第三章 能量与动量

1、第三章 能量与动量31 汽车在水平公路上做直线运动，它的功率保持不变，当汽车的速度为4m/s时，加速度为0.4m/s2，汽车所受阻力恒为车重的0.01倍，若取g=10m/s2，汽车行驶的最大速度为_m/s。解：设汽车的速度为4m/s时，汽车牵引力为F，地面摩擦力为f，为此时的速度，V为最大速度。由题知将已知条件代入上式得 （1）由于汽车的功率保持不变，故汽车在最大速度时的功率等于汽车速度为4m/s时的功率。汽车达到最大速度时，其牵引力的大小等于所受阻力，即，故有 （2） （3）由（1）式、（2）式和（3）式解得32 有一质量为m=0.5kg的质点，在xy平面内运动，其运动方程为，（SI），则在

2、至这段时间内，外力对质点所做的功为 ，外力的方向是 。解：由质点的运动方程得 （1） （2）由功的定义得 （3）又由运动方程得，将上式代入（3）式得由（1）式知力的方向沿x正方向。33 已知质点的质量m=5kg，运动方程（SI），则质点在02秒内受的冲量为 ，在02秒内所做的功为 。解：质点所受的力为质点02秒内受的冲量的大小为力在02秒内对质点所做的功为34 质量为m=5.0kg的物体，于10s的时间内，其速度由=48+36变为=（SI），则物体所受的平均作用力之量值应为 N。解：10s内物体的动量变化为N10s内物体所受的平均作用力为10s内物体所受的平均作用力大小为35 在一直在线，以之

3、力（t的单位为秒，F的单位为牛顿）施于质量m=2kg，初速为12m/s之物体上，则8秒末物体的速率为 。解：解法一：由牛顿第二定律有即积分所以解法二：物体从0到8s末所受的冲量为由动量定理得所以36 对功的概念有以下几种说法：（1）保守力做正功时系统内相应的势能增加；（2）质点运动经一闭合路径，保守力对质点做的功为零；（3）作用力与反作用力大小相等、方向相反，所以两者所做的功的代数和必为零。在上述说法中正确的是（ ）A（1）、（2）是正确的 B（2）、（3）是正确的C只有（2）是正确的 D只有（3）是正确的解：质点运动经一闭合路径，保守力对质点做的功为零，这是保守力做功的特点，因此（1）是正确

4、的；保守力对系统所做的功等于系统势能增量的负值，因此（1）是错误的；作用力与反作用力虽然大小相等、方向相反，但它们作用于不同的质点，但由于两个质点的位移大小以及位移与力的夹角一般不同，故一对作用力与反作用力做功的代数一般不为零，因此（3）也是错误的。综上，应选（C）。37 用锤压钉不易将钉压入木块，用锤击钉则很容易将钉击入木块，这是因为 。A前者遇到的阻力大，后者遇到的阻力小B前者动量守恒，后者动量不守恒C后者锤的动量变化大，给钉的作用力就大D后者锤的动量变化率大，给钉的作用力就大解：根据动量定理，一个质点受到的作用力等于这个质点的动量的变化率。用锤击打钉一是可提高锤的动量，二是锤与钉之间的相

5、互作用时间短，因而击打过程中锤的动量变化率大，从而对钉产生很大的作用力，将钉击入木块。故应选（D）38 质点系内部保守力做功量度了 。A质点系动能的变化 B质点系机械能的变化C质点系势能的变化 D质点系动能与势能的转化解：质点系动机械能的变化可由于外力做功和非保守内力做功而发生变化，而机械能的变化有可能是系统动能、势能的变化引起的。因此质点系内部的保守力做功不能量度质点系动能、势能和机械能的变化。在满足机械能守恒定律的条件下，质点系的动能和势能是相互转换的，且转换的量值是相等的，动能的增加量等于势能的减小量，势能的增加量等于动能的减小量，二者的转换是通过质点系内部保守内力做功来实现的。故应选（

6、D）。39 质点系内部非保守内力做功量度了 。A质点系动能的变化 B质点系势能的变化C质点系内动能与势能的转化 D质点系内部机械能与其他形式能量的转化解：根据功能原理，系统从一个状态变化到另一个状态的过程中，其机械能的增量等于外力所做功和系统的非保守内力所做功的代数和。外力不做功，表明系统与外界没有能量交换；非保守内力不做功，则说明系统内部不发生机械能和其它形式能量的转化。因此选（D）。310 自水平地面作斜抛运动的物体，在最高点时的动量值恰为抛出时的，此时突然分裂为质量相等的两块，其中一块以初速为零落下，则此裂块落地时的动量值与原抛出时物体动量值之比值为 。A B C D1解：设此斜抛运动物

