计算机图形学04：自由曲线和曲面ppt课件

1、第第4讲：自在曲线和曲面讲：自在曲线和曲面第四章：自在曲线和曲面v 参数样条曲线参数样条曲线v Bezier曲线曲线v B样条曲线样条曲线v 自在曲面自在曲面概概 述述v从计算机对外形处置的角度来看从计算机对外形处置的角度来看v1独一性独一性v2几何不变性：几何不变性：v对在不同丈量坐标系测得的同一组数据点进对在不同丈量坐标系测得的同一组数据点进展拟合，用同样的数学方法得到的拟合曲线展拟合，用同样的数学方法得到的拟合曲线外形不变。外形不变。v3易于定界易于定界v4一致性：一致性：v一致的数学表示，便于建立一致的数据库一致的数学表示，便于建立一致的数据库概概 述述v标量函数：平面曲线标量函数：平

2、面曲线 y = f(x)v 空间曲线空间曲线 y = f(x)v z = g(x)v矢量函数：平面曲线矢量函数：平面曲线 P(t) = x(t) y(t)v 空间曲线空间曲线 P(t) = x(t) y(t) z(t) 插值、逼近和拟合插值、逼近和拟合v插值插值严厉经过知型值点严厉经过知型值点v逼近逼近近似地地接近知型值点近似地地接近知型值点v拟合拟合以上两种方法统称以上两种方法统称v 插值逼近自在曲线曲面的开展过程自在曲线曲面的开展过程v目的：美观，且物理性能最正确目的：美观，且物理性能最正确v1963年，美国波音飞机公司，年，美国波音飞机公司，Ferguson双三次曲面双三次曲面片片v19

3、641967年，美国年，美国MIT，Coons双三次曲面片双三次曲面片v1971年，法国雷诺汽车公司，年，法国雷诺汽车公司，Bezier曲线曲面曲线曲面v1974年，美国通用汽车公司，年，美国通用汽车公司，Cordon和和Riesenfeld, Forrest, B样条曲线曲面样条曲线曲面v1975年，美国年，美国Syracuse大学，大学，Versprille有理有理B样样条条v80年代，年代，Piegl和和Tiller, NURBS方法方法参数表示的益处参数表示的益处v有更大的自在度来控制曲线、曲面的外形有更大的自在度来控制曲线、曲面的外形v易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算易于用矢

4、量和矩阵表示几何分量，简化了计算v设计或表示外形更直观，许多参数表示的基函设计或表示外形更直观，许多参数表示的基函数如数如Bernstein基和基和B样条函数，有明显的几样条函数，有明显的几何意义何意义1 参数样条曲线参数样条曲线v曲线的三种坐标表示法曲线的三种坐标表示法 v直角坐标表示直角坐标表示v 1) 显式：显式： y = f (x) v如如 y = sin (x)v 2) 隐式：隐式： f (x, y) = 0v v 0)/()(2342234xaxaxyyxx3/23/23/2Ryx33sincosRyRx参数坐标表达式参数坐标表达式1 参数样条曲线参数样条曲线v 极坐标表示极坐标表

5、示v 对于任一坐标曲线对于任一坐标曲线 ，坐标变换关系式：，坐标变换关系式：v例：阿基米德螺线：例：阿基米德螺线：v )()sin()cos(yx)sin()cos(yx1 参数样条曲线参数样条曲线v参数坐标表示参数坐标表示vv例：弹道曲线：例：弹道曲线：)()(tyytxx2/sincos200gttVytVx1 参数样条曲线参数样条曲线v二次参数样条曲线或曲面二次参数样条曲线或曲面v三次参数样条曲线或曲面三次参数样条曲线或曲面v参数样条曲线术语参数样条曲线术语v型值点和控制点型值点和控制点v型值点或控制点的个数型值点或控制点的个数 = 曲线次数曲线次数+1v切线、法线和曲率切线、法线和曲率

6、v切线是一阶导数，曲率是二阶导数切线是一阶导数，曲率是二阶导数2210)(tAtAAtP332210)(tAtAtAAtP1 参数样条曲线参数样条曲线v 2. 切线、法线和曲率切线、法线和曲率v曲率公式曲率公式+d d dsdMQk limMQds x = x ( t ), y = y ( t ), t 0, 1 z = z ( t ), 矢量方式：矢量方式： P = P ( t ), t 0, 1 P ( t ) 的的 k 阶导数阶导数 1 参数样条曲线参数样条曲线, 1 , 0,)(,)(,)()(kdttzddttyddttxddttPdTkkkkkkkkTtztytxP)(),(),(

