定积分的概念定积分应用课件

1、定积分的概念定积分应用6.1 定积分的概念第6章 定积分及其应用二. 定积分的定义一. 曲边梯形的面积三. 定积分的性质定积分的概念定积分应用6.1 定积分的概念定积分的概念 在我国古代南北朝（公元在我国古代南北朝（公元 429 500 年）时，年）时，南朝的科学家祖冲之运用逐渐增加圆内多边形的边南朝的科学家祖冲之运用逐渐增加圆内多边形的边数，算出正多边形的面积，逼近相应的圆的面积，数，算出正多边形的面积，逼近相应的圆的面积，得到了得到了 近似值近似值. 在初等几何中，计算任意多边形面积时，常采在初等几何中，计算任意多边形面积时，常采用如下方法：首先将任意多边形划分为若干个小三用如下方法：首先

2、将任意多边形划分为若干个小三角形，分别计算各个三角形的面积，然后求和，得角形，分别计算各个三角形的面积，然后求和，得到任意多边形的面积。到任意多边形的面积。定积分的概念定积分应用 阿基米德运用这种方法，求得抛物线阿基米德运用这种方法，求得抛物线 与与 x 轴及直线轴及直线 x =1 所围成的平面图形面积的近似值所围成的平面图形面积的近似值.2xy 就是说，在计算复杂图形的面积时，可以先将就是说，在计算复杂图形的面积时，可以先将它划分为若干个容易算得面积的小块，并分别求出它划分为若干个容易算得面积的小块，并分别求出各小块图形的面积，然后求和，即得到原图形的面各小块图形的面积，然后求和，即得到原图

3、形的面积的近似值（边界线为直线时，可得精确值）积的近似值（边界线为直线时，可得精确值）. 如果在上述方法中引入极限过程如果在上述方法中引入极限过程, 会产生什么效果会产生什么效果?定积分的概念定积分应用6.1.1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 曲边梯形：三边为直线，其中有两边相互曲边梯形：三边为直线，其中有两边相互平行且与第三边垂直（底边），第四边是一条平行且与第三边垂直（底边），第四边是一条曲线，它与垂直于底边的直线至多有一个交点曲线，它与垂直于底边的直线至多有一个交点（这里不排除某直线缩成一点）（这里不排除某直线缩成一点）.1. 曲边梯形曲边梯形定积分的概念定积分应用2. 求曲边梯形的面积

4、求曲边梯形的面积 首先，我们重复阿基米德的做法：首先，我们重复阿基米德的做法： 分划分划代替代替求和求和得到曲边梯形的近似值，然后，引入极限过程，得到曲边梯形的近似值，然后，引入极限过程，求出曲边梯形的精确值求出曲边梯形的精确值.定积分的概念定积分应用Oxyab1x1ixix)(xfy , 0)( xf设 . ),()(baCxf , 1110bxxxxxxannii任意引入分点 )., 2 , 1( , , 1nixxnbaii个小区间成分将 . 1个小区间的长度表示第用ixxxiii称为区间的一个分法 T定积分的概念定积分应用1ixixi ,1则iiixx . )( :iiixfS小曲边梯

5、形面积对每个小曲边梯形均作上述的代替 . 的选择有关与iiS定积分的概念定积分应用Oxyab1x1ixix)(xfy . )( :11niiiniixfSS曲边梯形面积 . T 的选择有关及点与分法iS 极限过程是什么？如何求精确值？定积分的概念定积分应用Oxyab1x1ixix)(xfy , max | 1则令inixx . )(lim :10niiixfS曲边梯形面积 . T 的选择无关及点与分法极限存在与否，i定积分的概念定积分应用 ，杂平面图形面积的方法该过程告诉了我们求复 . 形面积的定义同时，也告知了平面图 想方法是：解决曲边梯形面积的思 . 取极限求和代替分划 处理的问题的结果，

6、即通常人们把这类方法所 . , )( 上的定积分在区间这种极限值，称为函数baxf定积分的概念定积分应用6.1.2 定积分的定义定积分的定义 . , , )( 且有界上有定义在设函数baxf , 1110bxxxxxxannii任意引入分点任意引入分点 )., 2 , 1( , , 1nixxnbaii个小区间成分将区间 , . 11iiiiiixxixxx个小区间的长度表示第用 , , )(lim 10 |的且该极限值与对区间存在若baxfniiix , , )( , T 上可积在则称函数的选择无关及点分法baxfi的定上在极限值称为记为 , )( ), , ()( baxfbaRxf .