7、体的质量为m，抛出的初速度为，它与水平面的夹角为，则物体被抛出时动量值为，在最高点时物体只有水平方向的速度，最高点时的动量值恰为抛出时的动量值P的，有，即。在最高点突然分裂为质量相等的两块，其中一块以初速为零落下，则它下落到地的速度为，即应与原抛出物的速度在竖直方向的分量相同。此下落物体的动量与抛出时物体动量值之比值为。故答案应选（A）。图3-1AA0A1A2A3Bv311 如图3-1所示，质量为m的平板A，用竖立的弹簧支持而处在水平位置。现从平台上投掷一个质量为m的球B，球的初速度为，沿水平方向。球由于重力作用下落，与平板发生完全弹性碰撞，且假定平板是平滑的，则球与平板碰撞后的运动方向应为

8、。A方向 B方向C方向 D方向解：由于平板A原来静止，平板A与球B的质量相同，球B与平板A相碰后，在竖直方向动量守恒，根据弹性碰撞的结论可得，碰撞后平板A以速度向下运动，而球B在竖直方向的速度为零，只有水平方向的速度，故球与平板碰撞后沿方向运动，故应选（C）。312 如图3-2，在水平面上有一质量为M的木块，水平面与木块之间的滑动摩擦因素为。一颗质量为m的子弹，以速度射入木块，并嵌入木块中，子弹与木块一起沿水平面运动到停止时在水平面上移动的距离为 。mMvs图3-2ABC D解：子弹射入过程很短，时间及此过程中所走过距离可忽略不计。由动量守恒得式中V为子弹嵌入木后与木块一起运动的初速度。之后由

9、于摩擦，子弹与木块一起做匀减速运动，根据动能定理得故应选（D）。313 一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设t=0时，物体位于原点，速度为零（即初始条件：x0=0，），问：（1）物体在力（SI）的作用下运动了3s，它的速度、加速度为多大？（2）物体在力（SI）的作用下移动了3m，它的速度、加速度为多大？解：（1）由牛顿第二运动定律 （1）又由得 （2）把t=3s代入（1）式和（2）式得，（2）解法一 ：由牛顿第二运动定律 （3）又由，分离变量，两边积分得 （4）把x=3m代入（3）式和（4）式，得，解法二：由动能定理，有J得314 一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为m的物体

10、，如图3-3所示。绳的P端拴在车后的挂钩上，Q端拴在物体上。设绳的总长不变，绳的质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计。开始时，车在A点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳长为H。提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经过B驶向C。设A到B的距离也为H，车过B点时的速度为。求在车由A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功。解：设车由A移到B时，左边绳与竖直方向所成夹角为，物体从井底上升的高度为h，速度为，所求的功为W，则据动能定理可得图3-3QHPHBAvBC因绳总长不变，所以根据绳联物体的速度关系得由几何关系得由以上四式求得315 在地球深度的一个铀原子释放出一个粒子，这个的

11、速度为，在地球中运动经d的距离停止下来。已知粒子的质量为，速度，。求粒子所受到的力。解：根据动能定理所以粒子所受到的力为316 当质量为m的质点距离个质量为M、半径为R的质量均匀分布的致密天体中心的距离为r（rR）时，其引力势能为，其中为引力常量。设致密天体是中子星，其半径，质量M=1.5M（1M=2.0×1030kg，M为太阳的质量）。自转轴磁轴接收器图3-4（1）1Kg的物质从无限远处被吸引到中子星的表面时所释放的引力势能为多少?（2）在氢核聚变反应中，若参加核反应的原料的质量为m，则反应中的质量亏损为0.0072m，问1kg的原料通过核聚变提供的能量与第（1）问中所释放的引力势

12、能之比是多少?（3）天文学家认为：脉冲星是旋转的中子星，中子星的电磁辐射是连续的，沿其磁轴方向最强，磁轴与中子星的自转轴方向有一夹角（如图34所示），在地球上的接收器所接收到的一连串周期出现的脉冲是脉冲星的电磁辐射。试由上述看法估算地球上接收到的两个脉冲之间的时间间隔的下限。解：（1）根据能量守恒定律，质量为m的物质从无限远处被吸引到中子星的表面时所释放的引力势能应等于对应始末位置的引力势能的改变，故1kg的物质从无限远处被吸引到中子星的表面时所释放的引力势能为 （1）代入有关数据得 （2）（2）在氢核聚变反应中，每千克质量的核反应原料提供的能量为 （3）所求能量比为 （4）（3）根据题意，可

13、知接收到的两个脉冲之间的时间间隔即为中子星的自转周期，中子星做高速自转时，位于赤道处质量为的中子星质元所需的向心力不能超过对应的万有引力，否则将会因不能保持匀速圆周运动而使中子星破裂，因此有 （5）式中。为中子星的自转角速度，为中子星的自转周期。由代入（5）式得到 （6）代入数据得 （7）故地球上接收到的两个脉冲之间的时间间隔的下限为。317 总质量为80kg的跳伞运动员从离地500m的直升机上跳下，经过2s拉开绳索开启降落伞，如图3-5所示是跳伞过程中的t图，试根据图像求：（g取10m/s2）（1）t1s时运动员的加速度和所受阻力的大小。（2）估算14s内运动员下落的高度及克服阻力做的功。0