7、对对 t = t0 t = t0，假设，假设 P P(t0) = x(t0) = x(t0), y(t0), y(t0),z(t0),z(t0)T (t0)T 0 0，那么称那么称 P(t0) P(t0)为正那么点。为正那么点。正那么点的几何意义是什么？正那么点的几何意义是什么？1 参数样条曲线参数样条曲线导数的意义是 P对t 的变化率， P(t0) = 0 意味着 P 在t0处为程度线。切矢量切矢量 OPP( t )P( t + t)P( t )xyttPttPdttdPtPt)()(lim)()( 0曲线弧长曲线弧长 P0P1Pn222)()()()(dttdzdttdydttdxdttd

8、PniiiPPnL11)(dttdPdtds)(法矢量法矢量 N(s)法平面切平面P(s)B(s)T(s)T (s)为单位矢量 T (s)2 = 10)( )()()(0)(2sTsTdssdTsTdssTdN (s) = T(s) 所以 N (s) 与 T(s) 垂直曲率曲率 |)(|limlim)(00sPdsdTsTsskssT(s)P(s)P(s+s)T(s +s)T(s+s)T(s)RQ参数延续性和几何延续性参数延续性和几何延续性v0阶参数延续性阶参数延续性 C 0延续性延续性v如：折线如：折线v1阶参数延续性阶参数延续性 C 1延续性延续性v如：直线如：直线v2阶参数延续性阶参数延

9、续性 C 2延续性延续性v如：圆、抛物线、双曲线如：圆、抛物线、双曲线3 三次三次Hermite曲线曲线v定义定义v给定给定4个矢量个矢量 ，称满足条件的，称满足条件的三次多项式曲线三次多项式曲线P(t)为为Hermite曲线曲线1010,RRPP1010) 1 (,)0() 1 (,)0(RPRPPPPPP0R0R1三次三次Hermite曲线曲线v矩阵表示矩阵表示v条件条件110011003210|0010|1111|0001|RMGTMGRMGTMGPMGTMGPMGTMGHHtHHHHtHHHHtHHHHtHH三次三次Hermite曲线曲线 合并合并 解解HHHGRRPPMG取为1010

10、3010201011100011110012102300230130102010111000111HM三次三次Hermite曲线曲线v基矩阵与基函数调和函数基矩阵与基函数调和函数)()()()(223231111001210230023011010323232332tHtHtGtGttttttttttttTMH三次三次Hermite曲线曲线v外形控制v改动端点位置矢量P0, P1v调理切矢量 R0, R1 的方向v调理切矢量 R0, R1 的长度vHeimite插值曲线并不独一，需求给出端点条件三次插值样条曲线的端点条件三次插值样条曲线的端点条件v二次插值样条需求四个条件。二次插值样条需求四个

11、条件。v在全部点列在全部点列Pi(i=1,2,n)中，得到中，得到n-3段曲线：段曲线：v v P0P1P2Pn-1PnPn+1P0和和Pn+1的不同会导致不同的曲线的不同会导致不同的曲线三次插值样条曲线的端点条件三次插值样条曲线的端点条件v三次插值样条的端点条件常用。三次插值样条的端点条件常用。v 知两端的切矢知两端的切矢P1和和Pnv 自在端条件自在端条件v 构成封锁曲线构成封锁曲线vP0P1P2PnPnPn+1P1Pn三次三次Hermite曲线曲线v优点：优点：v简单，易于了解简单，易于了解v缺陷：缺陷：v难于给出两个端点处的切线矢量作为初始条件难于给出两个端点处的切线矢量作为初始条件v

12、不方便不方便n一切参数插值曲线的缺陷：一切参数插值曲线的缺陷：n只限于作一条点点经过给定数据点的曲线只限于作一条点点经过给定数据点的曲线n只适用于插值场所，如外形的数学放样只适用于插值场所，如外形的数学放样n不适宜于外形设计不适宜于外形设计三次三次Hermite曲线曲线v优点：优点：v简单，易于了解简单，易于了解v缺陷：缺陷：v难于给出两个端点处的切线矢量作为初始条件难于给出两个端点处的切线矢量作为初始条件v不方便不方便n一切参数插值曲线的缺陷：一切参数插值曲线的缺陷：n只限于作一条点点经过给定数据点的曲线只限于作一条点点经过给定数据点的曲线n只适用于插值场所，如外形的数学放样只适用于插值场所

