大学物理静电场练习题及答案

1、练习题7-1 力最大解:电Q q两个点电荷所带电荷之和为Q,它们各带电荷为多少时，相互间的作用这是一个条件极值问题。设其中一个点电荷带电q,则另一个点电荷带两点电荷之间的库仑力为由极值条件dF/dq0,得2Q又因为d2Fdq2120产这表明两电荷平分电荷Q时，它们之间的相互作用力最大。7-2两个相同的小球，质量都是m,带等值同号的电荷q,各用长为l的细线挂在同一点，如图7-43所示。设平衡时两线间夹角2很小。(1)试证平衡时有下列的近似等式成立：q2lx20mg式中x为两球平衡时的距离。(2)如果l=m,m=10g上的电荷量q是多少(3)如果每个球以1.010x=cm,则每个小球9cs-1的变

2、化率失去电荷，求两球彼此趋近的瞬时相对速率dx/dt是多少解：(1)带电小球受力分析如图解所示。小球平衡时，有TsinTcos由此二式可得Fmgtanmg图7-43练习题7-2图因为很小，可有tanX2l,再考虑到2q4x2可解得q2l2mg(2)由上式解出03mgx2.38108C(3)由于dxdt0mg2-q313dq2xdqdt3qdt带入数据解得1.40103m-1s合力的大小为Fxcl-12F1cos24令dF/dx0,2e2即有232e2x04x2232d28e2199324x2d28x4x2o52d2由此解得粒子受力最大的位置为7-4由相距较近的等量异号电荷组成的体系称电偶极子，

3、生物细胞膜及土壤颗粒表面的双电层可视为许多电偶极子的集合。因此，电偶极子是一个十分重要的物理模型。图7-45所示的电荷体系称电四极子，它由两个电偶极子组合而成，其中的q和l均为已知，对图7-44中的P点（OP平行于正方形的一边），证明当x?l时Ep3pl4ox4其中，p=ql称电偶极矩。解：电四极子可看成两个电偶极子的组合。设左边和右边两个电偶极子在P点产生的场强分别为E左和E右，由教材例题7-3可知E左p3方向向下40X2E右p3方向向上40x2其中，P=ql。P点处的合场强为233x2l2j|_由于上式可简化为2x?l方向向上3pl40x4证毕7-5如图7-46所示，长为l的细直线OA带电

4、线密度为，求下面两种情况下在线的延长线上距线的端点。点为b的P点的电场强度：(1)为常量，且0;(2)=kx,k为大于零的常量，(00x01)。POAx图7-46 练习题7-5用图解:荷元dq=(1)将带电直线分割成无数个长度元 dx, dx的坐标是x0它所带的电 dx, dq在P点产生的电场强度的大小为dE4 o因为所有电荷元产生的场强方向都相同,dxx b 2所以场强的矢量叠加可用代数方法相加。于是带电直线在P点产生的电场强度为E l- 04 o方向沿x轴的负方向。dxx b 21 _A_b b l40bbi同理同样取电荷微元dq=dEdx=kxdxkxdxkxdxlE204 x b 2l

5、nb- b方向沿x轴的负方向7-6 一个半径为R的半圆细环上均匀地分布电荷 Q求环心处的电场强度解：分析在求环心处的电场强度时， 不能 将带电半圆环视作点电荷。现将其抽象为带电 半圆弧线.在弧线上取线元dl ,其电荷dq dl ,此电荷元可视为点电荷，它在 O R点的电场强度为dE 41 黑04 0 R因圆环上电荷对y轴呈对称性分布，电场分布也是轴对称的，则有ExLdEx 0点。的合电场强度为习题7-6用图E EyL-dEyL- dEsin1L40dq2 sin R其中，负号表示场强方向与y方向相反。Q将dq dl ,RdlRd ,带入上式，积分得Q2 2 R2Q.22sin420R2负号表示

6、场强方向与y方向相反7-7一个半径为R的带电圆盘，电荷面密度为，求：（1）圆盘轴线上距盘心为x处的任一点P的电场强度；（2）当R-oo时，P点的电场强度为多少（3）当x?R时，P点的电场强度又为多少练习题7-7用图解：（1）在半径为R的带电圆盘上取内半径为r、外半径为r+dr的细圆环,如图所示。利用教材中例题7-5的结果可知，该细圆环上的电荷在P点产生的场强为dE4x dS22 3 20 x rx 2 rdro x2o 3 2r2于是，整个圆盘上的电荷在P点产生的场强为x rdrx22 1 2x2R2(1)当 R时，R ? x此时,上式可化为即此时可将带电圆盘看作无限大带电平面。（3）当x?R

7、时，可将带电圆盘看作点电荷，止匕时P点电场强度为4 R220xq4ox27-8图7-47为两个分别带有电荷的同心球壳系统设半径为R和R2的球壳上分别带有电荷Qi和Q2,求：（1） I、II 、川三个区域中的场强;（2）若Qi = Q2,各区域的电场强度又为多少画出 此时的电场强度分布曲线（即E r关系曲线）。解：（1）在区域I,做半径为rR2的球形高斯面。由于该高斯面内的电荷为Q+Q,由高斯定理可得S E31dS二一qi0iE34 r2Q1Q2E3 =Q1Q220（2）当Qi = Q2时，根据以上结果易知区域I的场强为Ei= 0区域II的场强为E2Qi4 0r2区域III的场强为E3= 0根据

8、上述结果可画出如图所示Er关系曲线。7-12 水分子的电偶极矩为6.1310-30C m ,如果这个电偶极矩是由一对点电荷e引起的（e为电子电量），那么，它们的距离是多少如果电偶极矩的取向与强度为106N C-1的电场方向一致, 需要多少能量（用eV表示）解：（1）由电偶极矩的定义要使这个电偶极矩倒转成与电场相反的方向PeqlI Pe l q（2）若使电偶极矩倒转6.1310 301.6 10 19需要能量为 A,3.83 10 11 (m)A q E l q E l2 1.6 10 19则2eEl106 3.83 10 111.610197.66105(eV)7-13计算练习题7-8中I、H

9、、ID区域中的电势。解：(1)根据题7-8所得I、H、田区域中的电场分布,E10;可得区域E 3.EE2 4 0r2;E3I的电势为1Q1Q2U1drrR1E1drrR2Q1% 4 0r2由此解得dr4r2drIRQ区域II的电势分布为U1U2 E?drrE2drE3dr3Qir区域in的电势分布为U3E ?drEsdr(2)若Q Q2 ,则区域I的电势为UiE dr r用E1dr rE2dror2dr区域n的电势为Qi40U2E ?drR2E2drrQi14 0 r区域III的电势为U3E?drE3dr0rr7-14“无限长”均匀带电圆柱面，半径为R,单位长度上带电量为+。试求其电势分布。(提示：选取距带电圆柱面轴线为R的P0点为电势零点)解：由于电荷分布具有轴对称性，所以应用高斯定理很容易求出电场强度分布为0(rR)20r电场强度方向垂直于带电圆柱面沿径向。选某一距带电直线为R的P0点为电势零点，如本题解图所示。当rR时P。RRUEdrEdrdrPrr20rInrInRIn202020r7-16同轴电缆是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱体构成，如图7图7-49练习题7-16用图49所示。设内圆柱体的电势为U1,半径为