中北大学线性代数知识点

1、 线 代 第一章 行列式一、 重要公式1 2 34 5 67 89范德蒙行列式：二、主要知识网络图排列逆序奇、偶排列概念性质 行列互换，行列式值不变，即行列式与其转置行列式相等。 互换两行（列），行列式值变号。 某行（列）有公因数，可提到行列式之外。 某行（列）的k倍加到另一行（列）上去，行列式值不变。 若行列式某行（列）的所有元素均为两项之和，则行列式可拆成两行列式之和。 若行列式有两行（列）对应成比例，则值为零。 行列式某行元素与另一行对应的元素的代数余子式乘积之和为零。计算 三角化、递推法、加边法、公式法、拆项法应用 Grame法则 奇次线性方程组有非零解的充分条件第二章 矩阵一、 重要

2、定理定理2.1 设A，B是n的阶矩阵，则。定理2.2 如果A是可逆矩阵，则A的逆矩阵唯一。定理2.3 n阶矩阵A可逆定理2.4 初等阵左（右）乘给定的矩阵，其结果就是对给定的矩阵作相应的行（列）变换。定理2.5 初等矩阵可逆，且其逆同类型初等矩阵，即。定理2.6 如果矩阵A与B等价，则（1）秩r(A)=r(B) (2 )存在可逆矩阵P与Q,使PAQ=B。定理2.7 若r(A)=r,则A中有r个线性无关的行（列）向量而其它的行（列）向量都可由这r个向量线性表出。即r(A)=行秩=列秩。二、重要公式、法则1 加法与数乘（1）A+B=B+A (2 ) (A+B)+C=A+(B+C) (3 ) A+0

3、=0+A=A (4 ) A+(-A)=A (5) k (l A)=(kl)A (6 ) (k+l)A=kA+lA (7 ) k(A+B)=kA+kB (8 ) 1A=A, 0A=0 2.乘法 （1）(AB)C=A(BC) (2)A(B+C)=AB+AC (3 ) (kA)(lB)=kl(AB) (4)A0=0A=0 3.转置 (1)（AT)T=A (2)(A+B)T=AT+BT (3)(kA)T=kAT (4) (AB)T=BTAT 4.可逆 (1) (2) (3) (4) 5.伴随 （1）（2） (3) (4) (5) 6. n阶矩阵的行列式 （1） (2) (3) (4) (5) 7. 矩

4、阵秩的性质(1) （P、Q可逆）(2) (3) (4) ；(5) （n表示A的列数B的行数）(6) (7) AB=0（n表示A的列数B的行数）(8) A为实矩阵 ？（9） 三、二阶方阵： （1） （2）四、分块阵 ， ， 五、可逆的判断法1n阶矩阵A可逆A的行（列）向量线性无关仅有零解，2 上三角阵的逆阵为上三角阵，且其主对角线上的元素为其原对角元素的倒数，下三角类同。六、正交阵（）1A正交，。 2A正交，也正交。 3A正交，也正交。 4A正交，也正交。 5A正交，。 6A正交，AB也正交。七、对角阵1. A为方阵，为反对称阵（）。2. A为反对称阵：则为反对称阵(n为偶数)则为对称阵(n为奇

5、数)则为反对称阵()则AB反对称B对称且AB=BA3.为反对称阵,则也是反对称阵。4.A为对称阵，则也是对称阵。5*.实的反对称阵的只能为0或bi形式。口诀： 1、题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。 2、若涉及到A、B是否可交换，即ABBA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 3、若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。第三章 向量空间1、A的行（列）向量无关，A的行（列）向量相关口诀：1、若要证明一组向量1,2,S线性无关，先考虑用定义再说。 2、若已知AB0，则将B的每列作为

6、Ax=0的解来处理再说。第四章 特征值与特征向量一、重要公式1、 2、 3、A可逆4、可逆阵A的每行之和为，则的一个特征值为，且对应的特征向量为5、kE-A的可逆性 6、A可逆且有n个无关的特征向量有相同的n个无关的特征向量。7、8、矩阵 Ak Af（A）B（A的初等变换）特征值kf（）不定特征向量不一定是不定二、相似与对角化（A为n阶方阵）有n个不同的A有n个线性无关的特征向量A为实对称矩阵有个无关解A的每一个重有个线性无关的特征向量 三、可对角化的判断方法1、 A为实对称矩阵2、3、四、合同（，记作：）1、 合同不一定有相同的。2、 A合同于B，则R（A）=R（B）且同号，A、B有相同的正

7、惯性指数。3、 A合同于E，则A正定。五、A、B有相同的特征值A等价BA、B对应正负惯性指数相同六、变 换 关 系变 换 阵性 质等 价PAQ=BP、Q可逆秩不变相 似P可逆秩不变不变 ，tr（A）=tr（B）正交相似C正交秩不变不变 ，tr（A）=tr（B）合 同P可逆秩不变对称性不变口诀：1、若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。2、若已知A的特征向量0，则先用定义A000处理一下再说。 第五章 二次型一、正负定判断：1、正定正惯性指数=nA的所有特征值n个主子行列式的值都为正数A合同于E。2、负定负惯性指数=nA的所有特征值n个主子行列式的值负正相间二、化二次型为标准型1、 配方法2、 合同变换法3、 特征值法口诀：若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。口 诀第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即ABBA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。第四句话：若要证明一组向量1,2,S线性无关，先考虑用定义再说。第五句话：若已知AB0，则将B的每列作