号x的采样频率Fc=400; %载波信号的载波频率N=1000; %FFT的长度n=0:N-2;t=n/Fs;x=sin(2*pi*50*t); %被调信号subplot(221)plot(t,x);xlabel('t(s)');ylabel('x');title('被调信号');axis(0 0.1 -1 1)Nfft=1024;window=hamming(512);noverlap=256;dflag='none'Pxx,f=psd(x,Nfft,Fs,window,no

15、verlap,dflag); subplot(222)plot(f,Pxx)xlabel('f(Hz)');ylabel('功率谱(X)');title('被调信号的功率谱')gridy=modulate(x,Fc,Fs,'am'); %已调信号subplot(223)plot(t,y)xlabel('t(s)');ylabel('y');axis(0 0.1 -1 1)title('已调信号')Pxx,f=psd(y,1024,Fs,window,noverlap,dflag);s

16、ubplot(224)plot(f,Pxx)xlabel('f(Hz)');ylabel('功率谱(Y)');title('已调信号的功率谱');grid上述程序的运行结果如图3.1 所示，其中左边上下两图为f (t) 及y(t ) 信号，即时域波形，右边上下两图分别为对应f (t) 及y(t ) 的功率谱。由图可见， f (t) 的功率频谱处在频域的频率f=400HZ 为中心的两侧、偏移值为50HZ的双边带。显然，上述结果与信号与系统分析的理论结果完全一致。 图3.1 被调信号、已调信号及其谱线需要指出的是，一个信号的频谱与功率谱在数值上及定义

17、上是有差别的，但两者的联系也是很密切的，其关系为：其中T 为信号的周期。此外，也可以直接生成调制信号 ，并用MATLAB 编程求f1(t) 的频谱。用下例说明。例2 设 ,试用MATLAB 画出f (t) 、f1(t) 的时域波形及其频谱，并观察傅里叶变换的频移特性。解：实现该过程的MATLAB 命令程序如下：R=0.005;t=-1.2:R:1.2;f=Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1);f1=f.*cos(10*pi*t); %已调信号subplot(221)plot(t,f)xlabel('t');ylabel('f(t)');su

18、bplot(222);plot(t,f1);xlabel('t');ylabel('f1(t)=f(t)*cos(10*pi*t)');W1=40;N=1000;k=-N:N;W=k*W1/.N;F=f.*exp(-j*t'*W)*R; %求F(jw)F=real(F);F1=f1.*exp(-j*t'*W)*R; %求F1(jw)F1=real(F1);subplot(223);plot(W,F);xlabel('w');ylabel('F(jw)');subplot(224);plot(W,F1);xlabel

19、('w');ylabel('F1(jw)');程序运行结果如图所示。由图3.2可见， f1( t) 的频谱F1( jw) 即是将f (t) 的频谱F( jw) 搬移到±10处，且幅度为F( jw) 的幅度的一半。图3.2 原信号f (t) 、调制信号f1( t) 的波形及其频谱F( jw) 、F1( jw)4 用MATLAB实现信号傅立叶变换性质的仿真波形4.1尺度变换特性若，则傅立叶变换的尺度变换特性为： （4-1）下面举例说明傅立叶变换的尺度特性。例3：设，用MATLAB求的频谱，并与的频谱进行比较。解：实现该过程的MATLAB程序如下：R=0.0

20、2;t=-2:R:2;f=Heaviside(2*t+1)-Heaviside(2*t-1)W1=2*pi*5;N=500;k=0:N;W=k*W1/N;F=f*exp(-j*t'*W)*R;F=real(F);W=-fliplr(W),W(2:501);F=fliplr(F),F(2:501);subplot(2,1,1);plot(t,f);xlabel('t');ylabel('f(t)');title('f(t)=u(t+1)-u(t-1)');subplot(2,1,2);plot(W,F);xlabel('w'

