弯曲变形4-ppt课件

1、弯曲变形弯曲变形概概 述述桥式起重机的大梁桥式起重机的大梁概概 述述概概 述述4-4 梁的变形挠曲线微分方程及其积分梁的变形挠曲线微分方程及其积分1.1.基本概念基本概念挠曲线方程：挠曲线方程：)(xyy 由于小变形，截面形心在由于小变形，截面形心在x x方向的位移忽略不计方向的位移忽略不计挠度转角关系为：挠度转角关系为：dxdy tan挠曲线挠曲线yxxy挠度挠度转角转角挠度挠度y y：截面形心：截面形心在在y y方向的位移方向的位移y向上为正向上为正转角转角：截面绕中性轴转过的角度。：截面绕中性轴转过的角度。逆钟向为正逆钟向为正2.2.挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程推导弯曲正应力

2、时，得到：推导弯曲正应力时，得到：z zEIEIM M1 1忽略剪力对变形的影响忽略剪力对变形的影响zEIxMx)()(1 4-4 梁的变形挠曲线微分方程及其积分梁的变形挠曲线微分方程及其积分由数学知识可知：由数学知识可知：3222)(1 1dxdydxyd 略去高阶小量，得略去高阶小量，得221dxyd 所以所以zEIxMdxyd)(22 2M(x) 0M(x) 0Od ydx2 0 xyM(x) 0Odxd y 022yxM(x) bab。解解1 1由梁整体平衡分析得：由梁整体平衡分析得：lFaFlFbFFByAyAx ,02 2弯矩方程弯矩方程 axxlFbxFxMAy 11110 ,A

3、C AC 段：段： lxaaxFxlFbaxFxFxMAy 222222),()(CB CB 段：段：maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB4-4 梁的变形挠曲线微分方程及其积分梁的变形挠曲线微分方程及其积分3 3列挠曲线近似微分方程并积分列挠曲线近似微分方程并积分112112)(xlFbxMdxydEI 1211112)(CxlFbxEIdxdyEI 1113116DxCxlFbEIy AC AC 段：段：ax 10)()(2222222axFxlFbxMdxydEI 2222222)(22)(2CaxFxlFbxEIdxdyEI 2223232)(662DxCaxFxlFbEI

4、y CB CB 段：段：lxa2maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB4-4 梁的变形挠曲线微分方程及其积分梁的变形挠曲线微分方程及其积分4 4由边界条件确定积分常数由边界条件确定积分常数0)(,22 lylx0)0(, 011 yx代入求解，得代入求解，得位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件)()(,2121aaaxx )()(,2121ayayaxx lFbFblCC661321 021 DDmaxyab1x2xACDFxAyFByFAByB4-4 梁的变形挠曲线微分方程及其积分梁的变形挠曲线微分方程及其积分5 5确定转角方程和挠度方程确定转角方程和挠度方程)(62

5、22211bllFbxlFbEI 12231)(661xbllFbxlFbEIy AC AC 段：段：ax 10)(6)(222222222bllFbaxFxlFbEI22232322)(6)(66xbllFbaxFxlFbEIyCB CB 段：段：lxa2maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB4-4 梁的变形挠曲线微分方程及其积分梁的变形挠曲线微分方程及其积分6 6确定最大转角和最大挠度确定最大转角和最大挠度令令 得，得，0 dxd )(6,maxalEIlFablxB 令令 得，得，0 dxdy)(39)(,3322max22EIlblFbyblx 7-3 7-3 用积分法求梁

6、的变形用积分法求梁的变形maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB讨讨 论论积分法求变形有什么优缺点？积分法求变形有什么优缺点？4-4 梁的变形挠曲线微分方程及其积分梁的变形挠曲线微分方程及其积分4-5 4-5 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形)(22xMEIydxydEI 设梁上有设梁上有n n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为为M(x)M(x)，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为y y，则有：，则有： )(xMEIyii 若梁上只有第若梁上只有第i i个载荷单独作用，截面上弯矩个载荷单独作用，截面上弯矩为为 ，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为 ，

7、则有：，则有：i iy)(xMi由弯矩的叠加原理知：由弯矩的叠加原理知：)()(1xMxMnii 所以，所以，)( )( 11xMyEIyEIniinii 4-5故故 )( 1 niiyy由于梁的边界条件不变，因此由于梁的边界条件不变，因此,1niiniiyy1重要结论：重要结论： 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。这就是计算弯曲变形的叠加原理。 4-5 4-5 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形例例3 3 已知简支梁受力如图示，

8、已知简支梁受力如图示，q q、l l、EIEI均为已知。求均为已知。求C C 截面截面的挠度的挠度yC yC ；B B截面的转角截面的转角B B1 1将梁上的载荷分解将梁上的载荷分解321CCCCyyyy 321BBBByC1yC2yC32 2查表得查表得3 3种情形下种情形下C C截面的截面的挠度和挠度和B B截面的转角。截面的转角。EIqlB2431EIqlB1631EIqlB333EIqlyC384541EIqlyC4842EIqlyC1643解解 4-5 4-5 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形yC1yC2yC33 3） 应用叠加法，将简单载荷应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和

9、作用时的结果求和 )(3841116483845444431EIqlEIqlEIqlEIqlyyiCiC)(481131624333331EIqlEIqlEIqlEIqliBiB 4-5 4-5 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形例例4 4 知：悬臂梁受力如图示，知：悬臂梁受力如图示，q q、l l、EIEI均为已知。求均为已知。求C C截面截面的挠度的挠度yCyC和转角和转角C C1 1首先，将梁上的载荷变成首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形有表可查的情形 为了利用梁全长承受均为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为布载荷延长至梁的全长