13、，如外形的数学放样n不适宜于外形设计不适宜于外形设计BezierBezier曲线表达式曲线表达式 二次二次BezierBezier曲线：曲线： P(t) = (1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2P2P(t) = (1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2P2 三次三次BezierBezier曲线：曲线： P(t) = (1-t)3P0+3t(1-t)2P1 + 3t2(1-t) P2 P(t) = (1-t)3P0+3t(1-t)2P1 + 3t2(1-t) P2 +t3P3+t3P33 Bezier3 Bezier曲线曲线Bezier曲线曲线v1962年，法国雷诺汽车公司年，法国雷诺汽

14、车公司vP.E.Bezier工程师工程师v以以“逼近为根底逼近为根底v用于汽车设计的用于汽车设计的UNISURF系统系统v1972年雷诺汽车公司正式运用年雷诺汽车公司正式运用Bezier曲线曲线vBezier基函数基函数-Bernstein多项式的定义多项式的定义 1 , 0,)1 ()(,tttCtBEZiniinni)!( !ininCinBezier曲线曲线vBezier基函数基函数-Bernstein多项式的定义多项式的定义0.81BEZ (u)0.41BEZ (u)BEZ (u)uu0.2BEZ (u)0.8

15、0.811u10.80.6u10.2Bezier曲线曲线vBernstein基函数的性质v正性v权性v对称性v降阶公式v升阶公式)1 ()(,tBEZtBEZninni1 ,0,0)(,ttBEZni1 ,0,1)(0,ttBEZnini)()()1 ()(1, 11,ttBEZtBEZttBEZninini)(11)(1)(1,1,1,tBEZnintBEZinitBEZnininiBezier曲线曲线 导数 积分 最大值 在t = i/n处获得最大值 线性无关性 是n次多项式空间的一组基11)(10,ntBEZnini

16、nitBEZ0,)()()()(1,1, 1,ttBEZtBEZntBEZnininiBezier曲线曲线vBezier曲线的定义曲线的定义vn次多项式曲线次多项式曲线P(t)称为称为n次次Bezier曲线曲线v控制顶点控制顶点v控制多边形控制多边形 1 , 0)()(0,ttBEZPtPniniiP0P1P2P3Bezier曲线曲线 对称性对称性 不是外形对称不是外形对称 坚持贝塞尔曲线全部控制点坚持贝塞尔曲线全部控制点Pi的坐标位置不变，只是将的坐标位置不变，只是将控制点控制点Pi的排序颠倒的排序颠倒 ，曲线外形坚持不变，曲线外形坚持不变Bezier曲线曲线 凸包性凸包性 点集的凸包点集的

17、凸包 包含这些点的最小凸集包含这些点的最小凸集 Bezier曲线位于其控制顶点的凸包之内曲线位于其控制顶点的凸包之内2p3p0p1pBezier曲线曲线 多值性多值性P1P4P2P0=P5P3Bezier曲线曲线v二次二次Bezier曲线曲线vn=2v抛物线抛物线P0P2P1MP(0.5)P(1)P(0)Bezier曲线曲线v三次三次Bezier曲线曲线vn=3P0P1P2P3P(0)P(1)v缺陷：缺陷：v所生成的曲线与特征多边形的外形相距较远所生成的曲线与特征多边形的外形相距较远v部分控制才干弱，由于曲线上恣意一点都是一切部分控制才干弱，由于曲线上恣意一点都是一切给定顶点值的加权平均给定顶

18、点值的加权平均v控制顶点数增多时，生成曲线的阶数也增高控制顶点数增多时，生成曲线的阶数也增高v控制顶点数较多时，多边形对曲线的控制才干减控制顶点数较多时，多边形对曲线的控制才干减弱弱v曲线拼接需求附加条件，不太灵敏曲线拼接需求附加条件，不太灵敏Bezier曲线曲线4 B样条曲线样条曲线v 产生：产生：v 1946年，年，Schoenberg发表关于发表关于B样条函数的第样条函数的第1篇篇论文论文v 1973年前后，年前后，Gordon,Riesenfield,Forrest等人等人遭到遭到Bezier方法的启发，将方法的启发，将B样条函数拓广成参数方样条函数拓广成参数方式的式的B样条曲线样条曲

