数学物理方法第七章2012课件

1、第二篇第二篇 数学物理方程数学物理方程1Mathematical Equations for Physics想要探索自然界的奥秘就得解微分方程想要探索自然界的奥秘就得解微分方程 牛顿牛顿重点1、从实际问题中建立数学物理方程的基本方法；、从实际问题中建立数学物理方程的基本方法；2、系统的边界条件和初始条件的写法；、系统的边界条件和初始条件的写法；3、一维波动方程的行波解。、一维波动方程的行波解。第七章第七章 数学物理方程的定解问题数学物理方程的定解问题 数学物理方程，通常指从物理学及其他各门自然科数学物理方程，通常指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程学、技术科学中所产生的偏

2、微分方程( (涉及到多个变量) )，有时也包括与此有关的积分方程。有时也包括与此有关的积分方程。2一、数学物理方程-泛定方程泛定方程: :物理规律的数学表示物理规律的数学表示 物理规律物理规律 物理量物理量u u 在空间和时间中的变在空间和时间中的变化规律，即物理量化规律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。之间的联系。物理规律的直接表现：物理规律的直接表现：u u在邻近地点和邻近时刻所取在邻近地点和邻近时刻所取的值之间的关系式的值之间的关系式偏微分方程偏微分方程数学语言翻译泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体泛定方程反映的是同一类物理现象的共

3、性，和具体条件无关。条件无关。3二、边界问题-边界条件体现边界状态的数学方程称为边界条件体现边界状态的数学方程称为边界条件三、历史问题-初始条件体现历史状态的数学方程称为初始条件体现历史状态的数学方程称为初始条件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件 不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。定解问题的完整提法：定解问题的完整提法： 在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量给定的区域里解出某个物理量u，即求

4、即求u(x,y,z,t)。4定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的 特殊性，即个性。特殊性，即个性。泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。 它反映了问题的共性。它反映了问题的共性。具体的问题的求解的一般过程：具体的问题的求解的一般过程：1 1、根据系统的内在规律列出泛定方程、根据系统的内在规律列出泛定方程客观规律客观规律2 2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和 初始条件初始条件求解所必须用的求解所必须用的7.1

5、 数学物理方程的导出数学物理方程的导出53、求解方法 行波法、分离变量法、等导出步骤：导出步骤：1 1、确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分，分析邻、确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分，分析邻 近部分与它的相互作用。近部分与它的相互作用。2 2、根据物理规律，以算式表达这个作用。、根据物理规律，以算式表达这个作用。3 3、化简、整理。、化简、整理。波动方程的导出（一）均匀弦的微小横振动（一）均匀弦的微小横振动x( , )u x tu弦的横振动弦的横振动 设：均匀柔软的细弦沿设：均匀柔软的细弦沿x轴绷紧，在平衡位置附轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动近产生振幅极小的横振动u(x

6、,t): 坐标为坐标为x 的点在的点在t时刻沿垂线方向的位移时刻沿垂线方向的位移求：细弦上各点的振动规律求：细弦上各点的振动规律6选取不包括端点的一小段选取不包括端点的一小段(x, x+dx)(1)弦是柔软的弦是柔软的 (不抵抗弯曲不抵抗弯曲),张力沿弦的切线方向张力沿弦的切线方向(2)振幅极小振幅极小 张力与水平方向的夹角张力与水平方向的夹角 1和和 2 很很小，仅考虑小，仅考虑 1和和 2的一阶小量，略去二阶小量的一阶小量，略去二阶小量(3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略。弦的重量与张力相比很小，可以忽略。研究对象：研究对象：简化假设：简化假设：u(x)u+ uu0 1 2T2T1xx+

7、 x弦的原长弦的原长sx 现长现长22()()sxux 7沿沿x-方向，不出现平移方向，不出现平移2211coscos0TT弦长弦长dx ，质量密度，质量密度 ，B段的质量为段的质量为m= dx沿垂直于沿垂直于x-轴方向轴方向2211sinsin()ttTTdx u 22ttd ufmmudt1 21 20, cos1. ，11sintanxxxuux 22sintanxxxu 受力分析和运动方程受力分析和运动方程u(x)u+ uu0 1 2T2T1xx+ xB8在微小振动近似下：在微小振动近似下：弦中各点的张力相等弦中各点的张力相等()xx dxxxttT uudx u （）xx dxxxx