21、);ylabel('F(w)');title('f(2t)的付氏变换F(w)'); 图4.1.1 f(2t)的频谱图 将程序中2*t改为t并运行即可得一下频谱图： 图4.1.2 f(t)的频谱图4.2时移特性若，则傅立叶变换的时移特性为： （4-2）下面举例说明傅立叶变换的时移特性。例4：设，试用MATLAB绘出，及其频谱（幅度谱和相位谱），并对二者频谱进行比较。解：求解程序命令如下： r=0.02;t=-5:r:5;N=200;W=2*pi*1;k=-N:N;w=k*W/N;f1=1/2*exp(-2*t).*Heaviside(t);F=r*f1*exp(-

22、j*t'*w);F1=abs(F);P1=angle(F);subplot(311);plot(t,f1);grid;xlabel('t');ylabel('f(t)');title('f(t)');subplot(312);plot(w,F1);xlabel('w');grid;ylabel('F(jw)');subplot(313);plot(w,P1*180/pi);grid;xlabel('w');ylabel('P(度)');运行结果如图4.2所示。将求解频谱的程序

23、进行适当修改，即可得到求解频谱的程序，即将t=-5:r:5修改为t=-2:r:2；f1修改为f1=1/2*exp(-2*(t-0.3).*Heaviside(t-0.3)；将ylabel(f(t)修改为ylabel(y(t)；将title(f(t) 修改为title(y(t)。修改后程序运行结果如图4.3所示。图4.2 f(t)的频谱图图4.3 y(t)=f(t-0.3)的频谱图4.3频移特性若，则傅立叶变换的频移特性为： 下面举例说明傅立叶变换的频移特性。例5：设，试用MATLAB绘出及的频谱和，并与的频谱进行比较。解: R=0.02;t=-2:R:2;f=Heaviside(t+1)-He

24、aviside(t-1); f1=f.*exp(-j*20*t);f2=f.*exp(j*20*t);W1=2*pi*5;N=500;k=-N:N;W=k*W1/N;F1=f1*exp(-j*t'*W)*R;F2=f2*exp(-j*t'*W)*R;F1=real(F1);F2=real(F2);subplot(121);plot(W,F1);xlabel('w');ylabel('F1(jw)');title('F(w)左移到w=20处的频谱F1(jw)');subplot(122);plot(W,F2);xlabel('

25、;w');ylabel('F2(jw)');title('F(w)右移到w=20处的频谱F2(jw)');运行结果如下图所示：图4.4 傅立叶变换的频移特性4.4时域卷积定理若，则： （4-3）例6：设，试用MATLAB绘出，及，验证式（4-3）。解：MATLAB程序如下：R=0.05;t=-2:R:2;f=Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1);subplot(321)plot(t,f)xlabel('t');ylabel('f(t)');y=R*conv(f,f);n=-4:R:4;subplot(

26、322);plot(n,y);xlabel('t');ylabel('y(t)=f(t)*f(t)');axis(-3 3 -1 3);W1=2*pi*5;N=200;k=-N:N;W=k*W1/N;F=f*exp(-j*t'*W)*R;F=real(F);Y=y*exp(-j*n'*W)*R;Y=real(Y);F1=F.*Fsubplot(323);plot(W,F);xlabel('w');ylabel('F(jw)');subplot(324);plot(W,F1);xlabel('w');

27、ylabel('F(jw).F(jw)');axis(-20 20 0 4);subplot(325);plot(W,Y);xlabel('w');ylabel('Y(jw)');axis(-20 20 0 4);运行结果如下：图4.5 时域卷积验证示例图4.5对称性若，则傅立叶变换的对称性为： （4-4）例7：设，已知信号的傅立叶变换为，利用MATLAB求的傅立叶变换，验证对称性。解：MATLAB程序为： r=0.01;t=-15:r:15;f=sin(t)./t;f1=pi*(Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1);N=5