19、线v 优于优于Bezier曲线之处：曲线之处：v 与控制多边形的外形更接近与控制多边形的外形更接近v 部分修正才干部分修正才干v 任不测形，包括尖点、直线的曲线任不测形，包括尖点、直线的曲线v 易于拼接易于拼接v 阶次低，与型值点数目无关，计算简便阶次低，与型值点数目无关，计算简便B样条曲线样条曲线v定义：v 给定m+n+1个空间向量 ，(k=0,1,m+n)，称n次参数曲线v v 为n次B样条曲线的第i段曲线i=0,1,mv它的全体称为n次B样条曲线，它具有Cn-1延续性kBnlnllinittFBtP0,10)()(B样条曲线样条曲线v 为简化记号，取i=0来代表样条中的恣意一段v v 基

20、函数为B样条函数v lnjnjnjnltjlntCntF01,10)() 1(!1)(nlnllinittFBtP0,10)()(B样条曲线样条曲线v二次二次B样条样条vn=2v抛物线抛物线B0B2B1MP(0.5)P(1)P(0)B样条曲线样条曲线v三次B样条vn=3.P(0)P(1), , ,P(1)P1P0P2P3P(0)P().PmPn2/ )() 1 (2/ )()0(6/ )4() 1 (6/ )4()0(1302321210BBPBBPBBBPBBBPB样条曲线样条曲线v三次B样条的C2延续性v假设添加一个控制顶点P4，那么前一段曲线能否会受影响？.P(0)P(1), , ,P(

21、1)P1P0P2P3P(0)P().PmPnP(t)P4 B- B-样条曲线表达式样条曲线表达式与与BezierBezier样条相比的优点：样条相比的优点：1) B-1) B-样条多项式次数独立于控制点的个数。样条多项式次数独立于控制点的个数。 2) B-2) B-样条允许曲线和曲面可以部分控制。样条允许曲线和曲面可以部分控制。 B- B-样条的基函数比样条的基函数比BezierBezier的基函数更为复杂。的基函数更为复杂。4 B-4 B-样条曲线样条曲线 B- B-样条基函数样条基函数4 B-4 B-样条曲线样条曲线),()()(,0, 1)(1,111,1,11 ,tBtttttBttt

22、ttBothertttwhentBkiikikikiikiikiiiii = 0, 1, n B- B-样条曲线样条曲线部分性、凸包性、直线再生性、部分性、凸包性、直线再生性、分段参数多项式曲线、延续性、分段参数多项式曲线、延续性、导数曲线、仿射不变性、平面保型性导数曲线、仿射不变性、平面保型性4 B-4 B-样条曲线样条曲线,),()(111,nknikiittttBPtPv非均匀有理非均匀有理B B样条样条(NURBS)(NURBS)v 一条一条k k阶阶k-1k-1次非均匀有理次非均匀有理B B样条样条v其中其中Ri(i=1,2,n)Ri(i=1,2,n)为控制顶点，为控制顶点，hi(i

23、=1,2,n)hi(i=1,2,n)称称为权或权因子，分别与控制顶点相联络。其中首、末为权或权因子，分别与控制顶点相联络。其中首、末权因子大于零，其他权因子不小于零。控制顶点顺序权因子大于零，其他权因子不小于零。控制顶点顺序连成控制多边形。其节点向量是普通非均匀的。当一连成控制多边形。其节点向量是普通非均匀的。当一切权因子均为切权因子均为1 1时，时，NURBSNURBS曲线就成为曲线就成为B B样条曲线。样条曲线。5 5 非均匀有理非均匀有理B B样条样条nikiinikiiitBhtBPhtR1,1,)()()(v对规范的解析外形如圆锥曲线、二次曲面、回转面等对规范的解析外形如圆锥曲线、二

24、次曲面、回转面等和自在曲线、曲面提供了一致的数学表示，而且对二次和自在曲线、曲面提供了一致的数学表示，而且对二次曲线曲面的表示是准确的。曲线曲面的表示是准确的。 v由支配控制顶点和权因子为各种外形设计提供了充分的由支配控制顶点和权因子为各种外形设计提供了充分的灵敏性。灵敏性。 v计算稳定且速度较快。计算稳定且速度较快。 vNURBSNURBS在比例、旋转、平移、剪切以及平行和透视投影在比例、旋转、平移、剪切以及平行和透视投影变换下是不变的。变换下是不变的。 vNURBSNURBS是非有理是非有理B B样条方式以及样条方式以及BezierBezier方式的适宜的推行。方式的适宜的推行。 v NU