8、xttuuTTuudx 2/aT 20ttxxua u 波动方程波动方程波速波速a 在上式推导过程中，出现的力是弦内的张力，外力在上式推导过程中，出现的力是弦内的张力，外力为零。在受到横向作用力时，弦运动为为零。在受到横向作用力时，弦运动为受迫振动受迫振动。设单位长度上弦受力设单位长度上弦受力 ，力密度为，力密度为( , )F x t( , )( , )/f x tF x t ( , )()xx dxxxttT uuF x t dxdx u （）受迫振动方程受迫振动方程2( , )ttxxua uf x t9单位质量所受单位质量所受外力，力密度外力，力密度（二）均匀杆的纵振动（二）均匀杆的纵振

9、动 设：均匀细棒设：均匀细棒(杆杆)，沿杆长方向作微小振动，沿杆长方向作微小振动u(x,t): 平衡时坐标为平衡时坐标为x 的点在的点在t 时刻沿时刻沿x 方向的位移。方向的位移。 求：细杆上各点的运动规律求：细杆上各点的运动规律研究对象：研究对象：取一不包含端点的小段（取一不包含端点的小段（x, x+dx）,并设杆的并设杆的横截面积为横截面积为S，密度为，密度为 ，杨氏模量为，杨氏模量为Y，该小段在，该小段在t时刻时刻的伸长量的伸长量u(x+dx,t)-u(x,t)(, )( , )u xdx tu x tudxx xxdx ( , )u x t(, )u xdx t 相对伸长量：相对伸长量

10、：10胡克定律：胡克定律：LSdLfLdLYSf Y：杨氏模量，：杨氏模量，运动方程：运动方程：xxdx 杆的杆的dx一段相对伸长一段相对伸长uudu xufYSYSux 杆杆dx两端的相对伸长不同，应力也不同两端的相对伸长不同，应力也不同x dxxx dxxxxfffYSuYSuYSu dx 又，牛顿定律：又，牛顿定律：()ttfSdx u 20ttxxua u 2/aY a为波速为波速ux 11（四）均匀薄膜的微小横振动（四）均匀薄膜的微小横振动设：均匀柔软的薄膜绷紧，膜平面为设：均匀柔软的薄膜绷紧，膜平面为xy平面，研究平面，研究膜在垂直于膜在垂直于xy平面的微小横振动平面的微小横振动u

11、(x,y,t): 坐标点为坐标点为(x,y)的横向位移的横向位移为张力在为张力在xy平面上的投影方向平面上的投影方向薄膜 Tuxy平面的平面的n张力T的横向分量sintanuTTTn n12在在x和和x+dx两边所受的横向两边所受的横向作用力作用力xyx+dxy+dyxyn(即即y)n(即即x)()xxxxx dxxT uT udyTu dxdy 在在y和和y+dy两边所受的横向两边所受的横向作用力：作用力：Tuyydxdy 为单位面积的薄膜质量为单位面积的薄膜质量ttxxyyu dxdyTu dxdyTu dxdy ()0ttxxyyuT uu 220ttuau2/aT 薄膜的受迫振动方程薄

12、膜的受迫振动方程22( , , )ttuauf x y t 单位面积上的横向外力单位面积上的横向外力( , , )F x y t单位质量上的横向外力单位质量上的横向外力( , , )F x y tf 1314连续性方程连续性方程:（扩散问题）（扩散问题）研究连续分布的某种研究连续分布的某种物理量物理量xyz),(zyx(,)xdx ydy zdzdxdydz密度密度：单位容积中物理量的多少：单位容积中物理量的多少( , , , )u x y z t流强度流强度：单位时间通过单位：单位时间通过单位面积的该物理量（面积的该物理量（v 为流速）为流速）quv单位时间沿单位时间沿x-方向净流入量方向净

13、流入量xqdxxq()x dxxqqqdydzdxdydzx 单位时间净流入量等于由密度增加的量单位时间净流入量等于由密度增加的量udxdydztqqqudxdydzdxdydzdxdydzdxdydzxyzt0()()()xyzuuvuvuvtxyz物质的总量守恒物质的总量守恒0()vt （七）（七） 扩散方程扩散方程 扩散现象：扩散现象：系统的浓度系统的浓度 u(x) 不均匀时，将出不均匀时，将出现物质从高浓度处到低浓度处的转移，叫扩散。现物质从高浓度处到低浓度处的转移，叫扩散。扩散定律：扩散定律：dxx)(xu)(dxxu浓度梯度浓度梯度：u扩散流强度：扩散流强度：单位时间通过单位面积单