14、481216202448121620v/ms-1t/s图3-5解：（1）从图中可以看出，在t2s内运动员做匀加速运动，其加速度大小为设此过程中运动员受到的阻力大小为f，根据牛顿第二定律，有mgfma，得fm（ga）80×（108）N160N（2）从图3-5估算得出运动员在14s内下落的高度为h=39.5×2×2m158m根据动能定理，有所以有318 一机关枪每秒射出10颗质量各为100g的子弹，每个子弹的出口速率是800m/s，子弹射到墙壁立即停止。则：（A）每颗子弹的动量变化是多少？（B）子弹施于墙的平均力是多少？解：每颗子弹的动量变化为子弹受到墙的平均力是子弹

15、施于墙的平均力与子弹受到墙的平均力大小相等、方向相反，故为800N。BAv0图3-6319 如图3-6所示，矩形盒B的质量为M，放在水平面上，盒内有一质量为m的物体A，A与B、B与地面间的动摩擦因数分别1、2，开始时二者均静止。现瞬间使物体A获取一向右且与矩形盒B左、右侧壁垂直的水平速度，以后物体A在盒B的左右壁碰撞时，B始终向右运动。当A与B最后一次碰撞后，B停止运动，A则继续向右滑行距离S后也停止运动，求盒B运动的时间t。解：以物体A、盒B组成的系统为研究对象，它们在水平方向所受的外力就是盒B所受的滑动摩擦力。A与B间的摩擦力、A与B碰撞时的相互作用力均是内力。设B停止运动时A的速度为V，

16、且假设向右为正方向，由系统的动量定理得当B停止运动后，对A应用动能定理得由以上二式解得320 如图3-7形状的一辆45座客车长、宽和高为10490×2500×3200mm。这辆客车在无风的高速路上以25m/s的速度行驶。已知空气的密度为1.20kg/m3。如果认为风作用在车上后变为静止，试估算客车受到的风阻（忽略客车除车头外的其它部分受到的空气的摩擦）。解：由于是估算，我们把客车头看成是一个平面，并忽略客车的底盘高度，则车头的面积近似为图3-7由于客车运动，单位时间作用在车头的空气质量为根据动量定理，单位时间作用在客车头的平均作用力为321 甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰

17、面上游戏。甲和他的冰车的总质量共为M=30kg，乙和他的冰车的总质量也是30kg。游戏时，甲推着一质量为m=15km的箱子，和他一起以大小为的速度滑行。乙以同样大小的速度迎面滑来。为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子到乙处时乙迅速把它抓住。若不计冰面的摩擦力，求甲至少要以多大的速度（相对于地面）将箱子推出，才能避免和乙相碰。解：不计冰面的摩擦力情况下，甲推出箱子和乙抓住箱子是两个动量守恒的过程，可运用动量守恒求解。甲把箱子推出后，甲的运动有三种可能：一是继续向前，方向不变；二是静止；三是方向改变，向后倒退。按题意要求，是确定甲推箱子给乙，避免跟乙相碰的最小速度。上述三种情况中，以第一种

18、情况甲推出箱子的速度最小，第二、第三种情况则需要以更大的速度推出箱子才能实现。设甲推出的箱子相对于地面的速度为，推出后甲相对于地面的速度变为，取方向为正方向，据动量守恒有 （1）设乙抓箱子后相对于地面的速度为，乙抓住箱子的过程，动量守恒，则 （2）甲、乙两冰车避免相撞的条件是，取，联立（1）式和（2）式，并代入数据解得322 如图3-8所示，两部运水的卡车A、B在水平面上沿同一方向运动，B的速度为u，从B上以6kg/s的速率将水抽至A上，水从管子尾部出口垂直落下，车与地面间的摩擦不计，时刻t时，A车的质量为M，速度为。求时刻t，A的瞬时加速度。解：选质量为M的A车和Dt时间内抽至A车的水Dm为

19、研究系统，设当A车的质量增加为时，A车的速度为，这个过程中水平方向上动量守恒，有vu图3-8解得 A车的速度增加当Dm很小时，上式可写为上式等式两边同除以Dt并取极限，得A的瞬时加速度为323 一质量为m的小滑块A沿斜坡由静止开始下滑，与一质量为km的静止在水平地面上的小滑块B发生正碰撞，如图3-9所示。设碰撞是弹性的，且一切摩擦不计。为使二者能且只能发生两次碰撞，则k的值应满足什么条件？AB图3-9解：设A与B碰撞前A的速度为，碰后A与B的速度分别为与V1，由动量守恒及机械能守恒定律有 （1） （2）由此解得 （3） （4）为使A能回到坡上，要求1<0，这导致k>1；为使A从坡上滑下后再能追上B，应有，即，这