有限脉冲响应数字滤波器的设计课件

1、有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计2 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计3 0( )()Miiy nb x ni0( )MiiiH zb z有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计4nFIRFIR数字滤波器很容易得到严格的线性相位。数字滤波器很容易得到严格的线性相位。nFIRFIR数字滤波器的单位脉冲响应是有限长的，数字滤波器的单位脉冲响应是有限长的，因此总是稳定的。因此总是稳定的。nFIRFIR滤波器的设计方法：滤波器的设计方法：n窗函数法窗函数法n频率取样法频率取样法n等纹波逼近法等纹波逼近法有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响

2、应数字滤波器的设计5 ( )( ) ( )dh nh n w nsin()( )cdnh nn有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计6n理想低通滤波器的频率响应理想低通滤波器的频率响应n单位取样响应单位取样响应 ()0jcjdceHesin ()1( )2()cccjj ndnh needn 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计7n将将n可以将可以将看作是看作是与矩形窗与矩形窗w(n)相乘相乘( )01( )0dh nnNh n其它12N( )( ) ( )dh nh n w n有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计8n时域加窗时域加窗n

3、频域卷积频域卷积( )( ) ( )dh nh n w n11()()()()22jjjjjddH eHeW eHeW ed 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计9n时域表示时域表示n频域表示频域表示n幅度幅度n相位相位101( )0nNw n其它1120sin(2)()sin(2)NNjjj nnNW eeesin(2)( )sin(2)NW12N有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计10nFIR滤波器的幅频特性滤波器的幅频特性11()()()( )()22jjjjddH eHeW eeHW1( )( )()2dHHW有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲

4、响应数字滤波器的设计11有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计12n在理想特性不连续点在理想特性不连续点c附近形成过渡带。过滤附近形成过渡带。过滤带的宽度近似等于带的宽度近似等于 W()主瓣宽度，主瓣宽度，=4/N 。 n通带内增加了波动，最大的峰值在通带内增加了波动，最大的峰值在c- 2/N 处。阻带内产生了余振，最大的负峰在处。阻带内产生了余振，最大的负峰在c+2/N处。通带与阻带中波动的情况与窗函处。通带与阻带中波动的情况与窗函数的幅度谱有关。数的幅度谱有关。 W()波动愈快（加大时），波动愈快（加大时），通带与阻带内波动愈快，通带与阻带内波动愈快， W()旁瓣的大小直

5、旁瓣的大小直接影响波动的大小。接影响波动的大小。n这些影响是对这些影响是对hd(n)加矩形窗引起的，称之为加矩形窗引起的，称之为吉吉布斯效应布斯效应。 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计13n增加矩形窗口的宽度增加矩形窗口的宽度N不能减少吉布斯效应的不能减少吉布斯效应的影响。影响。 N的改变只能改变的改变只能改变坐标的比例和坐标的比例和 的绝对的绝对大小，不能改变主瓣和旁瓣幅度相对值。加大大小，不能改变主瓣和旁瓣幅度相对值。加大N并不是减少吉布斯效应的有效方法。并不是减少吉布斯效应的有效方法。 n寻找合适的窗函数形状，使其谱函数的主瓣包寻找合适的窗函数形状，使其谱函数的主

6、瓣包含更多的能量，相应旁瓣幅度就变小了；旁瓣含更多的能量，相应旁瓣幅度就变小了；旁瓣的减少可使通带与阻带波动减少，从而加大阻的减少可使通带与阻带波动减少，从而加大阻带的衰减。但这样总是以加宽过渡带为代价的。带的衰减。但这样总是以加宽过渡带为代价的。sin/2sin/2( )NxRxWN（）( )RW有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计14n矩形窗矩形窗n三角（三角（Bartlett）窗）窗 n汉宁（汉宁（Hanning）窗）窗n汉明（汉明（Hamming）窗）窗 n布莱克曼（布莱克曼（Blackman）窗）窗n凯泽（凯泽（Kaiser）窗）窗有限脉冲响应数字滤波器的设计有限