10、，为了不改变原来载荷作用的效了不改变原来载荷作用的效果，在果，在AB AB 段还需再加上集段还需再加上集度相同、方向相反的均布载度相同、方向相反的均布载荷。荷。 Cy 4-5 4-5 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形讨讨 论论叠加法求变形有什么优缺点？叠加法求变形有什么优缺点？ 4-5 4-5 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形Cy2Cy1Cy2By,841EIqlyC ,248128234222lEIqlEIqllyyBBC EIqlC631EIqlC4832 EIqlyyiCiC384414213 3将结果叠加将结果叠加 EIqliCiC4873212 2再将处理后的梁分解为简单再将

11、处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自载荷作用的情形，计算各自C C截截面的挠度和转角。面的挠度和转角。 4-5 4-5 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形* * * *. .刚度条件刚度条件,maxmax yy建筑钢梁的许可挠度：建筑钢梁的许可挠度：1000250ll机械传动轴的许可转角：机械传动轴的许可转角：30001精密机床的许可转角：精密机床的许可转角：50001 4-5 4-5 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形 根据要求，圆轴必须具有足根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承够的刚度，以保证轴承B B 处转角处转角不超过许用数值。不超过许用数值。 B1 1由挠度表中查

12、得承受集中由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁载荷的外伸梁B B 处的转角为：处的转角为： EIFlaB3解解例例5 5 已知钢制圆轴左端受力为已知钢制圆轴左端受力为F F20 kN20 kN，a al ml m，l l2 m2 m，E=206 GPaE=206 GPa。轴承。轴承B B处的许可转处的许可转角角 =0.5 =0.5。根据刚度要。根据刚度要求确定轴的直径求确定轴的直径d d。4-6 4-6 简单超静定梁简单超静定梁提高梁的刚度的措提高梁的刚度的措施施FaFFaFB例例6 6 已知钢制圆轴左端受力为已知钢制圆轴左端受力为F F20 kN20 kN，a al ml m，l l2 m2

13、m，E=206 GPaE=206 GPa。轴承。轴承B B处的许可转处的许可转角角 =0.5 =0.5。根据刚度要。根据刚度要求确定轴的直径求确定轴的直径d d。B2 2由刚度条件确定轴的直径：由刚度条件确定轴的直径： B 111mmm101115 . 010206318012102064318064342934EFlad 1803EIFla EFlaI3180 EFlad31806444-6 4-6 简单超静定梁简单超静定梁提高梁的刚度的措提高梁的刚度的措施施一一. .提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施1 1 选择合理的截面形状选择合理的截面形状 简单超静定梁简单超静定梁提高梁的刚度的提高梁的

14、刚度的措施措施4-62 2 改善结构形式，减少弯矩数值改善结构形式，减少弯矩数值改改变变支支座座形形式式4-6 4-6 简单超静定梁简单超静定梁提高梁的刚度的措提高梁的刚度的措施施2 2改善结构形式，减少弯矩数值改善结构形式，减少弯矩数值改改变变载载荷荷类类型型%5 .6212CCww4-6 4-6 简单超静定梁简单超静定梁提高梁的刚度的措提高梁的刚度的措施施3 3 采用超静定结构采用超静定结构4-6 4-6 简单超静定梁简单超静定梁提高梁的刚度的措提高梁的刚度的措施施3 3 采用超静定结构采用超静定结构4-6 4-6 简单超静定梁简单超静定梁提高梁的刚度的措提高梁的刚度的措施施1.1.基本概

15、念：基本概念：超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁多余约束：从维持平衡角度而言多余约束：从维持平衡角度而言, ,多余的约束多余的约束超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。2.2.求解方法：求解方法：解除多余约束，建立相当系统解除多余约束，建立相当系统比较变形，列变比较变形，列变形协调条件形协调条件由物理关系建立补充方程由物理关系建立补充方程利用利用静力平衡条件求其他约束反力。静力平衡条件求其他约束反力。相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统4-6 4-

16、6 简单超静定梁简单超静定梁提高梁的刚度的措提高梁的刚度的措施施二二. .基本概念：基本概念： 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA解解例例6 6 求梁的支反力，梁的抗弯求梁的支反力，梁的抗弯刚度为刚度为EIEI。 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA1 1判定超静定次数判定超静定次数2 2解除多余约束，建立相当系统解除多余约束，建立相当系统(d)ABCFByABFC0)()(ByFBFBByyy3 3进行变形比较，列出变形协进行变形比较，列出变形协调条件调条件4-6 4-6 简单超静定梁简单超静定梁提

17、高梁的刚度的措提高梁的刚度的措施施4 4由物理关系，列出补充方程由物理关系，列出补充方程 EIFaaaEIaFyFB314)29(6)2()(32EIaFyByFBBy38)(303831433EIaFEIFaBy所以所以FFBy474 4由整体平衡条件求其他约束反力由整体平衡条件求其他约束反力 )(43),(2FFFaMAyA 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA(d)ABCFByABFCA AM MA Ay yF F4-6 4-6 简单超静定梁简单超静定梁提高梁

18、的刚度的措提高梁的刚度的措施施例例7 梁梁AB 和和BC 在在B 处铰接，处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚两端固定，梁的抗弯刚度均为度均为EI，F = 40kN，q = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。画梁的剪力图和弯矩图。 从从B B 处拆开，使超静定结构变处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。成两个悬臂梁。变形协调方程为：变形协调方程为：21BByyBBFFFByB1 FByB2物理关系物理关系EIFEIqyBB3484341 EIFEIFyBB3424362322 解解4-6 4-6 简单超静定梁简单超静定梁提高梁的刚度的措提高梁的刚度的措施施FB FByB1yB2kN75. 84842046104023342BF代入得补充方