28、00;W=5*pi*1;k=-N:N;w=k*W/N;F=r*sinc(t/pi)*exp(-j*t'*w);F1=r*f1*exp(-j*t'*w);subplot(221);plot(t,f);xlabel('t');ylabel('f(t)');subplot(222);plot(w,F);axis(-2 2 -1 4);xlabel('w');ylabel('F(w)');subplot(223);plot(t,f1);axis(-2 2 -1 4);xlabel('t');ylabel(&

29、#39;f1(t)');subplot(224);plot(w,F1);axis(-20 20 -3 7);xlabel('w');ylabel('F1(w)');运行结果如下： 图4.6 傅立叶变换对称性4.6 微分特性傅里叶变换的时域微分特性为：若，则: 下面举例说明傅里叶变换的一阶微分特性。例7: 已知f (t) 的波形如图9.13 所示，试用MATLAB求f (t) 及df (t)/ dt的傅里叶变换，F(jw) 及F1(jw)，并验证时域微分特性。 图4.7 f(t)的波形解：在MATLAB中，有专门的三角波形生成函数sawtooth()，其格

30、式为：f = sawtooth(t, width)其中width(0<width1的标量)用于确定最大值的位置，即当t从0到2´ width变化时，f从-1上升到+1，然后当t从2´ width至2时f(t)又线性地从+1下降到-1，周而复始。当width=0.5时，可产生一对称的标准三角波。利用此三角波与一门信号g2(t)相乘，再进行必要的幅度调整（乘系数2/ ），并时移（左移）可得到f(t)：又设f 1 ( t) = df( t)/dt，其波形为： 图4.8 f1( t)波形图f1( t) 可用阶跃函数Heaviside()生成：即验证：r=0.01;t=-5:r

31、:5;f1=Heaviside(t+pi)-Heaviside(t-pi);f2=Heaviside(t+pi)-2*Heaviside(t)+Heaviside(t-pi);f=pi/2*(sawtooth(t+pi,0.5)+1).*f1;w1=2*pi*5;N=200;k=-N:N;w=k*w1/N;F=r*f*exp(-j*t'*w);F2=r*f2*exp(-j*t'*w)F3=F2./(j*w);subplot(411);plot(t,f2);set(gca,'box','off')xlabel('t');ylabel

32、('f2(t)');subplot(412);plot(t,f);set(gca,'box','off')xlabel('t');ylabel('f(t)');subplot(413);plot(w,F);set(gca,'box','off')xlabel('w');ylabel('F(jw)');subplot(414);plot(w,F3);set(gca,'box','off')xlabel('w'

33、;);ylabel('F3(jw)');程序运行结果如图4.8所示。结果表明，F( jw) 与一致 图4.9 时域微分特性的例子结束语通过MATLAB的学习，我了解到了电力电子变流技术在实际生活中的重要作用，并且通过这次课设，我知道了MATLAB的一些功能以及如何运用MATLAB来进行仿真，熟悉了MATLAB在数字信号处理过程中的应用，并能正确地运用它对语音信号进行采样、设计滤波器、分析频谱特性等。能将之前所学的理论知识和这次的设计及仿真结合起来，掌握了滤波器的设计和正确使用，加深了对信号处理的理解。由于课上老师讲的很抽象，并没有经过专业的训练，所以并不知道如何才能正确的书写程

34、序，而且由于时间关系，在课设中的程序并非由自己所写，因此只能在互联网上寻找类似的程序，并在读懂程序的情况下进行改进，并实现仿真。为了本次课设，我查阅了很多资料，在这个过程中我学会了很多课上学不到的东西，并且对课上抽象的理论有了更深刻的理解和认识，课设给了我很多，虽然刚开始有很多不会，但是查找资料的过程本身就是一个学习的过程，它使我能将之前所学的理论知识和这次的设计及仿真结合起来，参考文献1 MATLAB及在电子信息课程中的应用，陈怀琛，电子工业出版社，2003.07（第二版）2 信号与系统分析及MATLAB实现，梁虹编，电子工业出版社，2002.023 MATLAB6.X信号处理，邹鲲等编，清