7、脉冲响应数字滤波器的设计15n矩形窗矩形窗101( )0nNw n其它sin2( )sin2NW00.89,4 /,13,6/BBNAdBDdB oct B为主瓣归一化幅值下降到为主瓣归一化幅值下降到-3dB时的带宽时的带宽,主瓣两个过零主瓣两个过零点之间的宽度点之间的宽度,A最大边瓣峰值最大边瓣峰值,D边瓣峰值渐近衰减速度边瓣峰值渐近衰减速度.有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计16n三角（三角（Bartlett）窗）窗 202( )2212nNnNw nnNnNN2(1)22sin(4)()sin(/2)NjjNW eeN01.28,8 /,27,12/BBNAdBDd

8、B oct 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计17n汉宁（汉宁（Hanning）窗窗 /2( )sin()/sin()22jNUe12( )1 cos, 012nnnNN22( )0.5 ( )0.25WUUUNN01.44,8 /,32,18/BBNAdBDdB oct 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计18n汉明（汉明（Hamming）窗）窗 2( )0.540.46cosnw nN22( )0.54 ( )0.23WUUUNN01.3,8/,43,6/BBNAdBDdB oct 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计19n布莱

9、克曼（布莱克曼（Blackman）窗）窗 24( )0.420.5cos0.08cosnnw nNN22( )0.42 ( )0.2544 0.04WUUUNNUUNN01.68,12 /,58,18/BBNAdBDdB oct 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计20n凯泽（凯泽（Kaiser）窗）窗 2002111( )( )nINw nI2012( )1!kkxIxk 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计21有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计22有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计23n给出希望设计的滤波器

10、的频率响应函数给出希望设计的滤波器的频率响应函数n根据允许的过渡带宽及阻带衰减，选定根据允许的过渡带宽及阻带衰减，选定窗函数和窗函数和N值。值。n计算计算n 如果如果不能用简单函数表示，可以不能用简单函数表示，可以用求和代替积分。用求和代替积分。 1( )()2jj nddhnHeed22101( )()MjkjknMMddkh nHeeM有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计24n将将与窗函数相乘得与窗函数相乘得FIR数字滤波器数字滤波器的冲激响应的冲激响应h(n)n计算计算FIR数字滤波器的频率响应，并验证数字滤波器的频率响应，并验证是否达到所要求的指标是否达到所要求的指

11、标 10()( )NjjnnH eh n e有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计25n例例8.1 用窗函数法设计线性相位用窗函数法设计线性相位FIR低通低通滤波器，设滤波器，设N=11，=0.2 rad n解：理想数字低通滤波器解：理想数字低通滤波器 单位取样响应单位取样响应 0.2()00.2jjdeHesin ()( )()cdnh nn 1(1)52Nsin 0.5 (5)( )(5)dnh nn有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计26n要求设计的要求设计的FIR数字滤波器的单位取样响数字滤波器的单位取样响应应 sin 0.5 (5)( )( )

12、( )( )(5)dnh nh n w nw nn有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计27n用矩形窗时过渡带最窄，而阻带衰减最小，布用矩形窗时过渡带最窄，而阻带衰减最小，布莱克曼窗过渡带最宽，但阻带衰减加大。为保莱克曼窗过渡带最宽，但阻带衰减加大。为保证有同样的过渡带，必须加大窗口长度证有同样的过渡带，必须加大窗口长度N 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计28n频率抽样法是在频率域对理想滤波器频率抽样法是在频率域对理想滤波器采样，采样，在采样点上设计的滤波器在采样点上设计的滤波器和理想滤波器和理想滤波器幅度值相等，然后根据频率域的采样值求幅度值相等，然

13、后根据频率域的采样值求得实际设计的滤波器的频率特性得实际设计的滤波器的频率特性。n对理想滤波器的频率特性对理想滤波器的频率特性在在0,2 范围内范围内等间隔地取样等间隔地取样N个点个点 2( )()jdkNH kHe有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计29n频率响应频率响应 1201( )1( )1NNdjkkNHkzH zNez102()( )NjdkH eHkkN (1) 21 sin(2)( )sin(/2)jNNeN 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计30N为偶数时为偶数时(1)/(1)/0,1,/2 1( )0/2/2 1,1j NkNdj

