上海高三一模真题汇编——函数专题教师版

1、2018年一模汇编函数专题1、 知识梳理【知识点1】函数的概念与函数三要素【例1】 设函数，则 . 【答案】.【解析】，.【点评】考察函数的概念.【例2】函数，若，则实数的取值范围是 .【答案】.【解析】当时，（舍）； 当时，（舍）或；综上，所以.【点评】考察分段函数的概念.【知识点2】函数的奇偶性【例1】已知、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则 . 【答案】.【解析】，根据奇偶性可得，所以.【点评】考察函数的奇偶性，利用奇偶性求解析式.【例2】已知函数为奇函数，求实数的值.【答案】.【解析】方法一：，解得；方法二：因为函数为上的奇函数，所以，解得.【点评】函数的奇偶性，已知函数为奇函数求

2、参数的值。注意方法二在使用时一定要确保“0”在定义域内.【知识点3】函数的单调性【例1】已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，若，求的取值范围.【答案】.【解析】已知函数为件数，可得.【点评】根据函数的奇偶性和单调性解不等式.【例2】如果定义在上的函数满足：对于任意，都有，则称为“函数”。给出下列函数：；，其中“函数”的序号是 .【答案】.【解析】可转化成，即为单调递增的函数，所以选.【点评】考察函数单调性的等价定义.【知识点4】函数的最值与恒成立有解问题【例1】函数且在上恒成立。求的取值范围.【答案】.【解析】恒成立说明.方法一：（分类讨论）时，函数为开口向上，对称轴为的二次函数，此时，所

3、以，即； 时，函数，符合题意； 时，函数为开口向下，对称轴为的二次函数，此时，所以，即，所以。综上所述，.方法二：（参变分离）在上恒成立，即，所以.【点评】不等式恒成立问题，注意最值能否取到的问题以及方法二中分离参数时是否需要改变不等号方向的问题.【例2】已知（为常数），且当、时，总有，则实数的取值范围是 . 【答案】.【解析】，.恒成立说明，即，.【点评】不等式恒成立问题，注意当括号里取值不一样时应该分别求最值，若一样则应该用作差求最值.【知识点5】函数的零点【例1】设是定义在R上的偶函数，对任意，都有且当时， .若函数在区间恰有3个不同的零点，则的取值范围是 . 【答案】.【解析】将的零点

4、问题转化成函数和函数的图像交点个数问题，可得.【点评】考察函数零点个数的问题.【例2】已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 . 【答案】.【解析】数形结合，从函数的图像交点情况上即可得出结论.【点评】考察函数零点个数的问题.【知识点6】函数的对称性和周期性【例1】已知是常数，若函数的最大值为10，则的最小值为_【答案】.【解析】根据条件可知，函数关于点 对称，即。所以，当取得最大值时，必然为最小值，所以.【点评】考察函数关于点对称的问题.【例2】函数是最小正周期为4的偶函数，且在时，若存在满足，且，则最小值为 . 【答案】.【解析】首先，根据题意画出函数的大致图像，由

5、于，且题目要求最小值，则很轻松的就可以得到，当每一个绝对值均取4时，可以最快的得到2016，也就是可以使得最小；，则需要504个差值，由于，且周期为4，则，此时可算得，那么最小值为1513.【点评】考察函数的周期性问题.【知识点7】反函数【例1】若点在函数图像上，则的反函数为 _.【答案】.【解析】，所以.【点评】考察求函数的反函数.【例2】若函数的反函数的图像过点，则_.【答案】.【解析】函数的反函数的图像过点，所以函数的图像过点，所以，.【点评】考察反函数与原函数的关系.【知识点8】幂指对方程【例1】方程的解 . 【答案】.【解析】，因为，所以，即，.【点评】考察解指对数方程，注意定义域.