35、华大学出版，2002.05（第一版）4 精通MATLAB6.5版，张志涌编，北京航空航天大学出版社，2003.03（第一版）5 MATLAB M语言高级编程，陈永春编，清华大学出版社，2004.01（第一版）6 MATLAB程序设计，阮沈勇、王永利等编，电子工业出版社，2004.01（第一版）附录单边指数信号r=0.02;t=-2:r:2;N=200;W=2*pi*1;k=-N:N;w=k*W/N;f1=exp(-2*t).*Heaviside(t); %定义f(t)F=r*f1*exp(-j*t'*w); %求f(t)的傅里叶变换F(j)F1=abs(F); %求F(j)的幅度P1=

36、angle(F); %求F(j)的相位subplot(311);plot(t,f1);grid;axis(-2 2 -1 2);xlabel('t');ylabel('f(t)');title('f(t)');subplot(312);plot(w,F1);grid;axis(-2 2 -2 2);xlabel('w');ylabel('幅度');subplot(313);plot(w,P1*180/pi);grid;axis(-2 2 -2 2);xlabel('w');ylabel('相

37、位(度)');%End偶双边指数信号syms t v w x phase im re; %定义符号变量f = exp(-2*abs(t); %f(t)=exp(-2*abs(t)Fw = fourier(f); %求傅里叶变换subplot(311); ezplot(f); %绘制f(t)时域波形axis(-2 2 0 1.1);title('偶双边指数信号');subplot(312);ezplot(abs(Fw); %绘制幅度谱 title('幅度谱');im = imag(Fw); %计算F(w)虚部 re = real(Fw); %计算F(w)实

38、部phase = atan(im/re); %计算相位谱 subplot(313);ezplot(phase); %绘制相位谱title('相位谱');%End直流信号display('Please input the value of a') %屏幕提示输入a值a = input('a = '); %键盘输入a值syms t; %定义符号变量f = exp(-a*abs(t); subplot(121);ezplot(f); %绘制双边指数信号的波形axis(-2*pi 2*pi 0 1);ylabel('时域波形');F =

39、fourier(f); %求傅里叶变换subplot(122);ezplot(abs(F); %绘制幅度频谱axis(-3 3 0 2/a);ylabel('幅度频谱');%End阶跃信号syms w;xw = 1/(j*w) %0.5*sgn(t)的频谱ezplot(imag(xw); %绘制其虚部axis(-3 3 -1.5*pi 1.5*pi);hold on;y = 0:0.01:pi;plot(0,y); %绘制直流成分频谱y = pi:pi;plot(0,y,'');title('阶跃信号频谱');xlabel('omega&

40、#39;);axis(-pi pi -6 6);x = -pi:0.001:pi; %绘制横坐标plot(x,0);y = -6:0.01:6; %绘制纵坐标plot(0,y);%End门函数信号R=0.02;t=-2:R:2;f=Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1);W1=2*pi*5; %频率宽度N=500;k=0:N;W=k*W1/N; %采样数为N，W为频率正半轴的采样点F=f*exp(-j*t'*W)*R; %求(jw)F=real(F);W=-fliplr(W),W(2:501); %形成负半轴及正半轴的2N+1个频率点WF=fliplr(F),F(2

41、:501 ); %形成对应于W的F（jW）的值subplot(2,1,1);plot(t,f);xlabel('t');ylabel('f(t)');title('f(t)=u(t+1)-u(t-1)');subplot(2,1,2);plot(W,F);xlabel('w');ylabel('F(w)');title('f(t)的付氏变换F（w）');奇双边指数信号syms t %定义符号变量f = exp(-2*abs(t)*sym('sign(t)'); %创建奇双边指数信号的符号表达式 sub