数值分析报告试卷及其问题详解8

1、数值分析期末考试一、设 -. 80 ,若要确保其近似数的相对误差限为 0.1%,则它的近 似数x至少取几位有效数字？（ 4分）解：设x有n位有效数字。因为8 = 64 ： . 80 ： -.81=9，所以可得x的第一位有效数字为8（ 1分）1 11又因为 一 101-10,，令1-n - -2 = n = 3，可知x至少2x81000 10具有3位有效数字（3分）。二、求矩阵A的条件数Cond（A）1 （4分）。解：A其中A1引_241-2 11.5-0.5（1 分）A1=7（ 1 分）=2 （ 1 分）Con d（A）=49（ 1 分）三、用列主元Gauss消元法法求解以下方程组（6分）x1

2、 2x2 3x3 - -20-x1 x2 2x3 二-82x1 4x2 x3 = 9解:1-23-201一24192419 -1128T 112 -8T 032.5-3.5'2419 一'J-23-20 一o-42.5-24.5 一4191 2419 10-42.524.5 t |o-42.5-24,5（4分）'032.3-3.5 一003% -%2% 4x2 x3 = 9,等价三角方程组为:« 4x2 +2.5x3-24.5,(1 分)351758回代得 X3 = -5, X2 = 3,xi = 1 ( 1 分)四、设 f （x） = x4 3x3 x2 -

3、10, x0 = 1, x<| = 3, x2 = -2,x3 = 0.1） 求以X0,X1,X2,X3为节点的3次Lagrange多项式；（6分）2） 求以X0,X1,X2,X3为节点的3次Newt on多项式;（6分）3）给出以上插值多项式的插值余项的表达式（3分）解：由 X0 "必=3,X2 - -2,X3 = 0可得f(x。)= -11, f(xj = 1, f(X2)=34, f(X3) =10即得:L3(x)f（X。）(x -xj(x -X2)(X -X3)(x° -X1 )(X0 -X2 )(X0 -X3)f(X1)(XX0)(XX2)(X X3)(X1

4、 -X°)(X1 -X2)(X1 -X3)f(X2)(X -Xo)(X -xj(x -X3)(X2X0)(X2X1 )(X2(X - Xo)(X Xi)(X - X2)(X3 X。)(X3 Xi )(X3 X2)(x_3)(x2)(x_0)1) (x_1)(x 2)(x_0)(1 -3)(12)(1-0)-(3-1)(32)(3-0)(x _1)(x _3)(x _0)(_2 _1)( _2 _3)(_2 _0)(-10)(x-1)(x-3)(x2)(0 _ 1)(0 _ 3)(0 2)210 -6x 6x-x32）计算差商表如下:Xif (Xi)一阶差商二阶差商二阶差商1-113-

5、15-234-740-10-225-1则 N3(x) =11 5(x-1) 4(x-1)(x-3)-(x-1)(x-3)(x 2)=-10 -6x 6x2 -x33) R3(x) J (X-X0)(X-X1)(X-X2)(X-X3)=x(x-1)(x-3)(x 2)4!1ww五、给定方程组Ax=b，其中A=3w10。w01 一Jacobi 迭代法与试确定w R的取值范围，使求解该方程组的Gauss-Seidel迭代法均收敛。（10分）九 W W解：1) Jacobi迭代格式的特征方程为3w h o = o,即九3_4w%=o,w 0 k求彳得為=0,工_2 = 2w,工_3 = _2w于是当且

6、仅当2w <1t |w <舟时，Jacobi迭代法收敛(5分)2) Gauss-Seidel迭代格式的特征方程为ww0丸3w-3w2=0,02 -wn2- w、 1求得=0,入2 = 0,几3 = 4w2，于是得w c ?。故当w : 1时，求解该方程组的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法均收敛六、设 f(x)c4a,b， f f (x)dx 壯f (a) + f(b) + (b；) f'(a) f'(b)求上述求积公式的代数精度，并利用求积公式给出计算/ f(x)dx的一a个复化求积公式。(12分)解：1)当f(x) =1时，左边二b-a二右边当f

