有理数基本概念(经典绝版)

1、绵阳中学英才学校四初一期末复习之有理数之迟就智美创作有理数概念整理班级：姓名：(一)有理数：(1)整数与分数统称按界说分类：_按符号分类：有理数有理数零注：正数和零统称为；负数和零统称为；正整数和零统称为；负整数和零统称为.注意：都年夜于零，都小于零 .“唧不是，也不是.(3)用正数、负数暗示相反意义的量：如果用正数暗示某种意义的量，那么负数暗示其意义的量，如果负数暗示某种意义的量，则正数暗示其意义的量.如：若-5米暗示向东走 5米，则+3米暗示向走3米； 若+6米暗示 上升6米，则-2米暗示；+7C暗示零上7c, -7c则暗示.(4)有理数“0的作用:作用举例暗示数的性质0是自然数、是有理数

2、、是整数暗示没有3个苹果用+3暗示，没有平果用 0暗示暗示某种状态00C暗示冰点暗示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数(二)数轴(1)概念：规定了、和的直线注：、称为数轴的三要素，三者缺一不成(2)数轴的画法及罕见毛病分析画一条水平的；在这条直线上适当位置取一实心点作为： 确定向右的方向为，用暗示； 数轴画法的罕见毛病（ 3 ）有理数与数轴的关系一切有理数都可以用数轴上的暗示出来 .在数轴上， 右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数，正数都年夜于，负数都小于，正数年夜于一切负数.注意：数轴上的点不都是有理数，如 .（三）相反数（ 1 ）相反数：只有的两个数互称为相反数特别地， 0 的相

3、反数是；若a与b互为相反数，贝U a b,反之亦然 .（ 2 ）相反数的性质： 代数意义：只有的两个数叫做互为相反数，特别地， O 的相反数是 0相反数必需呈现，不能独自存在例如 +5 和互为相反数，或者说+5 是的相反数， 5 是的相反数，而独自的一个数不能说是另外，界说中的 “只有 ”指除以外，两个数，注意应与 “只要符号分歧”区分开例如 +3 与 3互为相反数，而 +3 与 2 虽然分歧，但它们不是相反数 几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于两侧，而且到原点的相等这两点是关于对称的 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上 “” 号即可一般地，数a 的相反数是；这里以 a 暗示任意

4、一个数，可以为、负数，也可以是任意一个代数式.注意 a纷歧定是注意：当a>0时，一a0（正数的相反数是数）；当 a=0 时， aO（0 的相反数是） ；当av 0时，aO （负数的相反数是）. 互为相反数的两个数的和为，即若a 与 b 互为，则 a+b=0 ，反之，若a+b=O,则a与b互为. 多重符号的化简：一个正数前面不论有几多个“ ”号，都可以全部；一个正数前面有个“ ”号，也可以把“ ”号全部去失落；一个正数前面有个 -”号，则化简后只保管一个 -' 号，即 负正”(其中 奇偶”是指正数前面的“'号的个数的，负正”是指化简的最后结果的.(四)绝对值(1)绝对值的代

5、数意义及几何意义 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是； 一个负数的绝 对值是它的；0的绝对值是. 绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上暗示数a的与的距离.数a的绝对值记作.、/-X-、日汪息：取绝对值也是一种，这个符号是“；求一个数的绝对值，就是根据性质绝对值符号.绝对值具有性，取绝对值的结果总是.任何一个有理数都是由部份组成：和它的，如：一5,符号是，绝对值是.(2)字母a的绝对值的分类,(a 0),(a 0),(a o),(a 0)或忖,(a 0)(3)利用绝对值比力两个负有理数的年夜小规则：两个负数，绝对值年夜的反而 步伐：计算两个负数的.比力这两个的年夜小.写由正确的判断结果

6、.如果若干个非负数的和为 0,那么这若干个非负数都必为例如：若 |a |b c 0,则a ,b ,c 知识点二：有理数运算(一)有理数比力年夜小同正：两数同号 同正： 同负： 1、 比较大小 两数异号（一正一负）：正数与0： _其中有0时负数与0： _大的数大_大的反而小_大于 _大于 0_小于 02、数形结合利用数轴比力有理数年夜小 .（二）有理数的加减法（ 1 ）有理数加法法则 同号两数相加，取相同的，并把绝对值. 绝对值不相等的异号两数相加，取的加数的符号，并用较年夜的减去较小的 . 一个数同 0 相加，仍得.（ 2 ）有理数加法的运算步伐法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以

