高等数学李伟版课后习题答案第八章

1、习题81（A）1判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）一个点集的内点一定属于，其外点一定不属于，其边界点一定不属于，其聚点一定属于；（2）开集的所有点都是其内点，开集也称为开区域；（3）一个有界集一定能包含在以坐标原点为圆心，适当长的线段为半径的圆内；（4）考查二元函数的定义域时，应从两方面去考虑：用解析式表达的函数要考虑使该解析式有意义的所对应的点的集合（自然定义域）对有实际意义的函数还应该从自然定义域中找出使实际问题有意义的点集；（5）当沿某一条曲线趋于时，函数的极限存在，并不能说明极限存在，但如果当沿某一条使函数有定义的曲线趋于时，函数的极限不存在，则一定不存在；（6）为说明极限不存在

2、，通常也采取用当沿两条不同曲线趋于时，函数的极限不相等的方法；（7）如果函数在点连续，点必须是函数定义域的内点；（8）若是二元函数的间断点，那么一定不存在答：（1）前两者都正确，这是根据内点、外点的定义；后两者都不正确，无论是边界点还是聚点它们都可以是的点，也可以是非的点，如当是闭集是，的边界点是的点当是开集时的边界点就不是的点；又如点 是集合的聚点，但是它不是的点（2）前者正确，这是有开集定义决定的；后者不正确，连通的开集才是开区域，不连通的开集不是开区域，如是开集，但是不是开区域（3）正确，这就是有界集的定义（4）正确，求多元函数的自然定义域如同一元函数的定义域，要从以下几个方面考虑：分式

3、中分母不能为零，开偶次方底数要大于等于零，对数中真数要于零，、中要求， 若干个式子的四则运算中，取每个式子有意义的交集，等等（5）两者都正确，如：不存在，但是沿取极限时值为1；后者是由极限的定义决定（6）正确，这是证明多元函数极限不存在的基本方法，它源于在中，是以（定义域内的）任意方式实现的（7）不正确如：在点连续，但是点不是函数定义域的内点（8）不正确如：点是函数的间断点，但是极限2判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点所组成的集合（称为导集，用表示）和边界：（1）； （2）；（3）； （4）解：（1）是有界闭区域，其导集，其边界（2）是非开非闭的有界

4、区域，其导集，其边界（3）是无界区域，其导集， （4）是有界开集（不是区域），其导集，其边界3设函数，求，解：，4设函数，求解：5设函数，已知时，求及的表达式解：由时，有，即，所以；而6设函数，求的表达式解：（方法1）因为，所以（方法2）令，则，于是，所以7求下列各函数的定义域，并作定义域草图：（1）； （2）；（3）； （4）解：（1）由且，得定义域 （2）由及，有，得定义域（3）由，有，得定义域（4）由，有，或，得定义域 8求下列极限：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6） 解：（1） （2） （3） （4）因为有界，而，所以 （5） （6）9证明下列极限不存在：（1）； （

5、2）证明：（1）沿取极限，则，当取不同值时，该极限值不同，所以极限不存在 （2）先沿取极限，则；再沿取极限，则，由于沿两种不同方式取极限其极限值不同，所以极限不存在10找出下列函数的间断点的集合：（1）； （2）； （3）解：三个函数都是初等函数，找间断点只需找函数无定义的点，并且这些点又是定义域的聚点（1）函数只在点无定义，且是定义域的聚点，所以断点的集合 （2）函数在圆周上无定义，且圆周上的点都是定义域的聚点，所以断点的集合（3）函数的定义域，函数在及上无定义，这些点中只有，及（）是定义域的聚点，所以断点的集合习题81（B）1某厂家生产的一种产品在甲、乙两个市场销售，销售价格分别为（单位：

6、元），两个市场的销售量各自是销售价格的均匀递减函数，当售价为10元时，销售量分别为2400、850件，当售价为12元时，销售量分别为2000、700件如果生产该产品的成本函数是，试用表示该厂生产此产品的利润解：根据已知，设，由时，；时，有得，于是由时，；时，有得，于是两个市场销售该产品的收入为，该产品的成本根据利润等于收入减去成本，得2设函数 求函数值解：当时，则，于是；当时，则，于是3求函数的定义域解：由，有且，即且，或写作且；或且，即且，或写作且，所以定义域4求下列极限：（1）； （2）；（3）； （4）解：（1）令，则当时，所以或者：因为时，与是等价无穷小，所以 （2） （3）令，则当时

