现代控制理论 2-4 系统的传递函数矩阵

1、第二章 线性系统的状态空间分析法 1 线性系统的状态空间描述 2 线性定常连续系统的分析 3 线性定常离散系统的分析 4 系统的传递函数矩阵 一、定义及表达式 零初始条件下，输出向量的拉氏变换式与输入向量 的拉氏变换式之间的传递关系传递函数矩阵。 & x(t = Ax(t + Bu(t sX(s = AX(s + BU (s y (t = Cx(t + Du(t Y(s = CX(s + DU(s X(s = (sI A BU (s 1 Y(s = C(sI A BU (s + DU(s = G (s U(s 1 G (s = C(sI A B + D 1 q p 1 Y1 (s G11 (s

2、 G12 (s L G1 p (s U1 (s Y (s G (s G (s L G (s U (s 22 2p 2 = 21 2 M M M M M Yq (s Gq1 (s Gq 2 (s L Gqp (s U p (s Y1 (s = G11 (s U1 (s + G12 (s U 2 (s + L + G1 j (s U j (s + L + G1 p (s U p (s Yi (s = Gi1 (s U1 (s + Gi 2 (s U 2 (s + L + Gij (s U j (s + L + Gip (s U p (s Yq (s = Gq1 (s U1 (s + Gq 2 (s

3、 U 2 (s + L + Gqj (s U j (s + L + Gqp (s U p (s Gij (s = Yi (s , i = 1,2, L , q; j = 1,2 ,L ,p U j (s 第 j 个输入与第i 个输出之间的传递函数。 例：已知系统的状态方程，求传递函数矩阵。 & x1 0 1 x1 1 0 u1 x = 0 2 x + 0 1 u 2 2 &2 y1 1 0 x1 y = 0 1 x 2 2 1 1 1 s 1 (s A -1 = = s 0 s + 2 0 1 解: G (s = C(sI A B + D 1 1 0 s = 0 1 0 s (s + 2 1

4、s+2 1 1 s(s + 2 1 0 = s 1 0 1 0 s+2 1 s (s + 2 1 s+2 传递 函数 组成 的矩 阵！ 2 例：已知系统的状态方程，求系统的传递矩阵。 & x1 0 1 x1 1 0 u1 x = 0 2 x + 0 1 u 2 2 &2 y1 1 0 x1 y = 0 1 x 2 2 1 1 s s (s + 2 1 G (s = C(sI A B + D = 1 0 s+2 u1 y1 u2 y1 解: 1 Y1 s Y = 2 0 1 s (s + 2 U1 1 U 2 s+2 u1 y2 u2 y2 1 1 Y1 = U1 + U2 s s (s + 2

5、 1 Y2 = U2 s+2 MATLAB 相关函数 MATLAB 相关函数 & x1 0 1 x1 1 0 u1 x = 0 2 x + 0 1 u , 2 2 &2 1 G (s = s 0 1 s (s + 2 1 s+2 y1 1 0 x1 y = 0 1 x 2 2 求传递函数矩阵 的表达式 A = 0 1; 0 -2; B = 1 0; 0 1; C= 1 0; 0 1; D = 0; sys = ss(A,B,C,D tf (sys 返回 3 Transfer function from input 1 to output. 1 #1: s #2: 0 Transfer func

6、tion from input 2 to output. 1 #1: -s2 + 2 s 1 -s+2 #2: 前页 波音777飞机俯仰 波音777飞机俯仰 通道动力学分析 通道动力学分析 ：攻角 q ：俯仰角速率 ：俯仰角 e ：升降舵偏转角 & 56.7 0 0.232 0.313 q = 0.0139 0.426 0 q + 0.0203 , y = 0 0 1 q & e & 0 56.7 0 0 4 利用 MABLAB 绘制阶跃响应曲线 A=-0.313 56.7 0; -0.0139 -0.426 0; 0 56.7 0; B=0.232; 0.0203; 0; C=0 0 1;

7、D=0; sysSS = ss(A,B,C,D sysTF = tf (sysSS step(sysSS, r, sysTF, bx; grid on; 返回 利用 MABLAB 绘制阶跃响应曲线 Step Response 7 6 5 Amplitude 4 3 2 1 0 0 5 10 15 Time (sec 20 25 30 返回 前页 5 二、开环与闭环传递矩阵 u、y、z、e 分别为输入、 U(s 输出、反馈、偏差向量， U(s、Y(s、Z(s、E(s分 Z(s 别为对应的拉氏变换式。 E(s G(s H(s Y (s G(s 前向通道传递矩阵；H(s 反馈通道传递矩阵 Z(s =