14、NkNekNHkkNekNNN为奇数时为奇数时(1)/( )0,1,1j NkNdHkekN有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计31n采用频率抽样法设计的采用频率抽样法设计的FIRFIR数字滤波器在阻带数字滤波器在阻带内的衰减很小，在实际应用中往往达不到要求。内的衰减很小，在实际应用中往往达不到要求。n产生这种现象的原因是由于在通带边缘采样点产生这种现象的原因是由于在通带边缘采样点的陡然变化而引起的起伏振荡。的陡然变化而引起的起伏振荡。n增加阻带衰减的方法是在通带和阻带的边界处增加阻带衰减的方法是在通带和阻带的边界处增加一些过渡的采样点，从而减小频带边缘的增加一些过渡的采样

15、点，从而减小频带边缘的突变，也就减小了起伏振荡，增大了阻带最小突变，也就减小了起伏振荡，增大了阻带最小衰减。衰减。 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计32有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计33nFIR滤波器的优化设计采用滤波器的优化设计采用“最大误差最小化最大误差最小化”的优化准则，根据滤波器的设计指标，导出一组的优化准则，根据滤波器的设计指标，导出一组条件，要求在此条件下，在整个逼近的频带范围条件，要求在此条件下，在整个逼近的频带范围内使得逼近误差绝对值的最大值为最小，从而得内使得逼近误差绝对值的最大值为最小，从而得到唯一的最佳解。到唯一的最佳解。

16、n可以证明，采用最大误差最小化准则得到的最优可以证明，采用最大误差最小化准则得到的最优滤波器，在通带和阻带内必然呈等纹波特性。滤波器，在通带和阻带内必然呈等纹波特性。n最大误差最小化准则也称为切比雪夫准则。最大误差最小化准则也称为切比雪夫准则。n采用切比雪夫准则设计的滤波器，误差在整个频采用切比雪夫准则设计的滤波器，误差在整个频带均匀分布，对同样的技术指标，这种逼近法需带均匀分布，对同样的技术指标，这种逼近法需要的滤波器阶数低，而对同样的滤波器阶数，这要的滤波器阶数低，而对同样的滤波器阶数，这种逼近法的最大误差最小。种逼近法的最大误差最小。有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设

17、计34n设所希望设计的滤波器幅度函数为设所希望设计的滤波器幅度函数为n设计一个设计一个FIR滤波器，其幅度函数滤波器，其幅度函数Hg( )在通带在通带和阻带内最佳地一致逼近和阻带内最佳地一致逼近Hd( )n在滤波器的设计中，通带和阻带的要求是不一在滤波器的设计中，通带和阻带的要求是不一样的，为了统一使用最大误差最小化准则，通样的，为了统一使用最大误差最小化准则，通常采用误差加权函数的形式。常采用误差加权函数的形式。 1,0( )0,pdsH( )( )( )( )dgEWHH有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计35n为了保证设计出的滤波器具有线性相位，为了保证设计出的滤波器

18、具有线性相位，h(n)h(n)必须满足线性相位条件。必须满足线性相位条件。n以以h(n)h(n)为偶对称且为偶对称且N N为奇数为例为奇数为例n误差加权函数误差加权函数(1)2( )jj NgH eeH01( )( )cos() M=2MgnNHa nn0( )( )( )( )cos()MdnEWHa nn有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计36n用函数用函数Hg( )最佳一致逼近最佳一致逼近Hd( )的问题是寻找的问题是寻找系数系数a(n), n=0, 1, , M，使加权误差函数，使加权误差函数E( )的最大绝对值达到最小。的最大绝对值达到最小。min max( )A