7、，（其中在区间内任意变化），所以 （4）因为，而， ，根据“夹逼准则”得5证明极限不存在.证明：先沿取极限，再取极限，由于沿两种不同方式取极限其极限值不同，所以极限不存在6讨论函数的连续性解：当时，是连续函数当时，满足的点是轴上点或轴上点，对轴上点，极限，这些点是函数的连续点对轴上点（除去），当时，极限不存在（极限不是零，震荡），所以这些点是间断点综上，函数在点（）处不连续，其余点处都连续习题82（A）1判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）极限既是的一元函数在点处的导数，也是二元函数在点处对变量的偏导数；（2）二元函数在某一点处连续是在这点偏导数存在的必要条件；（3）二元函数的两个二阶混合

8、偏导数与只要存在就一定相等答：（1）正确，这是根据导数与偏导数的定义（2）不正确，例如函数在点处连续，但是都不存在事实上：因为不存在，所以不存在；由变量的对称性得，也不存在（3）不正确还需要与连续，否则它们不一定相等，如函数 在点处，从而事实上，特别，特别，2求下列函数对各个自变量的一阶偏导数：（1）（）； （2）；（3）； （4）；（5）（）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10） 解：（1）将函数改写为，则，（2），（3），（4）， （5）， （6），（7）， （8），由变量的对称性，得 （9），（10）， 3求下列函数在指定点的偏导数：（1）设，求及；（2）设，求及解：（1）在时

9、，将函数改写为，则， （2）因为，所以，因为，所以4求曲线在点处的切线与轴正向的夹角解：，用表示曲线在点处的切线与轴正向的夹角，则，所以5求下列函数的高阶偏导数：（1）设，求，和；（2）设，求，和；（3）设，求，和解：（1），（2）， （3）， 6设函数，求，和解：因为，则，因为，则，7设函数，证明证明：因为，所以8设函数，证明证明：因为，所以9设函数，证明证明：因为，所以10若函数都可导，设，证明证明：因为，所以习题82（B）1设一种商品的需求量是其价格及某相关商品价格的函数，如果该函数存在偏导数，称为需求对价格的弹性、为需求对价格的交叉弹性如果某种数码相机的销售量与其价格及彩色喷墨打印机的

10、价格有关，为，当，时，求需求对价格的弹性、需求对价格的交叉弹性解：由，有，当，时，需求对价格的弹性：， 需求对价格的交叉弹性：2已知满足，证明证明：由，有，由，有，由，有，得3设函数，证明证明：将函数改写为，则，由变量的对称性，有，所以4设函数满足，且，求解：由，两边同时对求不定积分，有，用代入该式，有，根据条件，得，于是上式两边同时再对求不定积分，有，由条件，得，所以 5设函数，求及解：， （或由变量的对称性求得）6设函数证明在点处的两个偏导数都不存在证明：因为极限不存在，极限不存在，所以在点处的两个偏导数都不存在习题83（A）1判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）称函数在可微分，如果在

11、这一点函数的两个偏导数都存在，并且，其中为函数在点的全增量，；（2）函数在一点可微分，它在这点必连续；（3）函数在一点可微分的充分必要条件是，在这点的偏导数都存在；（4）函数在一点的偏导数连续，能保证在这点附近曲面可以用平面来近似替代，其中 答：（1）正确，可微的必要条件是两个偏导数存在，且，再根据，有，即，这就是函数可微的定义（2）正确，事实上，由可微，根据定义有，于是，这表明函数在该点连续（3）不正确，偏导数存在仅仅是可微的必要条件，而不是可微的充分条件，如函数在两个偏导数都存在且等于零（习题8-2（B）5），但是函数在不可微事实上，若可微，则，但是不存在（分别沿、取极限，其值为0及），这

12、与矛盾，所以函数在不可微函数可微的充分条件是偏导数在该点连续（4）正确，若记，则，由此得，这表明在点附近曲面可以用平面来近似替代，这就是所谓的局部线性化2求下列函数的全微分：（1）； （2）；（3）； （4）； （5）； （6） 解：（1）因为，所以 （2）因为，所以（3）因为，所以 （4）因为，所以（5）因为，所以 （6）因为，所以 3当，时，求函数的全微分和局部线性化解：因为，所以， 而，4当，时，求函数的全增量及全微分解：，当，时：全增量，全微分习题83（B）1一个圆柱形构件受压后发生形变，它的半径由cm增加到cm，高由cm减少到cm，求此构件体积变化的近似值解：设构件的高为、底半径为、