8、 H (s Y(s = H (s G (s E(s 开环传递矩阵：偏差向量至反馈向量之间的传递矩阵 H (s G (s 返回 相乘顺序与信号传递顺序相反！顺序不能交换！ Y(s = G (s E(s = G (s U(s Z(s U (s Z (s E(s G(s H(s Y (s = G (s U(s H (s Y(s = G (s U(s G (s H (s Y(s I + G (s H(s Y(s = G (s U(s Y(s = I + G (s H (s G (s U(s 1 闭环传递矩阵：输入向量至输出向量之间的传递矩阵 (s = I + G (s H (s G (s 1 返回 6

9、 E ( s = U (s Z ( s = U(s H (s Y(s = U(s H (s G (s E(s U (s Z (s E(s G(s H(s Y (s I + H(s G (s E(s = U(s E(s = I + H (s G (s U(s 1 返回 偏差传递矩阵：输入向量至偏差向量之间的传递矩阵 e (s = I + H (s G (s 1 U (s E(s 总结 Z (s G(s H(s Y (s 开环传递矩阵：偏差向量至反馈向量 H (s G (s 闭环传递矩阵：输入向量至输出向量 (s = I + G (s H (s G (s 1 偏差传递矩阵：输入向量至偏差向量 e

10、(s = I + H (s G (s 1 返回 7 例：已知双输入双输出 单位反馈系统的结构图： 求系统开环、闭环传递矩阵。 u1 z1 e 1 1 2s + 1 y1 1 解： Z1 (s = 1 E1 (s Y 2s + 1 u2 e2 z2 1 s +1 y2 Z 2 (s = E1 (s + Y2 1 E2 (s 2s + 1 反馈输出! 开环传递矩阵：偏差向量至反馈向量的传递矩阵 Z1 (s Z (s = 2 1 2s + 1 1 0 E (s 1 1 E2 (s s + 1 Z(s = G p (s E(s 前页 Z(s = G p (s E(s 1 开环 0 2s + 1 传递

11、G p (s = 1 1 矩阵 s + 1 u1 e 1 1 2s + 1 y1 1 u2 e2 1 s +1 y2 Y(s = G p (s E(s U (s Z(s E(s Gp(s Y (s 开环传递矩阵即 前向通路传递矩阵! 8 U (s Z(s E(s Gp(s Y (s u1 e 1 1 2s + 1 y1 1 u2 闭环传递矩阵：输入向量 至输出向量的传递矩阵 (s = I + G P (s G P (s 1 e2 1 s +1 y2 2s + 1 s 1 I + G P (s 1 = 2(2s+ 1 2(s + 2 0 s +1 s + 2 1 2(s + 1 (s = 2s

12、+ 1 2(s + 2 0 1 s + 2 闭环传递矩阵：输入向量至 输出向量之间的传递矩阵 u1 e 1 1 2s + 1 y1 1 1 2 s + 1 U (s = 1 U (s Y1 (s = 1 1 y2 u2 e2 1 1 2(s + 1 1+ 2s + 1 s +1 1 1 1 U1 (s Y2 (s = s + 1 U 2 (s + 1 1 1 1+ 1+ 1+ s +1 2s + 1 s +1 (s 1 2s + 1 = U 2 (s + U1 (s 2(s + 2 s+2 1 0 Y1 (s 2(s + 1 U1 (s Y (s = 2 s + 1 1 U 2 (s 2 2(

13、s + 2 s + 2 9 三、解耦系统的传递矩阵 Y1 (s G11 (s G12 (s L G1 p (s U1 (s Y (s G (s G (s L G (s U (s 22 2p 2 = 21 2 M M M M M Yq (s Gq1 (s Gq 2 (s L Gqp (s U p (s Y2 (s = G21 (s U1 (s + G22 (s U 2 (s + L + G2 p (s U p (s M Yq (s = Gq1 (s U1 (s + Gq 2 (s U 2 (s + L + Gqp (s U p (s Y1 (s = G11 (s U1 (s + G12 (s U 2 (s + L + G1 p (s U p (s 返回 每个输入量影响所有输出量；每个输出量受所