6、【例2】方程的解 . 【答案】.【解析】，.【点评】考察解指对数方程.【知识点9】新定义【例1】在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数的图像恰好经过个格点，则称函数为阶格点函数，已知函数：；其中为一阶格点函数的序号为 _.（注：把你认为正确的序号都填上）【答案】.【解析】函数：显然的图像不仅仅经过一个格点，例如（1，1）、（-1，1）；函数：，若纵坐标取整数，当时，显然不可能为整数；当时，或，显然不可能为整数；当时，当时，该函数图像经过（0，0）点；当时，或，显然不可能为整数；当时，显然不可能为整数；综上，该函数图像只经过一个格点.函数：借助的图像来看，因为底数为，所以当时

7、，才有可能取整数1，是向下平移一个单位，所以只经过格点（0，0），所以是一阶格点函数；函数：，若纵坐标取整数，当时，显然不可能为整数；当时，显然不可能为整数；当时，显然不可能为整数，综上，该函数不是一阶格点函数.【点评】考察函数的新定义题型，重点是对题意的理解.【例2】设函数的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意xD，都有，则称函数是“似周期函数”，非零常数T为函数的“似周期”现有下面四个关于“似周期函数”的命题： 如果“似周期函数”的“似周期”为1，那么它是周期为2的周期函数； 函数是“似周期函数”； 函数是“似周期函数”； 如果函数是“似周期函数”，那么“”其中是真命题的序号是（写出所

8、有满足条件的命题序号）【答案】.【解析】命题：由题意得，所以，所以周期为2，成立；命题：得不到定值，命题不成立命题：，作函数和函数的图像会发现有交点，即有解，所以函数是“似周期函数”，命题成立；命题：，即对任意恒成立，所以。当时，则；当时，则.综上，命题成立.【点评】考察函数的新定义题型，重点是对题意的理解.【知识点10】函数综合【例1】已知二次函数的值域为.（1） 判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2） 判断此函数在的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3） 求出在上的最小值，并求的值域.【解析】（1）因为二次函数为轴对称图形，且对称轴为不为轴，所以此函数为非奇非偶函数。（2）判断：因为

9、函数值域为，所以函数图像开口向上，且对称轴为，此函数在上单调递增.证明：设任意，且，则，所以函数在在上单调递增.（3）分类讨论，讨论对称轴与给定区间的位置关系。由，原函数可以写成.对称轴为当，即时，当，即时， 易得值域为.【点评】函数的综合题型. A B D C E 【例2】 如图，有一块平行四边形绿地，经测量，拟过线段上一点设计一条直路（点在四边形的边上，不计路的宽度），将绿地分为面积之比为的左右两部分，分别种植不同的花卉，设，（1）当点与点重合时，试确定点的位置； （2）试求的值，使路的长度最短 【解析】（1）当点与点重合时，由已知，又 ,是的中点 （2）当点在上，即时，利用面积关系可得，

10、 再由余弦定理可得；当且仅当时取等号当点在上时，即时，利用面积关系可得， （）当时，过作交于，在中，利用余弦定理得 （）同理当，过作交于，在中，利用余弦定理得由（）、（）可得， ， ,，当且仅当时取等号 ,由可知当时，路的长度最短为【点评】函数的综合应用题.2、 一模真题汇编1、 填空题1.（奉贤区11）已知，函数在区间上有最小值为且有最大值为，则实数的取值范围是_.【答案】.2.（崇明区7） 若函数的反函数的图像经过点，则_.【答案】.3.（崇明区9）已知函数是奇函数，当时，且，则_.【答案】.4.（宝山区11）给出函数，这里，若不等式（）恒成立，为奇函数，且函数恰有两个零点，则实数的取值范

11、围为 . 【答案】.5（宝山区12）若（，）个不同的点、满足：，则称点、按横序排列，设四个实数、使得，成等差数列，且两函数、图像的所有交点、按横序排列，则实数的值为 .【答案】1. 6.（长宁嘉定6）已知函数，是函数的反函数，若的图像过点，则的值为 . 【答案】 4. 7（长宁嘉定10）已知函数是定义在上且周期为4的偶函数，当时，则的值为 . 【答案】.8.（金山区12）关于函数，给出以下四个命题：当时，单调递减且没有最值；方程（）一定有实数解；如果方程（为常数）有解，则解的个数一定是偶数；是偶函数且有最小值；其中假命题的序号是 . 【答案】.9.（普陀区3）方程的解 .【答案】. 10.（徐

