高数中七种积分的注记

1、高等数学中几种积分的注记摘要：高等数学课程中出现了多种积分形式，本文从积分概念、积分实际意义、计算公式等几个方面，用列表的形式加以总结、梳理、区分。关键字：定积分,二重积分,三重积分,曲线积分,曲面积分高等数学中我们学习了多种积分，以及他们的计算方法。如果不及时总结梳理所学的知识，往往会混淆概念，对公式一知半解，犹如走入了迷宫，满头雾水。做起题目不知从何下手。下面我们就定积分，二重积分，三重积分，第一类曲线、曲面积分，第二类曲线、曲面积分，从定义、实际意义、计算方法几个方面进行总结梳理。1积分定义上述几种积分的概念都可以划分为四步：“大化小、常代变、近似和、取极限”。因此定积分、二重积分、三重

2、积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分可以概括为如下的定义1，第二类曲线积分、第二类曲面积分可以概括为如下的定义2定义1 设为一有界几何体，f (M)是上的有界函数，把任意划分成n部分 (同时也表示第i部分的度量)，令 = max的直径，Mi为上任意取定的一点，作和式。如果当0时，总存在，则称此极限为f (M)在几何体上的积分，记为，即上述概念将前五种积分统一起来，分析如下表：积分类型定义式定积分区间a,bR二重积分平面区域DR2三重积分空间区域R3第一类曲线积分空间(平面)曲线LR3 (R2)()第一类曲面积分空间曲面R3定义2 设为N维空间中一光滑有向的有界几何体，且为m维(mN)，f (M

3、)是上的有界函数，把任意划分成n部分 (同时也表示第i部分的度量)，令 = max的直径，在某m维子空间的投影为(也表示1的度量，其中符号有的方向决定)，Mi为上任意取定的一点，作和式。如果当0时，总存在，则称此极限为f (M)在有向几何体上对该m维空间的第二类积分，记为，即上述概念将后两种积分统一起来，分析如下表：积分类型定义式第二类曲线积分三维(二维平面)有向光滑曲线LR3 (R2);()第二类曲面积分光滑有向曲面R32上述积分的实际意义为了更直观地区分各积分的概念，了解他们之间的联系，现将其几何意义总结如下表：函数积分类型几何意义当f 0时定积分由曲线y=f (x),x轴,直线x=a,x

4、=b所围成的曲边梯形的面积二重积分以D为底，曲面z=f (x,y)为顶的曲顶柱体的体积三重积分占据空间密度为f (x,y,z)的几何体的质量第一类曲线积分以f (x,y)为点密度的曲线挂件L的质量第一类曲面积分以f (x,y,z)为面密度的曲面挂件的质量当f = 1时区间a,b的度量(长度)b - a区域D的度量(面积)SD区域的度量(体积)V3各种积分的计算(以直角坐标系为例)假设下面所涉及的函数都为积分区域上的连续函数，则其积分存在。计算积分的整体思想就是数学中常用的降维思想，即把重积分转化为定积分。(1)定积分的计算N-L公式：，其中 (2)重积分化为定积分(逐次积分)积分类型积分区域计算公式二重积分三重积分 (3)曲线与曲面积分化为定积分或重积分积分类型积分区域计算公式第一类曲线积分第二类曲线积分第一类曲面积分第二类曲面积分符号有的取向决定参考文献：1 同济大学数学系高等数学（第六版上下册）M北京：高等教育出版社，2007.42 华东师范大学数学系数学分析（第四版上