19、E有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计37nHg( )是是Hd( )的最佳一致逼近的充要条件是误差的最佳一致逼近的充要条件是误差函数函数E( )在在A上至少呈现上至少呈现M+2个个“交错交错”，使得，使得 n如果已知如果已知A上的上的M+2个交错点频率：个交错点频率： 1iiEE | max|iAEE0121,MA011,M 0cos1MkkdknWHa nn max|AE有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计38n用矩阵表示用矩阵表示n求解方程组，得到系数求解方程组，得到系数a(n)和最大加权误差和最大加权误差 ，由此确定最佳滤波器由此确定最佳滤波器H(

20、 ) 112222111100001cos2coscos11cos2coscos11cos2coscos11cos2coscos1MMMMMWMWMWMWM Maaaa2101210MdMddddHHHHH有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计39n实际中交错点组的频率实际中交错点组的频率 是不是不知道的知道的nRemez迭代算法迭代算法 n在频域等间隔取在频域等间隔取M+2个频率个频率 作为交错点的初始值，计算作为交错点的初始值，计算 值。值。011,M 011,M 1010)(/) 1()(MkkkkMkkdkWaHa1, 0coscos11Mkiikikka有限脉冲响应

21、数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计40n利用拉格朗日利用拉格朗日(Lagrange)插值公式，求出插值公式，求出Hg( ) n把把Hg( )代入误差函数，求得代入误差函数，求得E( ) 。00coscos( )coscosMkkkkgMkkkcH MkWHCkkkdk, 1 , 0,1Mkiikikk, 0coscos11有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计41n如果对所有的频率都有如果对所有的频率都有 ，说明，说明 是纹波是纹波的极值，频率的极值，频率 是交错点组频率。是交错点组频率。n在某些频率可能在某些频率可能 ，需要交换初始交，需要交换初始交错点组中的某些

22、点，形成一组新的交错点组。错点组中的某些点，形成一组新的交错点组。 n对上次确定的对上次确定的 中每一点，都检查中每一点，都检查其附近是否存在某一频率其附近是否存在某一频率 ，如存在，如存在，在该点附近找出局部极点值，并用该点代替原在该点附近找出局部极点值，并用该点代替原来的点。来的点。n待待M+2个点都检查过，便得到新的交错点组，个点都检查过，便得到新的交错点组， 再次求再次求 、H( )和和E()，于是完，于是完成了一次迭代，也就完成了一次交错点组的交成了一次迭代，也就完成了一次交错点组的交换。换。 ( )E011,M ( )E011,M ( )E011,M 有限脉冲响应数字滤波器的设计有

23、限脉冲响应数字滤波器的设计42n利用同样的方法，把各频率处使利用同样的方法，把各频率处使 的的点作为新的局部极值点，从而又得到一组新点作为新的局部极值点，从而又得到一组新的交错点组。的交错点组。 n重复以上步骤，因为新的交错点组的选择都重复以上步骤，因为新的交错点组的选择都是作为每一次求出的是作为每一次求出的E()的局部极值点，的局部极值点，因此，在迭代中，每次的因此，在迭代中，每次的| |都是递增的。都是递增的。 最后收敛到自己的上限，此时最后收敛到自己的上限，此时H()最佳一最佳一致逼近致逼近Hd() 。 ( )E有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计43有限脉冲响应数字

24、滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计44nh(n)为偶对称，为偶对称，N为奇数为奇数 nh(n)为偶对称，为偶对称，N为偶数为偶数nh(n)为奇对称，为奇对称，N为奇数为奇数nh(n)为奇对称，为奇对称，N为偶数为偶数01( )( )cos, 2MgnNHa nnM01( )( )cos, 22MnNHb nnM01( )( )sin, 2MnNHc nnM01( )( )sin() , 22MnNHd nnM有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计45nH()可以统一表示为可以统一表示为( )( ) ( )HQP有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计46

25、1(1)(0)(1)21( )(1)( )21()(1)22,3,1bbbb nb nb nb Mb MnM 1(1)(0)(2)21( )(1)(1)21(1)(2)21()(1)22,3,2cccc nc nc nc Mc Mc Mc MnM1(1)(0)(1)21( )(1)( )21()(1)22,3,1dddd nd nd nd Md MnM 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计47n加权误差函数加权误差函数( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )ddHEWHPQWQPQ( )( ) ( )WWQ( )( )( )ddHHQ( )( )(

