辽宁省大石桥市水源二中九年级数学《探究类问题解析（一）》例题

1、辽宁省大石桥市水源二中九年级数学探究类问题解析（一）例题解析一、（14分）如图所示，（1）正方形ABCD及等腰RtAEF有公共顶点A,EAF=90, 连接BE、DF.将RtAEF绕点A旋转,在旋转过程中，BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系？结合图(1)给予证明；(2)将（1）中的正方形ABCD变为矩形ABCD，等腰RtAEF变为RtAEF，且AD=kAB,AF=kAE,其他条件不变.(1)中的结论有什么发生变化？结合图(2)直接写出结论；(3)将（2）中的矩形ABCD变为平行四边形ABCD，将RtAEF变为AEF，且BAD=EAF=90°，其他条件不变.(2)中的结论是否发生变化

2、？结合图(3)，如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k表示出线段BE、DF的数量关系，用表示出直线BE、DF形成的锐角.【解析】（1）证明：延长DF分别交AB、BE于点P、G.- -1分在正方形ABCD和等腰直角AEF中AD=AB,AF=AE,BAD=EAF =90°FAD=EABFADEAB -2分FDA=EBA DF=BE -3分DPA=BPG, ADP+DPA=90°EBP+BPG=90° DGB=90°DFBE -5分（2）DF=kBE，DFBE-7分（3）改变. DF=kBE，=180°-.-9分证法（一）：延长DF交EB的延长线

3、于点HAD=kAB,AF=kAE =k, =k =BAD=EAF = FAD=EAB FADEAB-11分=k DF=kBE-12分由FADEAB得AFD=AEB AFD+AFH=180 AEB+AFH=180°四边形AEHF的内角和为360°，EAF+EHF=180°EAF=,EHF=+=180°=180°-14分证法（二）：DF=kBE的证法与证法（一）相同延长DF分别交EB、AB的延长线于点H、G.由FADEAB得ADF=ABEABE=GBHADF=GBH=BHF =GBH+G=ADF+G.在ADG中，BAD+ADF+G=180°

4、;,BAD=+=180°=180°-14分证法（三）：在平行四边形ABCD中ABCD可得到ABC+C=180°EBA+ABC+CBH=180°C=EBA+CBH在BHP、CDP中，由三角形内角和等于180°可得C+CDP=CBH+BHPEBA+CBH+CDP=CBH+BHPEBA+CDP=BHP由FADEAB得ADP=EBA ADP+CDP=BHP即ADC=BHPBAD+ADC=180,BAD=,BHP=+=180 =180-14分（有不同解法，参照以上给分点，只要正确均得分.）二、已知：如图所示，直线与的平分线交于点，过点作一条直线与两条直线

5、分别相交于点（1）如图1所示，当直线与直线垂直时，猜想线段之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；（2）如图2所示，当直线与直线不垂直且交点都在的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由；（3）当直线与直线不垂直且交点在的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系ABEDCMNlABEDCMNlABCMNABCMN图1图2备用图备用图【解析】解：（1） 2分ABEDCMNl12563487（2）方法一图（2）成立 3分（方法一）：在上截取，连接 4分 ABEDC

6、MNl125634HFG（2）方法二图 即 .6分 7分（方法二）：过点作直线，垂足为点，交于点作，垂足为点4分 由（1）得 5分 7分 （方法三）：延长，交于点4分 5分 6分 7分（3）不成立8分存在当点在射线上、点在射线的反向延长线上时（如图），10分当点在射线的反向延长线上，点在射线上时（如图），12分ABEDCMNl125634F7ABEDCMlABECMDlN（2）方法三图（3）图（3）图三、已知，ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）以AD为边作菱形ADEF，使DAF=60°，连接CF如图1，当点D在边BC上时，求证：ADB=AFC；请直接判断

7、结论AFC=ACBDAC是否成立；如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论AFC=ACBDAC是否成立？请写出AFC、ACB、DAC之间存在的数量关系，并写出证明过程；如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、F分别在直线BC的异侧，其他条件不变，请补全图AAABBBCCCDDDEFFE图1图2图3形，并直接写出AFC、ACB、DAC之间存在的等量关系ABCDFE【解析】证明：ABC为等边三角形，AB=AC，BAC=60°DAF=60°BAC=DAF BAD=CAF四边形ADEF是菱形，AD=AFEABDACF ADB=AFC结论：AFC=ACBDAC成立结

8、论AFC=ACBDAC不成立AFC、，ACB、DAC之间的等量关系是：AFC=ACBDAC（或这个等式的正确变式）ABCDFE证明：ABC为等边三角形 AB=AC BAC=60°BAC=DAF BAD=CAF四边形ADEF是菱形 AD=AFABDACF ADC=AFCABCDFE又ACB=ADCDAC， AFC=ACBDAC补全图形如下图AFC、ACB、DAC之间的等量关系是AFC=2ACBDAC（或AFCDACACB=180°以及这两个等式的正确变式）四、如图1，在ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧， BM直线a于点M，CN直线a于点N

9、，连接PM、PN； (1) 延长MP交CN于点E(如图2)。j 求证：BPMCPE；k 求证：PM = PN； (2) 若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变。此时， PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3) 若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变。请直接判断四边形MBCN 的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由。aABCPMNABCMNaPABCPNMa图1图2图3【解析】(1) 证明 j 如图2，BM直线a于点M，CN直线a于点N， ÐBMN=ÐCNM=90°，BM/CN，&#

10、208;MBP=ÐECP， 又P为BC边中点，BP=CP，又ÐBPM=ÐCPE，BPMCPE， k BPMCPE，PM=PE，PM=ME，在RtMNE中，PN=ME， PM=PN； (2) 成立，如图3， 证明 延长MP与NC的延长线相交于点E，BM直线a于点M，CN直线a于点N， ÐBMN=ÐCNM=90°，ÐBMN+ÐCNM=180°，BM/CN，ÐMBP=ÐECP， 又P为BC中点，BP=CP，又ÐBPM=ÐCPE，BPMCPE，PM=PE， PM=ME，则在

11、RtMNE中，PN=ME，PM=PN。 (3) 四边形MBCN是矩形，PM=PN成立。五、如图， 已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，DMN为等边三角形（点M的位置改变时， DMN也随之整体移动） （1）如图，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF

12、的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由 图图图A·BCDEF···【解析】（1）判断：EN与MF相等 （或EN=MF），点F在直线NE上， 3分（说明：答对一个给2分）（2）成立4分证明：法一：连结DE，DF 5分ABC是等边三角形， AB=AC=BC又D，E，F是三边的中点， DE，DF，EF为三角形的中位线DE=DF=EF，FDE=60°又MDF+FDN=60°， NDE+FDN=60°， MDF=NDE 7分在DMF和DNE中，DF=DE，DM=DN， MDF=NDE，DMFDNE 8分NCABFMDENCABFMDEMF=NE 9分法二：延长EN，则EN过点F 5分ABC是等边三角形， AB=AC=BC又D，E，F是三边的中点， EF=DF=BF BDM+MDF=60°， FDN+MDF=60°，BDM=FDN7分又DM=DN， ABM=DFN=60°，DBMDFN8分BM=FNBF=EF， MF=EN9分法三：连结DF，NF 5分ABC是等边三角形， AC=BC=AC又D，E，F是三边的中点， DF为三角形的中位线，DF=AC=AB