7、)max| ( )(limd)( :110|ininiiibaxxxxfxxf 积积分分值值定积分的概念定积分应用定积分符号： . )(limd)(10|niiixbaxfxxf 定积分号；ba 积分下限；a 积分上限；b d)(被积表达式；xxf )(被积函数；xf d积分变量；中的xx . ,积分区间ba ) ( 积分变量的取值范围定积分的概念定积分应用关于定积分定义的几点说明 . , )( , T ),( d)( ) 1 (有关区间及只与的选择无关及点它与分法具体的数是一个极限值定积分baxfxxfiba . d)(d)(d)( )2(bababattfyyfxxf号无关：定积分与积分变

8、量的记定积分的概念定积分应用时，规定：当ba(3) .d)(d)( abbaxxfxxf时，规定：当ba(4) . 0d)( baxxf 0. | , , , , 0 | )5(xnnx却不一定有时个数当分点但是分点个数时定积分的概念定积分应用例例6.1.1存存在在，试试用用定定积积分分的的假假设设定定积积分分 102d xx定定义义求求其其积积分分值值。解解存存在在，从从而而可可用用特特殊殊的的因因为为定定积积分分 102d xx。划划分分和和取取点点来来计计算算 102d xx,/10nixni 等等份份，即即取取分分点点为为划划分分为为，将将区区间间;, 2 , 1ni ,/1 nxi,

9、/ nii 再再取取则则有有, 2 , 1ni niiixf1)( niiix12 ninni121)(定积分的概念定积分应用 ninni121)( niiixf1)( niin12316)12)(1(13 nnnn26)12)(1(nnn 所以所以iniixfxx 10102)(limd26)12)(1(limnnnn )12)(11(61nn .31 定积分的概念定积分应用 . ),()( ),()( baRxfbaCxf则若 , , )( 上单调、有界在若baxf . ),()( baRxf则6.1.3 定积分存在的条件定积分存在的条件定积分的概念定积分应用)( , , )(一类且仅有有

10、限个上有界在baxf . ),()( ,baRxf则间断点Oxyabc定积分的概念定积分应用 . ),(| )(| ),()( baRxfbaRxf则若 . 3 的逆不真定理 . 1, , 1 )( ,为无理数，为有理数例如xxxf.)(, 1)(;)(, 1)(1111baxxffabxxffniiniiiiiniiniiiii 全全取取无无理理数数时时，当当全全取取有有理理数数时时，有有无无理理数数。当当数数，又又个个小小区区间间内内都都既既有有有有理理因因为为，对对任任意意划划分分，每每定积分的概念定积分应用, , , ),()( badcbaRxf则若 . ),()(dcRxfOxya

11、bc d定积分的概念定积分应用6.1.4定积分的几何意义Oxyab)(xfy 1A2A3A ,d)(1caxxfAcd .d)(3bdxxfA , d)( 2dcxxfA由极限保号性：由极限保号性： , 0d)(caxxf, 0d)(dcxxf . 0d)(bdxxf面积：面积： .d)(321AAAxxfba定积分的概念定积分应用例6.1.2（见教材）定积分的概念定积分应用6.2 定积分的性质 由于定积分是一种和式的极限, 所以极限的某些性质在定积分中将有所反映. 在以下的叙述中, 假设所出现的函数均可积, 所出现的定积分均存在. 定积分的概念定积分应用.数乘以积分区间的长度常数的定积分等于

12、该常 ).(d为常数即有：kabkxkba 1 性质定积分的概念定积分应用证证 )( 2 线性性质性质 , d)(d)(d)()(bababaxxgxxfxxgxf . ,为常数、式中由定积分定义及极限运算性质：niiiixbaxgfxxgxf10|)()(limd)()(niiixniiixxgxf10|10|)(lim)(lim . d)(d)(babaxxgxxf定积分的概念定积分应用 )( 3 对区间的可加性对区间的可加性性质性质bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)( . ,bca其中证证 . ),()( , ),()( ),()( bcRxfcaRxfbaRxf , , T