13、体积为，则，于是，当时， ( ，即体积大约减少了628 (2计算的近似值解：考虑函数，取，而，、，则3设函数在点的某个邻域内可微，且，其中，求函数在点处的全微分及局部线性化解：在中，令，得在点考虑函数的全增量：，（其中）根据全微分的定义，有，并且得4设函数 在点处讨论偏导数的存在性、偏导数的连续性以及函数的可微性解：因为，所以在点处函数的两个偏导数都存在，且再讨论可微性，函数在处的全增量用表示，则，记，则不存在（沿取极限，其值为；沿取极限，其值为），所以函数在点处不可微进而得偏导（函）数在点处不连续（若偏导（函）数在点处连续，根据可微的充分条件，则函数一点可微，与函数不可微矛盾）习题84（A）

14、1判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）对多元复合函数来说，欲求其对自变量的偏导数，借助于树形图比较方便不论中间变量是几元函数，最终求出的偏导数所含的项数等于从因变量到达该自变量的路径数目，某一项有几个因式，取决于与该项相对应的路径中所含有的线段数目；（2）对于可微的复合函数，对于的偏导数；（3）利用全微分形式的不变性，对一个多元复合函数来说可以先求其全微分，最后再得出该复合函数对各自变量的偏导数答：（1）正确，这是复合函数的链式求导法则决定的，如若函数由函数复合而成，复合函数的树形图为右图，而 在图中我们可以看到从变量到变量有四条路径，由此导数公式中有四项之和，而每一项中（如第一项）偏导数

15、或导数的个数（3个）等于这条路径上从到段数（3段） （2）不正确，左、右式中的含义不同，左式中表示对自变量求导，它涉及图中三个，而右式中的仅表示对中间变量（一）求导，（当某一个变量在复合函数中有双重身份，既是自变量又是中间变量时会出现这种记号混淆情况），为了与左式中区别，此处应当用记号（同时分别用）表示，即写作 （3）正确，即若某个复合函数的全微分是（通常这个全微分是由微分法则与微分形式不变性求得），则、，这是多元复合函数求偏导数的方法之一 2设函数，而，求解：（方法1）函数的复合关系如图，则 （方法2）消去中间变量，有，按一元函数求导，得 （注：具体函数的复合函数都有以上两种方法，并且方法2

16、简单，但是本节的目的在于练习复合函数链式求导方法，所以后面只用方法1求导）3设函数而是的可微函数，求 解：4设函数，而，求解：5设函数，而，求和解：，6设函数，求和解：这是幂指函数求导，为方便求导，将它写作复合函数，为此令，则，（注：可以由变量的对称性直接写出）7求下列函数的一阶偏导数（其中函数具有一阶连续的偏导数或导数）：（1）； （2）；（3）； （4）解：（1）， （2），（3），（4）， ， 8设函数，其中是可微函数，证明证明：因为，所以9设函数，其中是可微函数，证明证明：因为，所以10用微分形式不变性求函数的偏导数和解：令，则，则根据微分法则与微分形式不变性，得所以，习题84（B）1

17、在解偏微分方程（含有未知函数的偏导数的方程，也称为数理方程）时，常常要用变量代换将一个复杂的方程化为一个简单的方程，从而可以求其解设具有二阶连续偏导数，若用变量代换将偏微分方程化为，求的值 解：，由，有，即，要化为，必须，且，由，即，得或，但是由，所以只能是2设有一阶连续偏导数，且满足，求.解：令，等式两边同时对求导，有， （*）由于，则（*）式化为，所以 3若函数有二阶导数，且，又函数满足方程，求解：令，则，于是，由，有，即，这是二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程是，特征根为，方程的通解是，由条件，有，得，所求所求函数是4若函数可微，且对任何正实数有，证明 证明：等式两边同时对导，则，记，

