411圆的标准方程

1、 第四章第四章 圆与方程圆与方程 4.1.1 4.1.1 圆的标准方程圆的标准方程1.圆的定义圆的定义平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹定点是圆心，定长为半径定点是圆心，定长为半径OA半径圆心复习复习2.两点间距离公式两点间距离公式22122121P Pxxyy问题提出问题提出 直线可以用一个方程表示，圆也直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示，怎样建立圆可以用一个方程来表示，怎样建立圆的方程是我们需要探究的问题的方程是我们需要探究的问题. . 如何求以如何求以 C(a，b)为圆心，以为圆心，以 r 为半径的圆的方程？为半径的圆的方程？Cxy

2、O设设 M(x，y)是所求圆上任一点，是所求圆上任一点， M（x，y）r点点 M 在圆在圆 C 上的充要条件是上的充要条件是 |CM| r， 由距离公式，得由距离公式，得 ，rbyax22)()(两边平方，得两边平方，得 (xa)2(yb)2r2 知识探究一：圆的标准方程知识探究一：圆的标准方程xyOCM( (x, ,y) )222)()(rbyax圆心圆心C( (a, ,b),),半径半径r若圆心为若圆心为O（0，0），），则圆的方程为则圆的方程为：222ryx标准方程标准方程圆心圆心 (2, 4) ，半径，半径 1.你能快速说出下列圆的圆心和半径吗？圆圆 (x1)2+ (y1)2=9圆圆

3、(x2)2+ (y+4)2=22.圆圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2圆心圆心 (1, 1) ，半径，半径3圆心圆心 (1, 2) ，半径，半径|m|练习练习P120 练习 122(1)(3)(4)5xy(2)| 5rCM22(8)(3)25xy典型例题典型例题 例例1 1 写出圆心为写出圆心为A A（2 2，-3-3），），半径长等于半径长等于5 5的圆的方程，并判断的圆的方程，并判断点点M M（5 5，-7-7），），N N（- - ，-1-1）是否）是否在这个圆上？在这个圆上？ 5解：圆心是A（2，-3），半径长等于5的圆的标准方程是将点M（5，-7）的坐标代入圆方程将点N 的坐标代

4、入圆方程所以，点M在圆上，点N不在圆上.253222yx2537-2-5221-5-，25541331-2-5-22 怎样判断点怎样判断点 在圆在圆 内呢？还是在圆外呢？内呢？还是在圆外呢？),(00yxM222)()(rbyaxAxyoM1M3M2 从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标代入这个圆的方程，如果能使圆的方程成这个点的坐标代入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上 如果设点如果设点M M到圆心的距离为到圆心的距离为d,d,则则可以看到

5、：可以看到： 点在圆上点在圆上 d =d =r r 点在圆外点在圆外 d r点在圆内点在圆内 d r22020)()(rbyax 22020)()(rbyax 22020)()(rbyax 知识探究二：点与圆的位置关系知识探究二：点与圆的位置关系P131 练习练习 3圆心：直径的中点圆心：直径的中点半径：直径的一半半径：直径的一半解：设点解：设点C（a，b）为直径）为直径 的中点，则的中点，则21PP5264a6239b122459610rCP（） （）圆方程为圆方程为106522）（）（yx10CM1013 CN103CQ因此点因此点M在圆上，点在圆上，点N在圆外，点在圆外，点Q在圆内。在圆

6、内。圆心坐标为（圆心坐标为（5，6）1(4,9)P2(6,3)PC例例2 2、 ABCABC的三个顶点的坐标的三个顶点的坐标分别是分别是 A A（5 5，1 1），），B B（7 7，-3-3），），C C（2 2，-8-8），求它的外接圆的方程），求它的外接圆的方程. . B Bx xo oy yA AC C典型例题典型例题B Bx xo oy yA AC C待定系数法待定系数法解：设所求解：设所求圆的方程为圆的方程为：222)()(rbyax因为因为A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)都在圆上都在圆上222222222(5)(1)(7)( 3)(2)( 8)abrabrabr 2

7、35abr 22(2)(3)25xy 所求所求圆的方程为圆的方程为典型例题典型例题 例例3 3 已知圆心为已知圆心为C C的圆经过点的圆经过点 A A（1 1，1 1）和）和B B（2 2，-2-2），且圆心），且圆心C C在在 直线直线l ：x-y+1=0 x-y+1=0上，求圆上，求圆C C的标准方程的标准方程. .B Bx xo oy yA AC Cln解：2523521312-3-C23 01033033 ,233121AB-31-21-2-AB21-23DAB2-2B11A2222AByxACryxyxyxyxxylk所求圆的标准方程是半径，的坐标是故圆心解得联立即的方程是的垂直平分

8、线线段的斜率直线又，的中点线段，思：思：P119 例例2 方法二方法二圆心：两条弦的中垂线的交点圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点半径：圆心到圆上一点xyOCA( (5, ,1) )B( (7,-,-3) )D( (2,-,-8) )课堂小结课堂小结(1)(1)圆的标准方程的结构特点圆的标准方程的结构特点. .(2)(2)点与圆的位置关系的判定点与圆的位置关系的判定. .(3)(3)求圆的标准方程的方法：求圆的标准方程的方法： 待定系数法；待定系数法； 定义法（定义法（数形结合数形结合确定确定a、b、r）.作业：作业：P124P124习题习题4.1A4.1A组：组：2 2，3 3，

9、4. 4. 思思：以以C(1,3)(1,3)为圆心为圆心, ,并且和直线并且和直线3 3x-4-4y-7=0 -7=0 相切的圆相切的圆. .圆心：已知圆心：已知半径：圆心到切线的距离半径：圆心到切线的距离解：解：设所求圆的半径为设所求圆的半径为r则：则：2 22 24 43 3| |7 7- -3 34 4- -1 13 3| |r r =5 51616所求圆的方程为：所求圆的方程为：CyxOM22196(1)(3)25xy 解法解法1：可设所求圆的标准方程为：可设所求圆的标准方程为：圆心在圆心在y轴上轴上(0,b)222)(rbyx 该圆经过该圆经过A(-1, 4)、B(3, 2)两点两点所求圆的方程是所求圆的方程是 x2+(y 1)2=10 练练4：求：求经过两点经过两点A(-1, 4)、B