14、位时间通过单位面积的物质的量的物质的量qqDu 0()xuuvtxquv一维扩散方程一维扩散方程0()()xxquuuuuvDtxtxtxx均匀均匀2220uuatx0()()()uuuuDDDtxxyyzz2aD利用连续性方程利用连续性方程带入扩散定律带入扩散定律三维扩散方程三维扩散方程15（八）热传导方程（八）热传导方程热传导热传导: 热量从温度高的地方到温度低的地方转移。热量从温度高的地方到温度低的地方转移。1ux2uq由能量守恒，（满足连续性方程）由能量守恒，（满足连续性方程）( , , , )u x y z t系统的温度系统的温度q热流强度：热流强度：单位时间通过单位面积的热量单位时

15、间通过单位面积的热量热传导热传导定律：定律：qku k热传导系数热传导系数0ucqt 为密度，为密度，c为比热为比热三维热传导方程三维热传导方程()()()0txyzc ukukukuxyz 16172 2、用匀质材料制做细圆锥杆，试推导它的纵振动方程。、用匀质材料制做细圆锥杆，试推导它的纵振动方程。 xs1x+dx s2xu(x,t)xxuYS|1 dxxxuYS |2解：解：如图选坐标系，选如图选坐标系，选dx段为研究对象段为研究对象,dx段两边受段两边受拉力分别为拉力分别为211(| )xxdxxxttY S uS uS dxu 由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：ttxxdxxxuSdxu

16、SuSY112| 0)(222 xttuxxxau Ya 作业：作业：P121，2, 7, 8187：长为：长为l的柔软均质绳索，一端固定在以匀速转动的竖直轴上，的柔软均质绳索，一端固定在以匀速转动的竖直轴上，由于惯性离心力的作用，这弦的平衡位置应是水平线。试推导由于惯性离心力的作用，这弦的平衡位置应是水平线。试推导此绳相对于水平线的横振动方程。此绳相对于水平线的横振动方程。 XYxx+dx解：解：如图选坐标系，由于惯性如图选坐标系，由于惯性离心力的作用，绳内各处受力离心力的作用，绳内各处受力不同，不同，x处的拉力为处的拉力为即即22221( )()2lxT xx dxlx 21|xx dxx

17、xttT uT udxu xttTuux 2221()2xttlxuux 2221()02ttxulxux 7.2 定解条件定解条件常微分方程定解问题回顾常微分方程定解问题回顾 常微分方程求解就是积分。常微分方程求解就是积分。积分过程会出现积分常积分过程会出现积分常数。数。常微分方程定解问题就是确定积分常数常微分方程定解问题就是确定积分常数。 利用在自变量取一个特定值时的值，如初值利用在自变量取一个特定值时的值，如初值u(t=0)确定积分常数。确定积分常数。积分一次，出现一个积分常数；求解二积分一次，出现一个积分常数；求解二阶常微分方程出现两个积分常数。阶常微分方程出现两个积分常数。数学物理方

18、程的定解问题数学物理方程的定解问题),(tzyxu要求给定：边界条件和初始条件要求给定：边界条件和初始条件19（一）（一） 初始条件初始条件 对于输运过程（扩散、热传导），初始状对于输运过程（扩散、热传导），初始状态是指所研究的物理量态是指所研究的物理量u的初始分布的初始分布0( , , , )( , , )tu x y z tx y z 初始初始“位移位移”初始初始“速度速度”0( , , , )( , , )ttu x y z tx y z t t的一次微分方程，只需要初始位移的一次微分方程，只需要初始位移t t的二次微分方程还需要初始速度。的二次微分方程还需要初始速度。初始分布初始分布0

19、( , , , )( , , )tu x y z tx y z 对于振动过程对于振动过程20txxua u20ttxxua u20和和 是空间坐标的函数是空间坐标的函数( , , )x y z ( , , )x y z 例：例：02 0222 , ( , )(), thlxxlu x thllxxll21注意：初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布，注意：初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布， 而不是一点处的情况。而不是一点处的情况。一根长为一根长为l的弦，两端固定于的弦，两端固定于0和和l。在中点位置将弦沿着横向拉。在中点位置将弦沿着横向拉开距离开距离h ，如图所示，然后放手任其振动，

20、试写出初始条件。，如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。 l x l/2h解：初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意解：初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有初始速度为零，即有00( , )ttu x t初始位移初始位移（二）边界条件（二）边界条件 定义：系统的物理量始终在边界上具有的情况。定义：系统的物理量始终在边界上具有的情况。 A.第一类边界条件第一类边界条件直接给出系统边界上物理量的函数形式。直接给出系统边界上物理量的函数形式。如：两端固定的弦振动如：两端固定的弦振动00( , )xu x t0( , )x lu x t和和位置确定位置确定22常见的线性边界条件分为三类