18、则上式为，令，得，将该式中的分别用表示，则，即 5求下列函数的二阶偏导数（其中函数具有二阶连续偏导数）：（1）； （2）；解：（1），（2），6设，其中函数、有二阶导数，求、及.解：，7设，其中函数、有二阶导数，证明证明：因为，所以习题85（A）1判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）要使方程确定一个隐函数，如果将定理5.1中的条件换为而其它不变，则该方程仍能确定一个隐函数；（2）如果函数满足类似于定理5.1的条件，对各个自变量有连续偏导数，且对某个变量的偏导数不为零，则元方程可以确定一个具有连续偏导数的元函数；（3）若按照教材中的说法，一个方程组可以确定一组多元函数那么函数的个数等于方程组

19、中方程的个数，函数的元数等于方程中所含变量的总个数减去方程的个数；（4）若方程组能确定两个二元隐函数那么通过对该方程组中的各个方程的两边对同一个变量求导，就可以得到含有的方程组，通过解这个方程组，就可以求得答：（1）不正确，如方程（其中），在点处有，但是它不能确定一个隐函数，因为在这点左侧附近给定一个对应有两个值，在这点右侧附近没有值对应；当且其它条件不变时，可以确定一个一元函数（2）正确，这是定理5.1的推广（3）正确，但是要注意两点，一是变量的个数需大于方程的个数（否则方程组可能只确定一点，或者无解）；二是要满足隐函数存在的条件（超出教学要求，此处略去）（4）正确，如同例5.4、例5.5等

20、的解法2若函数分别由下列方程确定，求（1）； （2）；（3）； （4）解：（1）（方法1）设，则，所以（方法2）方程两边同时对求导，有，解得（注：两种方法最大的差别在于：方法1中在求时都看作自变量，而方法2在求导过程中要看作的函数尽管方法1简单一些，但是它有局限性，只适用于求一个方程确定的隐函数的一阶导数或偏导数，而方法2适用于各类隐函数的各阶导数或偏导数的求法，后面一般都按方法2作） （2）方程两边同时对求导，有，解得（3）方程两边同时对求导，有，得（4）方程两边取对数，有，该式两边同时对求导，有，即，解得3设函数分别由下列方程确定，求（1）； （2）解：（1）方程两边同时对求导，有，得，

21、（2）方程两边同时对求导，有，解得，4若函数分别由下列方程确定，求及（1）； （2）；（3）； （4）解：（1）（方法1）设，则，所以（方法2）方程两边对求导，有，得，方程两边对求导，有，得（以下都按方法2作）（2）方程两边同时对求导，有，得，方程两边同时对求导，有，得（或由变量的对称性，得）（3）方程两边对求导，有，即，而，所以，得，由变量对称性有（4）方程改写为，方程两边对求导，有，得，方程两边对求导，有，得5若函数，都是由方程确定的隐函数，其中有一阶连续非零的偏导数，证明证明：因为，所以6设函数，而函数由方程确定，求全导数解：方程两边同时对求导，有，得， 7设函数，而函数、分别由方程及确

22、定，求全导数解：方程两边同时对求导，有，得，方程两边同时对求导，有，得，所以8设函数，而由方程确定，求解：方程两边同时对求导，有 ，用、代入，有，得于是，所以习题85（B）1某工件的外表面是一个椭球面，方程由给出，现在点处要将其局部线性化（即做一个切平面），求局部线性化表达式解：设方程在点确定的隐函数为，方程两边对求导，有，用、代入，有，得，由变量对称性，得所以2若函数由方程确定，求解：方程两边对求导，有，得，由变量的对称性，得等式两边同时对求导，有，即所以或3若函数由方程确定，其中是可微函数，求、解：方程两边同时对求导，有，解得，方程两边同时对求导，有，解得 4若函数由方程确定，其中是可微函

23、数，证明证明：方程两边同时对求导，有，得，方程两边同时对求导，有，得，所以5设函数，而由方程确定，其中函数连续，、可微，且，求解：方程两边对求导，有，得，方程两边对求导，有，得，所以 6求由下列方程组所确定函数的导数或偏导数：（1） 求和（2） 求及解：（1）方程组两边同时对求导，有消去，有，得，而（2）方程组两边同时对求导，有（1）（2），有，得，再代入到（2）之中得方程组两边同时对求导，有与前面解法类似，得，习题86（A）1判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）如果曲线的参数方程为 （），那么它就对应一个向量值方程若存在并且不同时为零，那么，曲线在相应点处的切向量为，由此利用直线的点向式