25、RBS的特点 4 自在曲面v 参数曲面的概念vP(u,w) = x(u,w), y(u,w), z(u,w) 0 u,w 1011uw(u,w)P(0,0)P(0,w)P(0,1)P(u,0)P(1,1) P(1, w)P(1, 0)P(u, 0)P(u,w) v u和和w向切矢：向切矢：v四个角点的四个角点的u向和向和w向切矢为：向切矢为：Pu(0,0)、 Pu(1,0)、 Pu(0,1) 、Pu(1,1)、Pw(0,0)、 Pw(1,0)、 Pw(0,1) 、Pw(1,1).v混合偏导矢扭矢：混合偏导矢扭矢：v四个角点的扭矢为：四个角点的扭矢为：vPuw(0,0)、 Puw(1,0)、 P

26、uw(0,1) 、Puw(1,1)wwuPwuPuwuPwuPwu),(),(),(),(wuwuPwuPuw),(),(2三次曲面的数学表示v 双三次曲面片的代数方式为v 其矩阵表达式为vP(u,w) = UAWTv 其中 1 , 0,),(3030wuvuawuPjiijij) 1 ,(23uuuU 1 , 0,) 1 ,(23vuwwwW00033033aaaaA1. 1. 孔斯孔斯CoonsCoons曲面曲面v 由曲面四个角点、每个角点处的两个切矢及四个角点处的混合偏导矢由曲面四个角点、每个角点处的两个切矢及四个角点处的混合偏导矢扭矢确定曲面。扭矢确定曲面。P(0,0)P(0,w)P(

27、0,1)P(u,1)P(1, w)P(1, 0)P(u, 0)P(1,1) ) 1 , 1 ()0 , 1 () 1 , 1 ()0 , 1 () 1 , 0()0 , 0() 1 , 0()0 , 0() 1 , 1 ()0 , 1 () 1 , 1 ()0 , 1 () 1 , 0()0 , 0() 1 , 0()0 , 0(,0001010012331122),(wuwuuuwuwuuuwwwwcTTccPPPPPPPPPPPPPPPPBMWBMUMwuPP(u,w) Coons曲面的特点：v属于构造插值曲面的方法，曲面构造的几何意义明确属于构造插值曲面的方法，曲面构造的几何意义明确且曲

28、面的表达式简约，主要用于构造那些经过给定型且曲面的表达式简约，主要用于构造那些经过给定型值点的曲面，而不适用于进展曲面的设计。这是由于：值点的曲面，而不适用于进展曲面的设计。这是由于：v在曲面设计的初级阶段，需求不断地修正型值点的位在曲面设计的初级阶段，需求不断地修正型值点的位置。所以对位置尚未最后确定的型值点构造插值曲面，置。所以对位置尚未最后确定的型值点构造插值曲面，显然是不合理的。显然是不合理的。v由于扭矢的几何意义不很明显，工程设计人员难以把由于扭矢的几何意义不很明显，工程设计人员难以把握，因此难以提供准确的角点信息，使曲面的外形不握，因此难以提供准确的角点信息，使曲面的外形不易控制。

29、易控制。v不具备部分性。修正恣意一个型值点都会影响整张曲不具备部分性。修正恣意一个型值点都会影响整张曲面的外形，而其外形变化又难以预测。面的外形，而其外形变化又难以预测。2. Bezier2. Bezier曲面曲面 v 用控制多边形网格特征网格替代点矢、切矢与扭矢构造用控制多边形网格特征网格替代点矢、切矢与扭矢构造Bezier曲面。曲面。v 可以以为控制网格是曲面可以以为控制网格是曲面P(u,w)大致外形的勾画；大致外形的勾画；P(u,w)是对是对控制网格的逼近。控制网格的逼近。31V21V20V13V12V11V10V00V02V03V01V23V33V32V31V 1 , 0,)()(),

30、(3,3,3030wuVwBuBwuPijjiji3 , 32, 31 , 30, 33 , 22, 21 , 20, 23 , 12, 11 , 10, 13 , 02, 01 , 00, 0,0001003313631331),(VVVVVVVVVVVVVVVVBMWMVUMwuPcTTbbbBezier曲面的特点：v Bezier曲面是以逼近为根底的曲面设计方法。它先经过曲面是以逼近为根底的曲面设计方法。它先经过控制顶点网格勾画出曲面的大体外形，然后经过修正控制控制顶点网格勾画出曲面的大体外形，然后经过修正控制顶点的位置修正曲面的外形。这种构造方法比较直观，易顶点的位置修正曲面的外形。这