7、 (x)二x时，左边=-(b2 - a2)二右边2当f(x)=x2时，左边=3(b3-a3)二右边当f(x)=x3时，左边 J(b4-a4)=右边4当f(x)=x4时，左边J(b5-a5)=右边5因此，所给求积公式具有3次代数精度。(6分)2 ）将a,b作门等分，记h =匕週， =a ih,0叮乞n.nff(x)dx=Ff(x)dx,axi(2 分)而 f + f(x)dx2f(xi)f(xi1)If (Xi .J,由此可得复化公式：f(x)dx ： h【f(Xi) f(Xida 0 2gf'(Xi)_12(xi 1)i -1 hh 2二 2f(xi xii)石f'(a) f&

8、#39;(b)(4 分)3七、求f（x） =x2在0,1上的一次最佳平方逼近多项式。（8分）解：令所要求的多项式为：Pi（x）=a bx，即取o（x） =1, i（xH x，计算(0, 0)=1(0, 11 (1, 11 (f, 01(f,小 2(4 分)2357得法方程组：1 2 a +-b = 2 5爲b二237解方程组得a敖煜，于是得一次最佳平方逼近多项式为口（x）436x35 35(4 分)八、写出方程的Newton迭代格式，并迭代一次求近似解(6分)(1) _在 x°=2 附近的根。(2) 广；： > 八在X。"附近的根。解：(1)1 - - - '

9、 ：- ；取 X。= 2，(2)则 Xk 1 =Xkx： -3xk -eXk 22Xk -ex<2x'xf (x)二 x -3x -e 2, f (x)二 2x -3 -e取 Xo =1，则 Xi -( 3 分)1 +e九、已知三点 Gauss公式(10分)1 f (x)dx ：5f ( 0.6) 8 f(0)5 f (- .0.6)，用该公式估算Ixdx 的'49990.5值。解：令ax b，于是有:1 = a + b厂1 = 0.5a +ba = 4 = -3，于是t = 4x - 31dx dt，4于是Mdx = G栏3dt(5 分)5 13 - 694、4令 f(

10、t) . t,，就得:f f (x)d5 f G/0.6PH- f (0)+-f <0.6 5 1 3 + " 丄9999 4(5 分)十、龙格库塔（10分）取步长h =0.4，写出用经典四阶Runge-Kutta方法求解初值问题 齐xsigy）的计算公式。y（1） =0（1 岂 x 乞9）解：Xn =x° nh=1 0.4ny。=0( 1 分)hyn4h =yn +一(匕 +2k2 +2k3 卄4)6k1 = f (Xn,yn)也=f (Xn +?+?«)( 6 分)k3 = f (Xn +?,yn +尹)k f (Xn h, yn hk3)取门=0,1,

11、2,20,，其经典四阶Runge-Kutta计算公式为:0.4 丄 丄 丄yn =yn +(k1 +2k2 +2k3+k4)kr =(1 +0.4 n)si n(1 +0.4 n + yn)*k2 =(1.2+0.4 n)si n(1.2+0.4 n+yn +0.2kJ ( 3 分)k3 =(1.2 +0.4 n)s in (1.2+0.4n + yn +0.2k2)k4 =(1.4+0.4 n)si n(1.4+0.4 n+yn +0.4k3)卜一、用乘幕法计算矩阵 A按模最大特征值和相应的特征向量。取x（0） =（1,1,1）T，迭代两步即可。（7 分）|-4 140其中 A = _5 13 0'-1 0 2_解:y(1Ax(0)=-5 13 01=8i-1 0 2 一i1 _-4 14 0 110= (1,0.8,0.1)t(1) =10 ( 3 分)(2)（1）y-5 1300.8=5.4.一1 0 2一卫.1 一i 0.8一二Ax|4 140 17.2相应特征向量取7.2 11 5.47.20.8(4 分)十二、设X°,X1, Xn为个互异的节点,h（x）（i =0,j n）为这组节点上n的n次Lagrange插值基函数，证明：黠心）三xk（k =0,1n） （8分）0证明：对于k=0,1，n，令f（x）=xk，则f （x）的次Lagra nge插值