24、方程就可写出该点处的切线方程；（2）求曲线的切线方程与法平面方程的关键是求切向量，而其中又以参数方程为基础，其它形式的曲线方程都划归为参数方程，找出相应的切向量，然后写出要求的方程；（3）曲面的切平面方程是以曲面的一般方程为基础进行讨论的，如果曲面方程为的形式，那么必须把它化为的形式，其中，因而它在点处的法向量一定为，切平面方程为：；（4）如果曲线为一般方程那么，曲线在点的切向量可取为答：（1）正确，这就是曲线为参数方程时，切线方向向量的求法此时切线方程为；法平面方程为（2）正确，对参数方程，在处的切向量；对形如的取向方程，将变量看作参数，在处的切向量对一般方程按隐函数它可以确定两个一元函数，

25、如 ，按隐函数求导方法得到，从而得在处的切向量（3）不确切，曲面的法向量可以直接由给出，也可以由给出（4）正确，设曲面在点处的法向量为，曲面在点处的法向量为，根据法平面的定义有，于是可取2空间一质点在时刻时的位置为，求质点在时刻的速度解：3求曲线在点处的切线及法平面方程解：点对应参数为，切向量，切线方程为，法平面方程为，即4求曲线，在对应于的点处的切线及法平面方程解：切点为，切向量，切线方程为，法平面方程为，即5求曲线在点处的切线及法平面方程解：，切向量，切线方程为，法平面方程为，即6求曲线在点处的切线及法平面方程解：设，则切向量，切线方程为，法平面方程为，即7求曲面在点处的切平面及法线方程解

26、：设，则法向量，切平面方程是，即，法线方程是8求曲面在点处的切平面及法线方程解：法向量切平面方程是，即，法线方程是习题86（B）1求曲线（）上平行于平面的切线方程，并写出该点处的法平面方程解：设切点坐标为，该点对应参数，曲线在该点的切向量为，由切线与平面平行，有，得，即，由于，所以切点坐标为，切向量，切线方程为，法平面方程为，即2在椭球面上求平行于平面的切平面方程 解：设切点坐标为，则法向量，由切平面平行于平面，有，即，代入到曲面方程之中，有，得，切点为或，在点，切平面为，即；在点，切平面为，即3问旋转抛物面上哪一点处的切平面过曲线，在点处的切线解：设切点坐标为，则法向量，切平面方程为，即曲线

27、，在点对应参数，曲线在点处的切向量由在曲面上，有 由切平面过，有 曲线，在点处的切线在切平面上，有所以，即 由方程、式解得或，于是所求点为或4证明二次曲面在点处的切平面方程为：证明：设，则曲面在的法向量，切平面方程为，即5证明曲面（）上任一点处的切平面与三个坐标面围成的立体体积为定值证明：设是曲面上任一点，则曲面在处的法向量，切平面方程为，即，改写为截距式方程切平面与三个坐标面围成的立体体积为（定值）习题87（A）1判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）所谓函数在点沿的方向导数，是说若函数在点的某邻域有定义，是过的直线，当动点沿变动时，函数相应的变化率；（2）在方向导数的定义中，分母是一个正

28、数，它是动点与定点间的距离，因此，方向导数是函数关于距离的变化率，而偏导数的定义中，分母是自变量的增量，它可正可负，因此，偏导数是函数关于自变量增量的变化率；（3）当函数在一点的偏导数存在时，函数在这点沿任何方向的方向导数都存在；（4）当函数在一点沿任何方向的方向导数都存在时，函数在这一点的偏导数一定存在；（5）某函数的梯度是一个向量，在函数确定的情况下，它仅由点来决定；（6）函数在一点处沿各个不同方向的方向导数可能是不同的，它与这点的梯度有关，还与方向与梯度的夹角有关答：（1）不正确，在方向导数中，是以为起点的向量，方向导数是函数沿方向上的变化率，而不是沿直线上的变化率（2）正确，正是因为，

29、才表明这方向导数是函数沿方向上的变化率，就是方向导数的实际意义另外要注意在方向导数的定义中，动点要在射线上（3）不正确，如函数在点处两个偏导数都存在，但是在点处沿方向上的方向导数不存在事实上，即在点处两个偏导数都存在但是，因为极限（其中取）不存在，所以在点处沿方向上的方向导数不存在(其实本例在原点处只要不沿平行于坐标轴及直线方向，其方向导数都不存在当函数在某点可微或偏导数连续，才能保证在该点沿任何方向上的方向导数存在（4）不正确，如函数在点两个偏导数都不存在（前面证明过），但是它在在沿任何方向上的方向导数都存在，且等于1事实上，对任何，（5）正确，这是由梯度定义确定的（6）正确，事实上，函数在