21、：常见的线性边界条件分为三类：细杆热传导细杆热传导0 xlx 0( , )x lu x tu或随时间变化的温度或随时间变化的温度( , )( )x lu x tf t恒温恒温B.第二类边界条件第二类边界条件第一类边界条件的基本形式：第一类边界条件的基本形式：000000,( , , , )(, )xyzu x y z tf xyzt边界速度确定速度确定细杆的纵振动：细杆的纵振动：当端点当端点“自由自由”，即无应力。根据胡，即无应力。根据胡克定律，杆的克定律，杆的相对伸长也为零相对伸长也为零：0( , )xx lux t细杆热传导：细杆热传导：端点绝热，端点绝热，热流强度为零热流强度为零，由热传

22、导定律：，由热传导定律：0( , )xx lux t23C.第三类边界条件第三类边界条件位移和速度的组合位移和速度的组合细杆热传导：细杆热传导：端点端点“自由自由”冷却冷却 (热流正比于温差热流正比于温差)。牛顿冷却定律：牛顿冷却定律：()qh uTT 为环境温度。为环境温度。nquT根据热传导定律，在根据热传导定律，在 x=l 处：处：()nx lx lkuh uT0 xlx 负负x方向方向nn正正x方向方向00()xxxkuh uT()xx luHuT0()xxuHuT在在x=0 处处 nnqkunxqku24细杆纵振动：细杆纵振动：端点与固定点弹性连接。应力为弹性力端点与固定点弹性连接。

23、应力为弹性力胡克定律：胡克定律：xfYSu弹性力：弹性力：fku 则在端点则在端点xkuYSu0()xx lYSuuk一般表达式：一般表达式：000000,()(, )边界xyzuuHf xyztn这些是最常见的线性边界条件，还有其它形式。这些是最常见的线性边界条件，还有其它形式。（三）衔接条件（三）衔接条件xlx k 系统中可能出现物理性质急剧变化的点系统中可能出现物理性质急剧变化的点(跃变点跃变点)。如两节具。如两节具有不同的杨氏模量的细杆在有不同的杨氏模量的细杆在 x=0 处连接，这一点就是跃变点。处连接，这一点就是跃变点。跃变点两边的物理过程因此不同。但在跃变点，跃变点两边的物理过程因

24、此不同。但在跃变点，某些物理量仍某些物理量仍然可以是连续的然可以是连续的，这就构成，这就构成衔接条件衔接条件。25例例ux0 x横向力横向力 作用于作用于 点。点。( )F t)(tF0 x弦在弦在 的左右斜率不同，但位移的极限值相同。的左右斜率不同，但位移的极限值相同。)0()0(00 xuxu120( )sinsinF tTT这两个等式就是衔接条件。这两个等式就是衔接条件。0 x又，横向力应与张力平衡：又，横向力应与张力平衡：即即11022000sintan(, )sintan(, )xxuxtuxt 0000(, )(, )( )xxTuxtTuxtF t 1 226确定确定c：11si

25、ntan(1)caah22sintan (2)caalh 1coscos21 aads=dx力平衡条件：力平衡条件： 011222211sinsin0 (3)coscos0 (4)FTaTaTaTa x hF01、如右图，在、如右图，在h处受到拉力处受到拉力F0 ,写出初始位移写出初始位移. )()0(|0lxhxlhlchxxhcut21解27解出：解出：lThlhFc00)( )()()0()(|00000lxhxllThFhxxlThlFut作业：作业：P128，1, 33 3、长为、长为l 的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为0q，写出这个热传导

26、问题的边界条件。，写出这个热传导问题的边界条件。在边界上有：若端点是绝热的，则解：nuqkn 0|qqxuknuknlxlx x=l处： 0|0 xlxxuxuxq0q0nnkqxux00| x=0处： 00)(|qqxuknuknlxx kqxulx0| 7.4 达朗贝尔公式达朗贝尔公式 定解问题定解问题行波法行波法用行波法求解波动方程的用行波法求解波动方程的基本思想：基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。评述：这一思想与常微分方程的解法是一样的。评述：这一思想与常微分方程的解法是一样的。关键步骤：通过变量变换，将波动方程化

27、为便于积分的关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。齐次二阶偏微分方程。（一）波动方程的达朗贝尔公式（一）波动方程的达朗贝尔公式 222220() (, )au x ttx290),(2u将将 和和 看作如同数一样的算子，可以进行加减乘除：看作如同数一样的算子，可以进行加减乘除：tx0()() (, )aau x ttxtx当当 a=1 ，相当于沿，相当于沿 x 和和 t 求导，变求导，变成沿对角线求导。当成沿对角线求导。当 a 不为不为1，则，则求导的线进行相应的角度变化。求导的线进行相应的角度变化。变换：变换：12()x和和12()ta 显然，显然，xat xa