12、汇区3）函数的定义域为 .【答案】.11.（青浦区10）已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 .【答案】.12.（青浦区12）已知函数和同时满足以下两个条件： 对任意实数都有或； 总存在，使成立；则的取值范围是 .【答案】. 13（徐汇区11）若不等式对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】.14.（徐汇区12） 已知函数与的图像关于轴对称，当函数与在区间上同时递增或同时递减时，把区间叫做函数的“不动区间”，若区间为函数的“不动区间”，则实数的取值范围是 . 【答案】 . 15.（虹口区1）函数的定义域是 . 【答案】.16.（虹口区2）已知是定义在上的奇函数，则 . 【答

13、案】0.17.（虹口区12）设，其中，如果函数与函数都有零点且它们的零点完全相同，则为 . 【答案】或.18.（浦东新区3）已知函数的反函数是，则 .【答案】. 19.（浦东新区8）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 . 20.（松江区4）已知函数的反函数为，且，则实数 .【答案】.21.（松江区10）已知函数有三个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】.22.（松江区11）定义，已知函数、的定义域都是，则下列四个命题中为真命题的是 .（写出所有真命题的序号） 若、都是奇函数，则函数为奇函数； 若、都是偶函数，则函数为偶函数； 若、都是增函数，则函

14、数为增函数； 若、都是减函数，则函数为减函数；【答案】 . 2、 选择题1.（杨浦区14）给出下列函数：；.其中图像关于轴对称的函数的序号是（ ） A. ； B. ； C. ； D. .【答案】B.2.（杨浦区15）“”是“函数在内存在零点”的（ ） A. 充分非必要条件； B. 必要非充分条件； C. 充要条件； D. 既非充分也非必要条件.【答案】A3.（宝山区15）若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（ ） A. ； B. ； C. ； D. .【答案】C.4.（长宁嘉定16）已知函数，且，则满足方程的根的个数为（ ） A. 个； B. 个； C. 个； D. 个.【答案】C.5.（

15、普陀区14）“”是“函数在区间上为增函数”的（ ） A. 充分非必要条件； B. 必要非充分条件； C. 充要条件； D. 既非充分也非必要条件.【答案】A.6.（普陀区16）定义在上的函数满足，且，则函数在区间上的所有零点之和为（ ） A. 4； B. 5； C. 7； D. 8.【答案】B.7.（奉贤区16）设是定义在上的奇函数,当时,，若在上存在反函数，则下列结论正确是（ ）A或； B或； C或； D或 . 【答案】B.8（虹口区15）已知函数，则（ ） A. 2017 ； B. 1513； C. ； D. .【答案】D.9.（闵行区16）已知函数（）的值域是，有下列结论： 当时，； 当

16、时，； 当时，； 当时，；其中结论正确的所有的序号是（ ） A. ； B. ； C. ； D. .【答案】C.10.（浦东新区15）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，、为常数），若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是（ ）小时 A. 22； B. 23 ； C. 24； D. 33.【答案】C.11. （松江区14）已知是上的偶函数，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件； B. 必要而不充分条件； C. 充分必要条件； D. 既不充分也不必要条件.【答案】A.3、 解答题1. （杨浦区17

17、）如图所示，用总长为定值的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.（1）设场地面积为，垂直于墙的边长为，试用解析式将表示成的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【答案】解：（1）设平行于墙的边长为，则篱笆总长，即， 2分所以场地面积， （定义域2分） 6分（2）， 8分所以当且仅当时， 12分综上，当场地垂直于墙的边长为时，最大面积为 14分.2.（杨浦区19） 已知函数的定义域为集合，集合，且.（1）求实数的取值范围；（2）求证：函数是奇函数但不是偶函数.【答案】解：（1）令，解得，所以， 3分因为，所以，解得，即实数的取值范