30、沿方向上的方向导数可以写为,其中是方向与梯度的夹角，由此可见它与这点的梯度有关，还与方向与梯度的夹角有关2求函数在点处沿从到方向上的方向导数解：，的单位向量，（即），所以3求函数在原点处沿与轴正向成角的方向上的方向导数解：，由对称性，所以4求函数在点处沿点的向径方向上的方向导数解：，的单位向量，所以5求下列函数的梯度：（1），在点处； （2），在任意点处；（3），在任意点处；解：（1） （2）（3）因为， ，所以6问函数在点处沿什么方向的方向导数最大？沿什么方向的方向导数最小？解：因为、，所以，根据方向导数与梯度的关系：沿梯度方向方向导数最大，沿梯度反方向方向导数最小，得沿方向的方向导数最大，

31、且最大的方向导数是；沿方向的方向导数最小，且最小的方向导数是习题87（B）1在点处，求函数沿抛物线在该点处的切线方向上的方向导数 解：由，有，抛物线在点处的切向量，所以2求函数在点处沿球面在点处的内法向方向上的方向导数 解：设，球面在点处的法向量为，如图，球面在处的内法向量与轴夹锐角，有，所以内法向量是，取，则3设函数和有连续偏导数，证明（1） gradgradgrad；（2） gradgradgrad； （3） gradgrad证明：（1）gradgradgrad（2）gradgradgrad（3）gradgrad4求函数在任意点处沿函数在该点的梯度方向上的方向导数解：，所以或者，因为，所以

32、习题88（A）1判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）对于可微分的函数，满足方程组的点（也即驻点）就是该函数的极值点；（2）二元函数的极值点一定是函数定义域的内点，而且可能是驻点或偏导数不存在的点但是这些点仅仅是“可疑点”，还要利用定理8.2（充分条件）去判断；（3）连续函数在有界闭区域上一定存在最大值与最小值，最值点一定是极值点；（4）用拉格朗日乘数法求条件极值时，要首先找到目标函数和约束条件，然后构造拉格朗日函数，问题就转化为求该拉格朗日函数的普通（无条件）极值问题答：（1）不正确，如在点是函数的驻点，但是它不是极值点（2）不确切，在极值的定义中要求极值点一定是函数定义域的内点，并且对于

33、偏导数存在的函数定理8.1保证了极值点一定是驻点，而例子说明了极值点也可以是偏导数不存在点；对于偏导数不存在的点不能用定理8.2判断，要通过极值定义判断，并且对于驻点，当时，也需要用极值定义判断（3）不正确，虽然有界闭区域上连续函数一定存在最大值与最小值，但是最值点可以在的边界上取得，这时它就不是极值点（4）不确切，用拉格朗日乘数法求条件极值时，只是通过拉格朗日函数找目标函数的可能极值点，而不是求拉格朗日函数的极值对于这样的可能极值点，到底是不是目标函数的极值点？一般是通过实际意义判定，别个题目也可以用“有界闭区域上连续函数一定存在最大值、最小值”来判定2求下列函数的极值：（1）； （2）；（

34、3）； （4）解：（1）定义域为全平面，并且函数处处可微由得唯一驻点，根据二元函数极值的充分条件，点是函数的极大值点，极大值为，该函数无极小值（2）定义域为全平面，并且函数处处可微由即得函数的所有驻点是，对上述诸点列表判定：所以函数的极大值为，极小值为（3）定义域为全平面，并且函数处处可微由得唯一驻点，、，根据二元函数极值的充分条件，点是函数的极小值点，极小值，该函数无极大值（4）定义域为全平面，函数处处可微由得唯一驻点由于在点处函数的二阶偏导数不存在，不能用定理8.2判定，为此根据极值的定义，当（即非点）时，所以点是该函数的极大值点，极大值为，该函数无极小值3在附加条件：下，求函数的极值解：

