第三节　第2课时　精研题型明考向-圆的方程、直线与圆的位置关系2026年高三数学第一轮总复习

精研题型明考向——圆的方程、直线与圆的位置关系第2课时CONTENTS目录123课前高考真题集中研究——明考情课堂常考题型逐一例析——赢高考课时跟踪检测课前高考真题集中研究——明考情01

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4.(2022新课标Ⅰ卷·考查公切线问题)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程

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解析：法一：如图，因为圆x2+y2=1的圆心为O(0，0)，半径r1=1，圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心为A(3，4)，半径r2=4，所以|OA|=5，r1+r2=5，所以|OA|=r1+r2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线l1的方程为x=-1.

法二：根据题意，精确作出两圆(需用到尺规)，由图形可直观快速看出直线x=-1是两圆的一条公切线，经验证符合题意，故可填x=-1.答案：x=-1(或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0)5.(2022新课标Ⅱ卷·考查对称问题、直线与圆的位置关系)设点A(-2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点，则a的取值范围是

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常规角度1.圆的方程.主要考查圆的方程的求法，圆的最值问题.2.直线与圆的位置关系.主要考查圆的切线方程、圆的弦长问题创新角度1.与三角形(或四边形)结合求面积问题，与向量、三角函数交汇考查最值或范围问题.2.与多项选择题相结合考查开放性问题把脉考情课堂常考题型逐一例析——赢高考02[典例]

(1)已知圆M与直线3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切，圆心在直线y=-x-4上，则圆M的方程为

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)A.(x+3)2+(y-1)2=1 B.(x-3)2+(y+1)2=1C.(x+3)2+(y+1)2=1 D.(x-3)2+(y-1)2=1命题视角一求圆的方程√

(2)(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(-1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为

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1.求圆的方程的2种方法(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.方法技巧2.确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线.

针对训练√

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命题视角二弦长问题√

方法技巧

1.已知圆C：(x-3)2+(y-1)2=3及直线l：ax+y-2a-2=0，当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为

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解析：由l：ax+y-2a-2=0得a(x-2)+y-2=0，∴不论a取何值，直线l恒过点P(2，2).∵12+12=2<3，∴点P(2，2)在圆C内.故当直线l垂直CP时，直线l被圆C截得的弦长最短，此时kCP=-1，∴kl=1，故直线l的方程为x-y=0.答案：x-y=0针对训练

命题视角三切线问题

求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法方法技巧几何法当斜率存在时，设为k，则切线方程为y-y0=k(x-x0)，即kx-y+y0-kx0=0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证代数法当斜率存在时，设为k，则切线方程为y-y0=k(x-x0)，即y=kx-kx0+y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ=0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证提醒：设切线方程时一定要注意斜率不存在的情况.

针对训练√

√[典例]

(1)(多选)已知圆C1：(x-1)2+(y-3)2=11与圆C2：x2+y2+2x-2my+m2-3=0，则下列说法正确的是

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)A.若圆C2与x轴相切，则m=2B.若m=-3，则圆C1与圆C2相离C.若圆C1与圆C2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为4x+(6-2m)y+m2+2=0D.直线kx-y-2k+1=0与圆C1始终有两个交点命题视角四圆与圆的位置关系√√

(2)与直线x+y=0和圆x2+y2-8x-8y+24=0都相切的半径最小的圆的标准方程是

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[答案]

(x-1)2+(y-1)2=2

方法技巧1.公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.2.处理两圆相切问题的2个步骤定性必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切、外切两种情况讨论转化将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)1.(2023·濮阳模拟)已知圆C1：x2+y2-kx+2y=0与圆C2：x2+y2+ky-2=0的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为

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)A.(1，-1) B.(-1，-1)C.(-1，1) D.(1，1)针对训练√

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03课时跟踪检测一、综合练——练思维敏锐度1.若直线x+my=2+m与圆x2+y2-2x-2y+1=0相交，则实数m的取值范围为(

)A.(-∞，+∞) B.(-∞，0)C.(0，+∞) D.(-∞，0)∪(0，+∞)√

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4.过点(-4，0)作直线l与圆x2+y2+2x-4y-20=0交于A，B两点，若|AB|=8，则直线l的方程为

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)A.5x+12y+20=0B.5x+12y+20=0或x+4=0C.5x-12y+20=0D.5x-12y+20=0或x+4=0√

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3.如图，已