18、围是 6分（2）函数的定义域，定义域关于原点对称 8分 12分而，所以 13分所以函数是奇函数但不是偶函数. 14分.3. （崇明区21）若存在常数，使得对定义域内的任意，都有成立，则称函数在定义域是“利普希兹条件函数”。（1） 若函数是“利普希兹条件函数”，求常数的取值范围；（2） 判断函数是否是“利普希兹条件函数”，若是，请证明。若不是，请说明理由；（3） 若是周期为2的“利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数都有.【答案】（1）由题意，得：对任意， 都有成立，所以 因为，所以 所以常数的取值范围.5分（2） 取则 而 所以不满足.3分所以函数不是“利普希兹条件函数”.5分（3） 若 当时

19、，.1分当时，因此对任意，都有.5分因为周期为2所以对任意，都在使所以. 4.（青浦区21）对于定义在上的函数，若函数满足： 在区间上单调递减； 存在常数，使其值域为，则称函数为函数的“逼近函数”.（1）判断函数是不是函数，的“逼近函数”；（2）求证：函数不是函数，的“逼近函数”；（3）若是函数，的“逼近函数”，求的值.【答案】（1）是；（2）不是；（3）.5.（长宁嘉定20）已知函数.（1）求证：函数是偶函数；（2）设，求关于的函数在时的值域表达式；（3）若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明略；（2）时，值域为，时，值域为；（3）.6. （金山区19）设为函数（，为

20、定义域）图像上一个动点，为坐标原点，为点与点两点间的距离.（1）若，求的最大值与最小值；（2）若，是否存在实数，使得的最小值不小于2？若存在，请求出的取值范围，若不存在，则说明理由.【答案】（1），；（2）或.7（普陀区18）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买台机器人的总成本万元.（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200

21、件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？【答案】（1）由题意得每台机器人的平均成本为2分 4分当且仅当，即时取等号，则要使每台机器人的平均成本最低，应买300台6分（2）当时，每台机器人日平均分拣量，当时，每台机器人的日平均分拣量最大值为4802分当时，每台机器人的日平均分拣量仍为480，则引进300台机器人后，日平均分拣量的最大值为4分若用传统人工分拣144000件，则需要人，6分因此，引进机器人后要降低物流成本，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少8分.8.（徐汇区19）已知函数（，）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）

22、讨论函数的零点个数.【答案】解：（1）当时，此时，所以是偶函数，当时，所以既不是奇函数也不是偶函数6分（2）由，可得变为令，8分作的图像及直线，有图像可得：当或时，有1个零点10分当或时，有2个零点12分当或时，有3个零点14分.9.（奉贤区17）已知函数（1）判断函数的奇偶性； （2），求的值【答案】解：（1）定义域 3分 关于原点对称 1分 2分 所以是奇函数 2分 （2） 2分 2分 2分.10.（虹口区19）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2，宽为1的矩形，矩形两边、紧靠两条互相垂直的路上，现要过点修一条直线的路，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点和.（1）设（

23、），将的面积表示为的函数；（2）求的面积（）的最小值.【答案】解：（1），.又，5分7分（2）设，10分，当且仅当，即时，取得最小值14分.11.（闵行区19）某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童，此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为10000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为30万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元）.（1）求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益；（2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？【答案】（1），；（2）第33天. 12.（浦东新区21）已知函数的定义域为，值域为，即，若，则称在上封闭.（1）分别判断函数，在上是否封闭，说明理由；（2）函数的定义域为，且存在反函数，若函数在上封闭，且函数在上也封闭，求实数的取值范围；（3）已知函数的定义域为，对任意，若，有恒成立，则称在上是单射，已知函数在上封闭且单射，并且满足Ü，其中（），证明：存在的真子集， ÜÜÜ