35、由条件，有，代入到目标函数之中，得由，得一元函数的唯一驻点，此时，而，所以是一元函数的极小值点，所以当、时二元函数在附加条件下取得极小值，且极小值为，该函数在附加条件下无极大值（注：该题目不能用拉格朗日乘数法求解，否则无法判定，除非从几何意义）4（1）用铁板做一个容积为8（m3）的长方体有盖水箱，问如何设计最省材料？（2）用面积为12（m2）铁板做一个长方体无盖水箱，问如何设计容积最大？解：（1）设水箱的长、宽、高分别为，表面积为，则目标函数为（），附加条件是设（），由 得唯一可能极值点，根据实际意义，当长方体体积一定是其表面积有最小值，所以当长、宽、高都为2（m）时最省材料（此时用(24）m

36、2的铁板） （注：可按下面解法找可能极值点：在上面方程组中，前两个方程写为该两个方程作比值，有，得，同样由第二、三方程得，再代入到之中，就得到，这种求解法在拉格朗日乘数法中经常使用）(2 设水箱的长、宽、高分别为，体积为，则目标函数为（），附加条件是设（），由 得唯一可能极值点，根据实际意义，当长方体表面积一定是其体积有最大值，所以当长、宽都为2（m），高为1（m）时无盖长方体水箱容积最大(此时体积为4（m3） 5在面上求一点，使得该点到两坐标轴及直线的距离平方和最小解：设所求点为，则目标函数为（），由即得唯一可能极值点，由实际意义，一点到三条直线距离平方和有最小值，所以所求点为6在斜边长为的

37、直角三角形中，求周长最大的三角形及其周长解：设两直角边长分别为，三角形周长为，则目标函数是（），附加条件为设，由在时得唯一可能极值点，由实际意义，斜边长为一定的直角三角形中，周长有最大值，所以当两直角边长都为（即等腰直角三角形）时，其周长最大，且最大周长为7在半径为3的半球内，以半球的底面为一个侧面，求内接长方体的最大体积解：如图取坐标，设第一卦限的内接点为，内接长方体体积为体积，则目标函数为（），附加条件是设，由 在得唯一可能极值点，由实际意义，半球的内接长方体体积有最大值，所以当第一卦限的内接点为时，内接长方体体积最大，且最大体积值为8求函数在闭区域上的最小值与最大值解：先找区域内部的可能

38、极值点，由得驻点，且再求函数在区域边界上的最值，设，由得可能极值点（）、（），在这些点上函数值为、，于是函数在边界上的最小值为，最大之为比较、及，得函数在闭区域上的最小值为，最大值为习题88（B）1某商家通过报纸及电视两种媒体做某商品广告 如果销售收入，其中（单位：万元）为报纸广告费用，（单位：万元）为电视广告费用（1）在不限定广告费用时，求最优广告策略；（2）若限定广告费用为1.5万元时，求最优广告策略解：用表示销售收入减去广告费用，则， .（1）由 得唯一驻点，由实际意义有最大值，所以在不限定广告费用时，当报纸广告费为0.75万元，电视广告费为1.25万元时，广告策略最优（2） 当广告费用

39、限定为1.5万元时，即约束条件是，设，由 得唯一可能极值点，由实际意义有最大值，所以在限定广告费用为1.5万元时，将其全部用于做电视广告，广告策略最优2设函数由方程确定，求的最小值与最大值解：方程两边同时对求导，有， 方程两边同时对求导，有， 令，由、式得驻点将代入到原方程之中，有，得或，不难知道方程的图形是椭球面（），由于椭球面是有界闭曲面，它的竖坐标一定有最小值与最大值，所以的最小值是，最大值是3求椭圆上竖坐标的最小值与最大值解：目标函数为，附加条件是，及设，由 得可能极值点，由于椭圆是有界闭曲线，它的竖坐标一定有最小值与最大值，所以当时最小，且最小值为，当时最大，且最大值为4求椭圆的短半

40、轴与长半轴解：由椭圆方程不难看到椭圆中心的横、纵坐标分别为，又椭圆在平面上，因此椭圆中心的竖坐标，即椭圆中心是设点是椭圆上任一点，取目标函数为，附加条件是及设，由 得可能极值点是，又，而椭圆上点到椭圆中心的距离一定存在最小值与最大值，所以是这个距离的最小值，也就是椭圆的短半轴，同理椭圆的长半轴是5设是个正数，用条件极值证明它们的算术平均值不小于几何平均值，即证明：先求函数（）在条件下的最大值，为此设，由 在时，得唯一可能极值点由函数在维空间中的有界闭“球面”上连续，它一定有最小值与最大值，而最小值为0，在某一个自变量为，其余自变量为零时取得，因此点是该问题的最大值点，最大值为，即对任何正数，当

