常数项级数的审敛法ppt课件

1、一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法1、比较审敛法、比较审敛法(1) (1) 一般形式一般形式(2) (2) 极限形式极限形式2、比值审敛法、比值审敛法3 3、根值审敛法、根值审敛法 nnnulim 三、任意项级数的敛散性三、任意项级数的敛散性二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法 , 2 , 1 11 nuunn0 2nnulimnnvu 0,llvulimnnn0 nnnuulim1绝对收敛绝对收敛条件收敛条件收敛一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数：正项级数： , 2 , 1 0 ,1 nuunnn部分和数列部分和数列 ns单增：单增：121nnssss正项

2、级数正项级数1nnu收敛的充要条件是部分和数列有界收敛的充要条件是部分和数列有界.定理定理1. ns假设假设 有界有界,那么那么,limssnn nkku1级数级数收敛。收敛。反之，反之，nkku1若级数若级数收敛，收敛，那么那么, sslimnn ns即即有界有界, , 2 , 10 nvunn设设 收收敛敛1nnv 发发散散1nnu证证,usnkkn1,vnkkn1 ,snn 收收敛敛 1nnu发发散散 1nnv.limslimnnnn 1、比较审敛法、比较审敛法,unn1,vnn1（1一般形式一般形式推论推论若存在自然数若存在自然数N, 使得当使得当,N,Nnkvunn10成立成立,nN

3、 时时,1).那么那么1nnu收敛收敛;2).,N,Nnkvunn1成立成立,1nnu发散发散.那那么么1nnv收敛收敛,假设假设发散发散, 1nnv假设假设例如例如, , 级数级数,nn1121121nun,n21故原级数发散。故原级数发散。发散发散, ,121nn而而nnppdxnn111nnpdxx11考虑级数考虑级数,nnppn12111其部分和其部分和1113121211pppns11111ppnn当当1p时，时，,xnpp11有有那么那么对于对于,nxn11111111ppnnp1111pn1111pnnnnlimslim上述级数收敛。上述级数收敛。由比较审敛法知由比较审敛法知,

4、p-级数当级数当 p1 时收敛。时收敛。P级数级数:11npn当当1p时收敛时收敛; 当当1p时发散时发散.结论结论1由比较审敛法知由比较审敛法知, 该级数发散。该级数发散。例例1 讨论讨论P-级数级数ppppn14131211的收敛性的收敛性, 其中其中解解.p0,nnp11有有当当10 p时，时，而调和级数而调和级数11nn发散，发散，例如例如,11nn发散发散;121nn收敛收敛.例例2. 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性: ;1111nnn. .nn.n14112解解 111nnu .n211n,n11111nn发散发散,故原级数发散。故原级数发散。 4112nnu .nnn1

5、,n21121nn收敛收敛, 故原级数收敛。故原级数收敛。P级数级数:11npn当当1p时收敛时收敛; 当当1p时发散时发散.结论结论设设11nnnnv,u为正项级数为正项级数,假设假设,llvulimnnn0 证证 对对,l2 存在自然数存在自然数 N, 当当 nN 时时, 有有.llvunn2, lvulnn232,vluvlnnn232由比较审敛法知结论成立由比较审敛法知结论成立.(2)比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式那么那么1nnu的敛散性相同。的敛散性相同。1nnv与与例例4. 判别级数判别级数nsinsinsinsin333332 的敛散性。的敛散性。解解nnnsinlim

6、33 ,113nn 收敛收敛, 故原级数收敛故原级数收敛.例例5 判别级数判别级数1211nnln的敛散性的敛散性.解解 22111nnlnlimn2211nnnlnlimeln1而级数而级数121nn收敛收敛,故原级数收敛故原级数收敛.取取,nvn21,vnn3 取取解解nnsinlimn11, 1取取,nvn111nn因因发散发散, 故原级数发散。故原级数发散。例例3. 判别级数判别级数11nnsin的敛散性的敛散性:设正项级数设正项级数,unn1 nnnuulim1当当1 时时,级数发散级数发散;当当1 时时,级数收敛级数收敛;当当或或 1 时，时，敛散性不定。敛散性不定。2、比值审敛法

