一次函数反比例函数与几何综合

1、一次函数与几何综合【例1】 已知：如图，直线与轴交于点，与直线相交于点（1）求点的坐标（2）请判断的形状并说明理由（3）动点从原点出发，以每秒1个单位的速度沿着 的路线向点匀速运动（与点、重合），过点分别作轴于，轴于设运动秒时，矩形与重叠部分的面积为求：与之间的函数关系式当为何值时，最大，并求的最大值【例2】 如图,直线与x轴y轴分别相交于点. 点E的坐标为, 点A的坐标为. 点是第二象限内的直线上的一个动点。（1）求值；（2）当点运动过程中，试写出的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）探究：当运动到什么位置（求的坐标）时，的面积为，并说明理由【例3】 在平面直角坐标系中，直线与

2、轴、轴分别交于、两点， 直接写出、两点的坐标； 直线与直线交于点，动点从点沿方向以每秒个单位的速度运动，设运动时间为秒（即）过点作轴交直线于点，若点在线段上运动时（如图），过、分别作轴的垂线，垂足分别为、，设矩形的面积为，写出和之间的函数关系式，并求出的最大值；若点经过点后继续按原方向、原速度运动，当运动时间为何值时,过、三点的圆与轴相切. 【例4】 如图1，在平面直角坐标系中，已知直线的解析式为，直线交轴于点，交轴于点（1）若一个等腰直角三角板的顶点与点重合，求直角顶点的坐标；（2）若（1）中的等腰直角三角板绕着点顺时针旋转，旋转角度为，当点落在直线上的点处时，求的值；（3）在（2）的条件下

3、，判断点是否在过点的抛物线上，并说明理由【例5】 在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点， 直接写出、两点的坐标； 直线与直线交于点，动点从点沿方向以每秒个单位的速度运动，设运动时间为秒（即）过点作轴交直线于点，若点在线段上运动时（如图），过、分别作轴的垂线，垂足分别为、，设矩形的面积为，写出和之间的函数关系式，并求出的最大值；若点经过点后继续按原方向、原速度运动，当运动时间为何值时,过、三点的圆与轴相切. 补充：求|x+y|+|x-y|=5图像围成的面积反比例函数与几何综合【例1】 如图所示，在函数的图象上，都是等腰直角三角形，斜边都在轴上，则_【例2】 如图，已知正方形的面积为9，

4、点为坐标原点，点在轴上，点在轴上，点在函数(，)的图像上，点(，)为其双曲线上的任一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，并设矩形和正方形不重合部分的面积为 求点的坐标和的值； 当时，求点坐标； 写出关于的函数关系式【例3】 两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，动点在的图象上，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点求证：四边形的面积是定值；当时，求的值；若点的坐标为，的面积分别记为、，设求的值；当为何值时，有最大值，最大值为多少？【例4】 如图，点、在反比例函数()的图象上，且点、的横坐标分别为和()轴，垂足为，的面积为（1）求反比例函数的解析式；（2）若点(，)，(，)也在反

5、比例函数的图象上，试比较与的大小；（3）求的面积【例5】 已知：在矩形中，分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点（1）求证：与的面积相等；（2）记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【例6】 如图，点，都在反比例函数的图象上（1）求的值；（2）如果为轴上一点，为轴上一点， 以点为顶点的四边形是平行四边形，试求直线的函数表达式【例7】 如图，已知反比例函数的图象和一次函数的图象都经过点求这个一次函数的解析式；如果等

6、腰梯形的顶点在这个一次函数图象上，顶点在这个反比例函数图象上，两底，与轴平行，且和的横坐标分别为和，求的值。【例8】 反比例函数和一次函数，其中一次函数图像经过，两点（1）求反比例函数的解析式；（2）求出两函数的交点的坐标在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，把符合条件的点的坐标都求出来；若不存在，请说明理由【例9】 如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由【例10】 将直线向左平移个单位长度后得到直线，如图，直线与反比例函数的图象相交于，与轴相交于，

7、则_【例11】 如图，直线与反比例函数的图象相交于点、点，与轴交于点，其中点的坐标为，点的横坐标为（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求的面积【例12】 如图甲，点（，）在函数（）的图象上，矩形的边在轴上，点是对角线的中点，函数（）的图象又经过点、，点的横坐标为。（）求的值；（）用含的代数式表示、两点的坐标；（）当时，求直线的解析式；（）在（）的条件下，延长交轴于点，连接。若在与之间的这段双曲线上有一动点，过点作轴于点，交线段于点，过点作轴于点，交线段于点（如图乙），问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是请说明理由。（图甲）（图乙）【例13】 已知函数的图象上有一点，且是关于的方程的两个实

8、数根，其中是使方程有实数根的最小整数，求函数的解析式。【例14】 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？（2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这

9、道题目？【例15】 下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上，边OA与函数的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R分别过点P和R作轴和轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM得到MOB，则MOB=AOB（1）帕普斯的方法究竟是如何证明的呢？请写出证明过程（2）你能三等分一个钝角吗？（用文字简要说明）【例16】 如图，已知的顶点是一次函数与反比例函数的图像在第一象限内的交点，且（1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由（2）如果线段的延长线与

10、反比例函数的图像的另一支交于点，过作轴于，那么的面积与的面积的大小关系能否确定？（3）请判断为何特殊三角形，并证明你的结论【例17】 如图所示，设反比例函数的两支为，正三角形三个顶点位于此反比例函数的图象上（1）求证：不能都在反比例函数的同一支上（2）设在上，在上，求顶点的坐标习题已知直线的图象与轴交于两点，直线经过原点，与线段交于点，把的面积分为的两部分，求直线的解析式。如图，在轴上有五个点，它们的横坐标依次为分别过这些点作轴的垂线与三条直线，相交，其中，则图中阴影部分的面积是_如图，在直角梯形中，上底，下底，是上任意一点，若用表示，四边形的面积用表示(1)求与之间的函数关系式；(2)当四边形的面积是梯形面积的一半时，求点的位置如图，是函数()图象上一点，直线交轴于点，交轴于点，轴于，交于，轴于，交于.求的值.已知直线经过点与点，另一条直线经过点，且与轴交于点.（1）求直线的解析式。（2）若的面积为3，求的值。在平面直角坐标系中，轴于点，轴于点,直线与轴、轴分别交于点，且解析式，求直线的解析式。如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限直线上的点，点，是坐标原点，的面积为，求与的函数关系式.正比例函数()与反比例函数的图象相