26、)( )dEWHP有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计48nIIR滤波器存在着输出对输入的反馈，因此可以用比滤波器存在着输出对输入的反馈，因此可以用比FIR滤波器少的阶数来满足技术指标，这样，滤波器少的阶数来满足技术指标，这样，IIR滤波滤波器所用的存储单元和所需的运算次数都比器所用的存储单元和所需的运算次数都比FIR滤波器少。滤波器少。n例如用频率抽样法设计阻带衰减为例如用频率抽样法设计阻带衰减为20dB的的FIR滤波滤波器，其阶数要器，其阶数要33阶才能达到要求，而如果用双线性变阶才能达到要求，而如果用双线性变换法设计一个切比雪夫换法设计一个切比雪夫IIR滤波器，只需滤

27、波器，只需4-5阶就可以阶就可以达到同样的指标，所以达到同样的指标，所以FIR滤波器的阶数要高滤波器的阶数要高510倍。倍。nFIR滤波器可得到严格的线性相位，而滤波器可得到严格的线性相位，而IIR滤波器则做滤波器则做不到这一点。不到这一点。IIR滤波器的选频特性越好，则相位的非滤波器的选频特性越好，则相位的非线性就越严重。如果要求线性就越严重。如果要求IIR滤波器具有线性相位，同滤波器具有线性相位，同时又要求它满足幅度要求，那么就必须用一个全通网时又要求它满足幅度要求，那么就必须用一个全通网络进行相位校正，这必然会大大增加滤波器的节数和络进行相位校正，这必然会大大增加滤波器的节数和复杂性。因

28、此在需要严格线性相位的情况下应该选择复杂性。因此在需要严格线性相位的情况下应该选择FIR滤波器。滤波器。有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计49nIIRIIR滤波器必须采用递归结构实现，只有当所滤波器必须采用递归结构实现，只有当所有极点都在单位圆内时滤波器才是稳定的。但有极点都在单位圆内时滤波器才是稳定的。但实际中由于存在有限字长效应，滤波器有可能实际中由于存在有限字长效应，滤波器有可能变得不稳定。而变得不稳定。而FIRFIR滤波器主要采用非递归结滤波器主要采用非递归结构，因而从理论上以及从实际的有限精度的运构，因而从理论上以及从实际的有限精度的运算中，都是稳定的。另外，算

29、中，都是稳定的。另外，FIRFIR滤波器可以采滤波器可以采用快速傅立叶变换（用快速傅立叶变换（FFTFFT）来实现，在相同阶）来实现，在相同阶数下，运算速度可以快得多数下，运算速度可以快得多 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计50nIIR滤波器可利用模拟滤波器现成的设计公式、滤波器可利用模拟滤波器现成的设计公式、数据和表格，因而计算工作量较小，对计算工数据和表格，因而计算工作量较小，对计算工具要求不高。具要求不高。FIR滤波器没有现成的设计公式，滤波器没有现成的设计公式，窗函数法只给出窗函数的计算公式，但计算通窗函数法只给出窗函数的计算公式，但计算通带和阻带衰减仍无显式表

30、达式。一般，带和阻带衰减仍无显式表达式。一般，FIR滤滤波器的设计只有计算机程序可以利用，因此对波器的设计只有计算机程序可以利用，因此对计算工具要求较高，要借助计算机来设计。另计算工具要求较高，要借助计算机来设计。另外，外，IIR滤波器主要是设计规格化的、频率特滤波器主要是设计规格化的、频率特性为分段常数的标准低通、高通、带通、带阻性为分段常数的标准低通、高通、带通、带阻和全通滤波器，而和全通滤波器，而FIR滤波器可设计出理想正滤波器可设计出理想正交变换器、理想微分器、线性调频器等各种网交变换器、理想微分器、线性调频器等各种网络，适应性较广。络，适应性较广。 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计51n窗函数法设计窗函数法设计FIR滤波器滤波器nF