13、则成为分点使点选择适当的分法c,)()()(bciicaiibaiixfxfxf , 0 | 由可积性即得的极限取xbccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(定积分的概念定积分应用证 )( 4 保保号号性性性性质质 . 0d)( , , 0)( baxxfbaxxf则若(小于零的情形类似. )由极限的保号性立即可知.Oxyab0A0)(xfy定积分的概念定积分应用 )( 5 单单调调性性性性质质 . d)(d)( , , )()( babaxxgxxfbaxxgxf则若Oxyab)(xfy )(xgy 0gfAA定积分的概念定积分应用 5 的推论的推论性质性质babaxxfxxfd| )

14、(| |d)(|Oxyab)(xfy | )(| xfy 定积分的概念定积分应用例1证证 , 0d)( . 0)( , ),()( baxxfxfbaCxf若且设 . , , 0)( baxxf证明： , 0)( 0 xf , , , 0)( baxxf设/ . )U( 2)()( 00 xxxfxf . 0)(2)(d)( , )U(, 00 xfxxfx则则取取 , 0d)( , 0d)( 故又baxxfxxf. 0d)(d)(d)(d)(babaxxfxxfxxfxxf . , , 0)( baxxf该矛盾说明： , 0使则至少bax , )U( , ),()( 0使由xbaCxf0d)

15、(baxxf0)(xf/有什么结论？换成定积分的概念定积分应用例2证证 , )()( , ),()( ),( xgxfbaCxgxf且设 . 1 ),()()( 的讨论即可证得由对例令xgxfxF . d)( d)( . , )()(babaxxgxxfbaxxgxf证明：/定积分的概念定积分应用 )( 6 估估值值定定理理性性质质 , , )( , 则最小值上的最大在分别为设baxfmM . )(d)()(abMxxfabmba证证. , )( ),()( baxMxfmbaRxf由于baxxfd)(所以abxbadbaxmabmd)( . )(dabMxMba定积分的概念定积分应用例4 .

16、 22dsin 21 24xxx证明： ,tan , 2,4 sin)( 则由令xxxxxxf证证0cos)tan(sincos)(22xxxxxxxxxf , 2)2( ,22)4( , 2,4)( fmfMxf且故得运用估值定理由 , ,)2,4()( , 0)( Cxfxf . 22)42(22dsin )42(221 24xxx定积分的概念定积分应用例例6.2.2 . d 212的值的值估计定积分估计定积分 xex 2-1, 2 , 1 )(2上上可可积积。，故故在在上上连连续续在在 xexf解解 ,2)(2xxexf 0., 0)( xxf得得令令, )2(, 1)0(,)1(41

17、effef而而,1 2 , 1 )(42 eexfx，最最小小值值为为上上的的最最大大值值为为在在故故所以所以 ),1(2( 1d )1(2(2142 xeex 3d 32142。即即 xeex定积分的概念定积分应用例例6.2.3 . d d 10310的大小的大小与与比较定积分比较定积分 xxxx2解解, 1 , 0 3232xxxx 且且至至少少有有一一点点使使上上有有在在 . d d 10310 xxxx2定积分的概念定积分应用 , , 21其算术平均值来说对于有限个量naaa .21naaaan )( ), , ()( 在区间现需求函数设xfbaCxf )( , ,的算处函数值任意的无

18、穷多个点上iixfxba ? , 你认为应该怎么做术平均值 f : a是数 下下面面看看看看另另一一个个问问题题定积分的概念定积分应用 :很自然的做法是 , ) , 2 , 1 ( , ,计算出函数相应首先nibaxi 的算术平均值 ,)()()(21nxfxfxffnn , , ,且与点如果该极限值存在的极限取然后n , , 则可以认为该极限上的分布状况无关在区间baxi :值为所求的算术平均值 .)()()(limlim21nxfxfxfffnnnn定积分的概念定积分应用 ).,()( , ),()( baRxfbaCxf所以由于 , , 则每个小区间的长度为等分分成将区间nba ). , 2 , 1 ( )(1niabnxi )( , , ,21算术平均值作为求函数取分点此外xfxxxn , , 得到于是的计算点nf ,)(1)()()(121iiinnxxfabnxfxfxff , , 得由定积分的定义的极限取n定积分的概念定积分应用 .d)(1)(lim 1 1baiiinxxfabxxfabf .d)( 1 )( , )( ),()( , baxxfabfbaxfbaCxf平均值为算术上的在则就是说 .d d)( babaxxxff通常也将它记为定积分的概念定积分应用 , ),()( babaCxf故至少存在一点由于 ,)( 即有使得f