7、获得加法的运算步伐： 确定和的； 求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的.（ 3 ）有理数加法的运算律两个加数相加，交换加数的位置，不变.即a+b=b+a（加法律） 三个数相加，先把前两个数相加， 或者先把后两个数相加，不变 .即 （a+b）+c=a+（b+c） （加法律）（ 4 ）有理数加法的运算技巧 分数与小数均有时，应先化为形式. 带分数可分为与两部份介入运算. 多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合得 若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合. 若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起. 相同的数可以先结合在一起.（ 5 ）有理数减法法则减去一个数，即是，即 a-b

8、=a+（）（ 6 ）有理数减法的运算步伐 把减号酿成加号（改变运算符号） 把减数酿成它的相反数（改变性质符号） 把减法转化为加法，依照加法运算的步伐进行运算.（ 7 ）有理数加减混合运算的步伐 把算式中的减法转化为加法； 省略加号与括号； 利用运算律及技巧简便计算，求出结果.注意：根据有理数减法法则，减去一个数即是加上，因此加减混合运算可以依据上述法则转酿成只有的运算，即酿成求几个正数，负数和 0 的和，这个和称为代数和 .为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式，（三）有理数的乘除法（ 1 ）有理数乘法法则两数相乘，同号得，异号得，并把相乘.任何数同相乘，都得0

9、.（ 2 ）有理数乘法的运算律两个数相乘，交换因数的位置，积相等 .即ab=（乘法结合律） 三个数相乘， 先把前两个数相乘， 或者先把后两个数相乘，积相等 .即abc=（乘法结合律） 一个数同两个数的和相乘，即是把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 . 即 a（b+c）= （乘法分配律）（ 3 ）有理数乘法法则的推广 几个不即是0 的数相乘，积的符号由的个数决定，当的个数是偶数时，积为；的个数是奇数时，积为 . 几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为.在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.( 4

10、) 有理数除法法则：除以一个不即是 0 的数，即是乘这个 数的 .即 a+b=a , (b w0)两数相除，同号得，异号得，并把绝对值，除以任何一个不即是 0 的数，都得0.( 5 )倒数及有理数除法 乘积为的两个数互为倒数.倒数是呈现的，独自一个数不能称为倒数；互为倒数的两个数的乘积一定；没有倒数；求一个非零有理数的倒数，只要把它的分子和分母即可(正整数可以看作分母为 1 的分数) . 注意：a,b互为倒数，则ab ； a,b互为负倒数，则ab .反 之亦然 . 有理数除法的运算步伐：首先确定商的，然后再求出商的绝对值.(四)有理数的乘方 1 ) 概念： 求 n 个相同因数的积的运算， 叫做

11、， 的结果叫做， 在 an 中， a 叫做， n 叫做 . 2)含义：an中，a为底数，n为指数，即暗示a的个数，an 暗示有相乘.例如：35暗示3>>3>必，(-3)5暗示(-3) X(-3) X (-3) X (-3) X (-3),特别注意负数及分数的乘方，应把 底数加上括号. 如(-2)7暗示相乘，而-27则暗示 7个 2相乘的积的 .当n为奇数时，(-a) n =；而当n为偶数时,(-a) n=.注意： 负数的奇次幂是，负数的幂是正数.正数的任何次幂都是， 0 的任何次幂都是，任何不为 0 的数 的 0 次幂都是 .( 3) “奇负偶正” 口诀的应用口诀 “奇负偶正

12、 ”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点： 多重负号的化简，这里奇偶指的是“ ” 号的个数，例如： （ 3） = ，+ （3） =. 有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号， 例如：（一3） x（2） X （ 6）=,而（3） X （ 2）对=. 有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为；指数为偶数，则幂为，例如： （ 3） 2 = ， （ 3） 3=.（ 4 ）有理数混合运算的运算顺序： 先乘方，再乘除，最后加减； 同级运算，从左到右进行； 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、年夜括号依次进行.加减法为一级运算， 乘除法为二级运算， 乘方及开方（以后学）称为三级运算. 同级运算，按从左到右的顺序进行；分歧级运算，应先算级运算，然后级，最后级；如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，应先算_括号里的，再算括号里的，最后算括号里的 . 以上运算顺序可以简记为： “从左到右，从高（级）到低（级） ，从小（括号）到年夜（括号） ”.（五）