7、、比值审敛法(i) 1,r 因而因而,323mmmurruu 证证由极限定义由极限定义, 存在自然数存在自然数 m ,当当 nm 时有不等式时有不等式nnuu1 ,1mmruu , 212mmmurruu 取适当小的正数取适当小的正数 , 使得使得 + = r 1,而而1kkmru为公比为公比 r 1, 取适当小的正数取适当小的正数 , 使得使得 1,由极限定义由极限定义, 当当 nm 时有不等式时有不等式(iii) =1, 级数可能收敛也可能发散级数可能收敛也可能发散.易就易就 p 级数举出反例级数举出反例.类似可证类似可证,. ,lim 11发散发散级数级数时时当当 innnnuuu解解

8、nnnuu1lim.1 !1limnnn nlimn10, 1级数收敛级数收敛. nnnuulim.12!n!nlimnnn101011101nlimn, 级数发散级数发散.例例6 判别级数的敛散性判别级数的敛散性: ;!11.11 nn ;10!.21 nnn .!2.31 nnnnn nnnuulim.1311112nnnn!nlimnnnnlim12e21级数收敛级数收敛.!nnnn2nnn 111 lim2111112nnnlim1111. n例例7. 判别级数的敛散性判别级数的敛散性: ;2 111nntann. ;23 212nnncosn. .sin.nnn152 3 解解. n

9、nnuulim.1112221nnntanntannlim 1222nnnlim , 121级数收敛级数收敛. nnncosnu .2322 nn2,vnnnnvvlim1nnlimnnn2211, 1211nnv收敛收敛, 故原级数收敛故原级数收敛. nnnsinu .523 nn52 n52 故原级数收敛故原级数收敛.1521nnnvvlim而而,vn收敛收敛,1nnv注：注：=1时时,比值审敛法失效比值审敛法失效, 必须用其他的方法来判别必须用其他的方法来判别. 例例8 判别级数判别级数12121nnn的敛散性的敛散性. .121212nnn 解解 111212lim nnnnn nnn

10、uu1lim nnnnn212112121lim 比值审敛法失效。比值审敛法失效。但但而而 121nn收敛，收敛，12121nnn收敛收敛.由比较审敛法，得由比较审敛法，得nnn 122设正项级数设正项级数 1,unn nnnulim 例例9. 判别级数的敛散性判别级数的敛散性: 112113.2 ;11nnnnn-nn. nnnulim.1nnnnlim1nlimn1, 10 级数收敛。级数收敛。 nnnulim.2nnnnnlim1213. 191级数收敛级数收敛.当当1 时时, 发散发散;当当1 时时,3 3、根值审敛法、根值审敛法级数收敛级数收敛;当当或或 1 时时, 敛散性不定。敛散

11、性不定。解解二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法交错级数：交错级数： ,111 nnnu或或,unnn11,nun210,unnn111,nun210若满足若满足: , 2 , 1 11 nuunn则级数收敛则级数收敛, 且其和且其和,us1其余项其余项.u|r |nn1莱布尼茨定理莱布尼茨定理0 2nnulim证证ns2 nnuuuuuu2124321 ,uuuuuun254321ns2单增且有上界单增且有上界,usslimnn12nnuuuuuu2124321ns2.usn1212 nnslim122nnnuslims,usslimnn1故故|r|n1nu321nnnuuu例例10

12、. 判定级数的敛散性判定级数的敛散性: ;11.111 nnn .11.21 nnn解解 nu.n1 111n,un 1nnulimnlimn10所以级数收敛所以级数收敛. nu.n1 211n,un 1nnulimnlimn10所以级数收敛所以级数收敛.三、任意项级数的敛散性三、任意项级数的敛散性任意项级数：任意项级数： 1,unn则称则称 1nnu为绝对收敛为绝对收敛.1).假设假设1nn|u|收敛收敛,2).假设假设1nnu收敛收敛, 但但1nn|u|发散发散,则称则称1nnu为条件收敛为条件收敛.例如例如,1111nnn1311nnn条件收敛条件收敛;绝对收敛绝对收敛.为任意实数为任意实数.nu 定理定理 证证 设设1nn|u|收敛收敛, 令令 ,n|u|uvnnn21 21|,u|vnn0由正项级数比较审敛法知由正项级数比较审敛法知1nnv收敛收敛.|,u|vunnn2由性质知由性质知,1nnu收敛收敛.绝对收敛绝对收敛,若级数若级数1nnu必定收敛必定收敛.则级数则级数1nnu例例11. 判定级数的敛散性判定级数的敛散性, 若收敛若收敛, 是绝对收敛还是条件收敛是绝对收敛还是条件收敛? ;112nnnsin