41、它们满足时有对任何正数(，设，并记，由 ，即，有，即（注：上面解法是按一般教科书中提示方法证明的， 其实更好的作法是求函数（）在条件 下的最大值（其中（）是为空间中有界闭“平面”），证明过程与上面类似，但是证明过程要简单一些）总习题八1填空题：（1）曲线在点（处的切线对于轴的倾角 ；（2）设函数，则 ；（3）设函数由方程确定，其中是可微函数，则 ；（4）曲线在点处的法平面方程是 ；（5）函数在圆域：上的最小值 ，最大值 解：（1）由 则 于是，从而，所以，填： （2）因为，所以，填： （3）方程两边同时对求导，有，解得，填： （4）由，得点对应参数，切向量 ，法平面方程为 即，填： （5）由在

42、区域的内部得驻点，且，而在区域的边界上，函数恒为1，所以函数在区域上的最大值，而最小值，填： 2单项选择题：（1）若函数，则（ ）；（A） （B） （C） （D）（2）设函数，在原点处及（ ）；（A）都不存在 （B） 都存在，但不相等（C）都存在，且都等于0 （D） 都存在，且都等于1 （3）函数的两个偏导数及在点处存在，是函数在点可微的（ ）条件；（A）充分 （B）必要 （C）充分必要 （D）无关（4）函数在点处两个偏导数连续是函数在点处沿任意方向上的方向导数存在的（ ）条件；（A）充分 （B）必要 （C） 充分必要 （D）无关（5）设函数及都可微，且；若点是函数在约束条件下的一个极值点，则

43、（ ） (A 当时，必有(B 当时，必有(C 当时，必有(D 当时，必有解：（1）选D，事实上：由，有，于是 （2）选A，事实上：因为不存在，所以不存在，由变量的对称性，也不存在 （3）选B，事实上：函数在某点可微的必要条件是函数在这点有偏导数，可微的充分条件是是函数在这点有连续的偏导数 （4）选A，事实上：由偏导数在点连续，得函数一定在点可微，而函数在点可微是函数在点沿任意方向上的方向导数存在的充分条件，所以偏导数在点连续也是函数在点沿任意方向上的方向导数存在的充分条件 （5）选D，事实上：由点是函数在约束条件下的一个极值点，则是一元函数的极值点，于是有， （*）当时，要使（*）式成立，不一

44、定需要，可以是；当时，要使（*）式成立，不一定需求；当时，如果，则（*）式一定不成立；当时，要使（*）式成立，一定要有所以只有D是一定成立的，C是一定不成立的，而A、B可能成立，也可能不成立3设函数，证明证明：4证明极限不存在证明：先沿取极限，再沿取极限，因为两种不同方式的极限值不同，所以极限不存在5设函数 证明在点连续，且偏导数存在，但是函数不可微证明：令，则，所以函数在点连续，由变量的对称性，所以在点函数的两个偏导数都存在，且都为零因为（事实上该极限不存在，沿取极限，有），所以函数在点不可微6设函数，求，和解：，由变量的对称性，得，而7设函数，求及解：，8设函数，证明证明：因为，所以9设函

45、数，且当时，求、.解：由当时，有，即，所以，10设函数（其中可微），又，求.解： 11设函数由方程确定，求解：方程同时求微分，有，即，解得12设函数，其中可导，证明. 证明：因为，所以13设函数由方程确定，其中 有连续偏导数，证明证明：方程两边同时求微分，有，解得，于是，所以14若函数可微，而函数由方程确定，证明证明：方程两边同时求微分，有，解得，于是，所以15设，其中函数具有二阶导数，具有二阶连续偏导数，求、及.解：，16设函数具有二阶连续偏导数，将式子转化为极坐标形式解：由，有，、， ， 、式相加得， 17若函数具有二阶连续偏导数，以，为自变量，改写方程 解：，于是 ，所以化为，即，也就是18若函数满足，求二次可微函数解：令，则，由变量的对称性，有，于是，则方程化为，改写为，两边同时对求不定积分，得，即，再积分得，（其