28、t 111222()txatxa txatx111222()txatxa txatx xtxatxat坐标变换坐标变换2240( ,)au 300),(2u(1) 通解通解对对 积分：积分：(, )( )u x tf 积分常数依赖于积分常数依赖于 再积分：再积分：212( )( )( )( )ufdfff 12( , )()()u x tfxatfxat以以f2为例讨论其意义为例讨论其意义XxatTt作坐标变换：作坐标变换： 新坐标的时间与旧坐标同，新坐标的原点新坐标的时间与旧坐标同，新坐标的原点 X=0 在旧坐在旧坐标中以速度标中以速度 a 运动；函数的图像在动坐标系中保持不变。运动；函数的

29、图像在动坐标系中保持不变。f2(x-at) 是以速度是以速度 a 沿沿 x 轴正方向运动的行波轴正方向运动的行波,f1(x+at)是以速度是以速度 a 沿沿 x 轴反方向运动的行波。轴反方向运动的行波。22()()fxatfX31222220() (, )au x ttx确定待定函数的形式确定待定函数的形式无限长，即无边界条件无限长，即无边界条件设初始条件为设初始条件为0( )tux 和和0( )ttux ()x 12( )( )( )f xfxx 12( )( )( )afxafxx 01210201( )( )( )()()xxf xfxdf xfxa 011020111222( )( )

30、( )()()xxf xxdf xfxa 1122( , ) ()()( )x atx atu x txatxatda 12()()uf xatfxat001102021020111222111222()()( )()()()()( )()()x atxx atxf xatxatdf xfxafxatxatdf xfxa (2)达朗贝尔公式达朗贝尔公式 32设初速度为零设初速度为零112012121202211222220,( ),xxxxuxxxxxxxxxuxxxxxxxx 0( )x )(x1x2x122xx0u12( , ) ()()u x txatxat 由达朗贝尔公式由达朗贝尔公式

31、 33x1x2t=0t1t2t3t4设初位移为零设初位移为零01212 0 (,)( )(,)xx xxxx x 0( )x 假使初始速度在区间假使初始速度在区间x1,x2上是常数上是常数 0111222( , )( )( )( )x atx atx atx atu x tdddaaa 110011202121002112222( )( )()()xxxxdxxaxddxxxxxaaaxxxxa 其中其中1x2xx)(x解：解：341x2x)(x111( , )( )( )( )222x atx atx atx atu x tdddaaa 35t=0t1t2t3（二）端点的反射（二）端点的反射

32、一个端点固定一个端点固定22222() (, )0au x ttx (0)x 设初始条件为设初始条件为0( )tux 和和0( )ttux 边界条件边界条件00 xu 达朗贝尔公式是无限长弦的公式。由于自变量限制为达朗贝尔公式是无限长弦的公式。由于自变量限制为x 011( , ) ()()( )22x atx atu x txatxatda tx/a时，上式后两项无意义，必须将时，上式后两项无意义，必须将 u(x,t) 延拓到这个范围延拓到这个范围(0, )0ut ，作奇延拓：，作奇延拓：( )( )xx ( )( )xx ( )(0)( )()(0)xxxxx ( )(0)( )()(0)x

33、xxxx 半无限长弦的自由振动半无限长弦的自由振动3611( , ) ()()( )22x atx atu x txatxatda x atx atx atatxxatxatdtx aau x txatatxdtx aa 11 ()()( )(/ )22( , )11 ()()( )(/ )22 37半波损失只有初始位移，没有初始速度只有初始位移，没有初始速度开始反射开始反射38一个端点自由一个端点自由22222() (, )0au x ttx (0)x 设初始条件为设初始条件为0( )tux 和和0( )ttux 边界条件边界条件00 xxu 应该是偶延拓应该是偶延拓( )(0)( )()(

34、0)xxxxx ( )(0)( )()(0)xxxxx 11( , ) ()()( )22x atx atu x txatxatda 001122111222 ()()( )(/ )( , ) ()()( )( )(/ )x atx atx atatxxatxatdtx aau x txatatxddtx aaa 39无半波损失无半波损失只有初始位移，没有初始速度只有初始位移，没有初始速度开始反射开始反射40 从从达朗贝尔公式达朗贝尔公式可以看出，波动方程的解，是初始条可以看出，波动方程的解，是初始条件的演化。方程本身并不可能产生出超出初始条件的，件的演化。方程本身并不可能产生出超出初始条件的，额外的形式来。额外的形式来。 而这种演化又受到边界