矩阵论 11 满秩分解与奇异值分解-_第1页
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矩阵论 11 满秩分解与奇异值分解-_第3页
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文档简介

1、 é s1 ê ê 令 å= ê ê ê ê ëO s2 . . Où ú ú ú ，则 V H A H AV = å ú ú sn ú û -1 2 令 UH = å -1 V H A H , ® U = AV å -1 ，则 UHU = å (V H A H AV å -1 = In -1 即 U 也是酉矩阵，而且 U H AV = å V H A H

2、AV = å 证毕 酉对角分解的求法正如证明中所给：先对 A H A 对角化（酉对 角化） ，求出变换矩阵 V ，再令 U = AV å 3. 一般矩阵的奇异值分解 m´n 定理：设 A Î Cr ，则存在 m 阶酉矩阵 U 及 n 阶酉矩阵 V ，使 -1 即可。 U H AV = é s1 ê ê ê ê ê0 ê ë ù s2 Oú ú r行 O ú ú sr ú O Oú û (m - r

3、 行 r列 (n - r 列 Où ú ú H úV ú ú Oú û 0 即 é s1 ê ê A =Uê ê ê ê ëO s2 . sr 证 ： 首 先 考 虑 A H A 。 因 为 rank(A H A = rank(AA H = rankA ， 故 ´n A H A Î Cn r ， 而且是厄米、半正定的，存在 n 阶酉矩阵 V ，使 102 2 é s1 ê ê V H (

4、A H AV = ê ê ê ê ëO s2 2 . 2 sr Où ú ú ú ú ú Oú û n´n | V2 é s1 ê ê 令å= ê ê ê ê ëO H H s2 . . Où ú ú ú， V= ú ú sr ú û V1 r列 (n - r 列 则 é V1H

5、 (A H AV1 V (A AV = ê H H ë V2 (A AV1 V1H (A H AV1 = å 2 V1H (A H AV2 ù ú= V2H (A H AV2 û éå 2 ê ê ë O Où ú Oú û V1H (A H AV2 = Or ´( n -r V2H (A H AV2 = O( n -r ´( n -r 令 U1 = AV1 å -1 H 则 U1 AV1 = å ，又 (

6、AV2 H (AV2 = 0 ® AV2 = 0 在 U1 的基础上构造酉矩阵 U = U 1 | U 2 ，即 U H U = I 这由前面基扩充定理可知是可行的， H H U1 U1 = I r , U1 U 2 = Or ´( n -r , U H 2 U 2 = I n -r 故 H H é U1 ù é U1 AV U AV = ê H ú A V1 V2 = ê H 1 ëU2 û ë U 2 AV1 H H U1 AV2 ù ú H U 2 AV2 û 其中已知 H U1 AV1 = å H 而 U1 AV2 = 0, U H 2 AV2 = 0 (Q AV2 = 0 H H UH 2 A

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